Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 94
Текст из файла (страница 94)
е. предел 7(х, у) при к ( О. Чтобы описать наклон волны в точке (О, у), введем угол а между нормалью к волне и направлением набегающего потока; тогда а!па=, сова= у (у) Г~ео'эо*' озео'(о'' Непосредственно за волной значения переменных течения определнются как функции от у из условий Ренкина — Гюгонно на скачке. Согласно 4 17.5, в данном случае эти условия запишутся в виде и,/ р-! Ор — ! 7 7+1 ( у!+лй=г' ! — !(р' РΠ— р (, у — !/о (! 7.А.5) (и — )+у о (7 — и) у' — о =о З :—,оо,— оо о,, -о, У 1+у'" у 1+у" где д' обозначает у' (у) и и, о, р, р обозначают и (О, у), э (О, у).
р (О, у), р (О, у). Так как функция у'(у) известна, из этих уравнений можно найти «, а, р, р как функции от у при х=О. Гл. 77, Нелилгйныл задачи: гидродинамика ди ди 1 др р ( (и — ой') — +о — 1+ — =О, дх др 1 дх до гЫ др , др р [(и — оа') — +и — 1+ — — й' — =О, дх ду 1' ду дх д /д, д1 оо — ри+ ~ — й' — ~ ри+ — '=О, дх Х дд дх 7' ге+у (17.А.6) ур ~(и — ой') — +о — 11 — р 1((а — оа') — +о — ~ =О. др др 1 Г , др др 1 дх да ) ( дх др 1 Первые два из этих уравнений представляют собой уравнения движения, третье †уравнен непрерывности, а четвертое †уравнен энергии, из которого Фг исилючено при помощи уравнения состояния (!7.А.2). Выражения в квадратных скобках являются производными вдоль линий тока; члены смиожителем иа' появляются из-за неортогональности системы координат.
Уравнения (17.А.5) и (17.А.6) определяют задачу Коши. В терминах ее решения функция тока ф запишетсн (без множителя 2п) в виде ф (х, у) = г/г (ге+у)з (à — (ге+у) ) р (х', р) о (х', р) г(х'. (17 А 7) о Величина 2пф равна массе жидкости, протекающей в единицу времени через сечение, перпендикулярное оси г и ограниченное окружностью с центром на оси г, проходящей через точху (х, у). Линия тока ф=О состоит из двух частей — части осн г в кривой, пересекающей ось при некотором положительном значении х; эта кривая определяет искомую поверхность тела. Теперь задача состоит в том, чтобы найти вту линию тока и течение между нею и ударной волной. 17.Б.
НЕМОРРЕМТНОСТЬ ЗАДАЧИ Задача некорректно поставлена, если нет непрерывной зависимости ее решения от данных Коши. Если на функции и, о, р и р при х=О накладывается малое возмущение, то получающееся возмущение решения в общем возрастает с возрастанием х, Оказывается, что всегда можно найти так е возмущение, которое возрастало бы с ростом к с любой наперед заданной зкспоненциальиой скоростью. Зто связано с эллиптическим характером уравнений в частных производных в дозвуковой области (см. книгу Кураита и Фридрихса (1948, 5 22)), Простейший пример такой неустойчиности эллиптического уравнения получается при рассмотрении уравнения Лапласа, которое имеет решения аида гааз(пйу для произвольно большого й.
Как известно, подходящие (корректно поставленные) граничные задачи для уравнения Лапласа (задачи Дирихле и Неймана) определяются заданием одной функции на замкнутой кривой. а не двух функций из начальной кривой Чтобы исследовать рост возмущений для аналогичной, но более простой задачи, сначала перепишем уравнения (17,А.6), считая х н р декартовыми коор- При х~О фуниции и(х, р), о(х, у), р(х, у) н р(х, у) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с частными производными: Приник. к пе. 77. Задача об ошсоедиссенной ударной нонне 459 (17.Б.!) ре (те.(с) т +р(с=О, (те $с) р+ре($с т) =О, (те $с) (ур,р — рер) =О.
Здесь те, т и 1с — это векторы (17.Б.З) Эти уравнения имеют решения различных видов. Б частности, если те и Ф О, то р= (уро/Ре) у=сер где е — скорость звука. Тогда из уравнений (17.Б.З) можно исключить т и р, что дает сзрй.й= (т'й)з р В (ус+ йэ) — (и,ус+ оейз)' = О. и поэтому Если последнее равенство рассматривать как квадратное уравнение для определения отношения й,/йы то его дискриминант равен с' (ио+ ое — с') = се($$ и, [$* — с'). Поэтому если $)пе[$ > с, т. е. если течение является сверхзвуковым, то отношение йс/йэ вещественно и решение устойчиво. Наоборот, если $)па[[< с, т, е. если течение является дозвуковым, то нс комплексно при вещественном й, и существуют решения вида есас» ып йеу, есас» ып у~у, одно из которых растет экспоненциально с возрастанием х.
Физическая задача, в которой зпхано тело, а не ударная волна, поставлена корректно, поскольку корректно поставлена задача Дирнхле для уравне- $5» дннатами на плоскости и отбрасывая члены, содержащие й' и ге: ди ди 1 др и — +о — + — — =О, дх ду р дх ди до 1 др и — +о — + — — =О, дх ду р ду д (ри) д (ро) — + — =О, дх ду ур~ У+Ф)- ( У+ У)=' Далее этн уравнения линеаризуются путем замены и на ие-(-и, (и аналогич- ной замены остальных переменных течения), где и,— малое и быстро кзменяю- щееся возмущение (наподобие нозмущення ееа»яп еу для уравнения Лапласа).
При этом предполагается, что можно пренебречь величинами ис и (уие)/ие по сравнению соответственно с ие и (рис)/ис и т. д. Если в линеаризоваиную систему (17.Б.1) подставить возмущение вида их= ивар [Е(йсх+аеу)), ус= реку [Е(ах»+азу)), ос=оехр [Е(йсх+АеуЦ, рт=рехр [Е(йдх+Ьеу)$, то окажется, что постоянные и, о, р, р, йс и йз должны удовлетворять урав- нениям Ге.
/7, Нелинейные задачи; гидрединпмика ння Лапласа. Соответствующая математическая формулировка заключается в том, что нужно одновременно рассчитывать фронт ударной волны и течение за ним. Пока еще нет численных методов для решения задач в такой непосредственной постановке, за исключением весьма неточных методов временнбго характера, при использовании хоторых можно лишь надеяться на то, что течение в конце попцов станет стационарным.
Некорректность †э расплата за обращение задачи и трактовку ударной волны как заранее известной. Она служит препятствием для применения конечноразностных методов, ио оказывается вполне преодолимой для метода степенных рядов. Более того, одно время выражалось опасение, что на звуковой линии, разделяющей дозвуковую и сверхзвуковую области, течение может иметь какую-либо особенность или быть неустойчивым в некотором смысле. Однако течение при переходе через звуковую линию остаетср гладким, а дозвуковой или сверхзвуковой характер течения совершенно не отражается на точности метода степенных рядов.
17.В. МЕТОД СТЕПЕННЫХ РЯДОВ Пусть / обозначает любую нз переменных течения и, а, р или р. Представим / з вице суммы ряда: / = /(х,у) = ~р ~//»хгу», /, » ди др/дх+ра ди/ду ох р (и — ау') аа др/ду — Е' др/дх+ ра да/ду дх р (и — ау') др р ((и — ау') др/де+ идр/ду] — Тра др/ду (17.В.1) дх Тр (и — ау') где суммирование происходит по всем парам (/, ») неотрицательных целых чисел, //» — кож]фициенты разложения, а само рззложение рассматривается в области х~О.
При помощи уравнений (17. А. 5) величины и, а, р, р как функции от у при х=О можно выразить через функцию Е' (у). При этом можно избавиться ат иррациональностей, обусловленных радикалами, и поэтому степенные ряды для и (О, у) и т. д. выражаются через степенной ряд для д(у), Эта часть вычислений проводится по стандартным правилам и не нуждается в подробном пояснении. В результате ее ныполнення получается около дюжины коэффициентов для каждой функции — они находятся в памяти ЭВМ и могут быть использованы для дальнейших вычислений (это коэффициенты из», ае», ре», рм для»=0,1 ...., К). Начиная с них, основная программа вычисляет все коэффициенты и/», а/», р» и р», для которых /+»~К.
В численных расчетах К полагалось для различйых задач равным 1О, 14 и 19; тогда общее число членов каждого рида равнялось '/г (К+1) (К+2), т. е. 66, 126 и 2!О соответственно для каждой функции. Сначала уравнения (17.А,6) разрешаются относительна производных по х, чта дает др (и — ай') рп (др/ду+ Тр/(у+ гзИ дх ур(1+»ее) — р(и — ау')з + Тр (ри да/ду+ Е'др/ду — ра ди/ду] Тр (!+у') — р /и — ау')з Прилаж. к ее.
!7. Задача аб ашсаединеннай ударной жыне 401 Общую идею метода можно пояснить при помощи рис. 17.7. На ием каждая точка представляет пару значений индексов (/, й), для которых мы хотим прн окончании вычислениИ знать коэффициенты ига и т. д.
11редполажим, что на некоторой стадии вычислений для и, а, р н р известны все те коэффициенты, для которых ]+А~К и ] м./' для некоторого ]'Е[0, К]. й Рнс. !7.7. Схема проведения вычислений. Соответствующие тачни на рис. !7.7 лежат в области АААА (для изображенного случая !'=4). Будем говорить для краткости, что функции и, а, р, р известны в данной области. Эта область обладает тем свойством (т. е. она имеет такую форму), что если в ней известны две функции, то в этой же области можно найти их сумму, разность, произведение или частное путем формального сложения, вычитания, умножения или деления соответствующих степенных рядов. Выполнение сложения н умножения очевидно. При умножении в отмеченной на рисунке точке Х коэффициент произведения, например, двух функций / и й вычисляется по коэффициентам 7 и и в точках, лежащих в выделенном штриковыми линиями прямоугольнике, противоположными вершинами которого являются точки Х и (О, О), Аналогичное замечание СправеД- лнва и для деления, которое выполняется по известным алгебраичесйбм правилам деления иногочленов ат двух перемеинь!х как рядов.
Для выполнения этих операций были созданы специальные подпрограммы. Были также написаны подпрограммы для формального (т. е. почленного) дифференцирования отрезка ряда по у и его интегрирования по к, Гл. 77. Нелинейные нгдичи: гидродиналики 462 Если и, о, р н р известны в области АААА, то нх производные по у могут быть найдены (прн помощи подпрограммы дифференцирования) в заштрихованной на рисунке области, которая отличается от АААА лишь тем, что сдвинута на единицу вниз, так как дифференцирование уменьшает на единицу показатель степени у у в каждом члене ряда.
После этого при помощи других подпрограмм в заштрихованной области можно полностью вычислить выражение, стоящее а правой части первого нз уравнений (17.В.1), а затем анэлогнчным образом н в правых частях остальных уравнений. Такнм образом, теперь нам известны четыре частные пронзяодные ди7дх, да/дх, др,'дх н др)дх в заштрихованной области. Интегрируя нх почленно по х, мы получим и, а, р, р в областн ВВВВ, ноторая отличается от заштрихованной лишь тем, что сдвинута вправо на единицу. Если н ВВВВ снова присоединить точки, соответствующие начальным ноэффнциентам прн к=О, то после этого функции будут известны в области, которая атлнчается от упомянутой н начале абзаца области АААА лншь тем, что для нее неравенства 7~1' заменено неравенством ! ~ /'+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
