Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 92
Текст из файла (страница 92)
возрастет более чем в М раз Гл. 17. Нелинейные задании еизрединамика за промежуток времени, меньший, чем е. Но это и означает, что зависимость решения линеаризоваиной задачи от начальных данных не является непрерывной. Если на границе между двумя жидкостями существует поверхностное натяжение (его лучше было бы назвать натяжением поверхности раздела), то возмущения с длиной волны, меньшей некоторого к„не возрастают, и поэтому непрерывная зависимость решения от начальных данных восстанавливается, даже если длинноволновые возмущения все еще остаются неустойчивыми.
Волны на поверхности водоема стабилизируются под действием как поверхностного натяжения, так и гравитации. С другой стороны, когда поверхность скольжения образуется внутри данной жидкости, например, при движении восходящих воздушных потоков или при пересечении двух ударных волн (см. обсуждение задачи о маховском отражении в 2 17.17), стабилизирующие факторы, вообще говоря, отсутствуют.
Предыдущие соображения основываются на линеаризованной теории неустойчивости. Хотя пока еще нет количественной теории нелинейных процессов, все же можно сделать несколько замечаний качественного и предположительного характера.
Пусть не- возмущенная поверхность между жидкостями — это плоскость х, у, а возмущенная поверхность г задана уравнением г= г(х, у, 1). Линеаризованная теория основывается на предположении, что г/дх и декаду везде (<1.) Простоты ради мы не будем учитывать влияние гравитации, поверхностного натяжения и сжимаемости жидкости и предположим, что течение является безвихревым по обе стороны поверхности К, так что прн любом 1 скорость выражается через свой потенциал гр как н= — Чф, где Чеф-0 в каждой области. Тогда задача с начальными данными формулируется следующим образом. Величины г(х, у, 1) и дг(х, у, 1)7д1 (17. 15.
1) заданы при 1=0 как функции от х и у. Потенциал скорости ч~(х, у, г, 1) определяется в каждой области для любого Г по функциям (17.15.1) при помощи уравнения Лапласа Чеер=О и следующих условий: (1) нормальная компонента скорости н непрерывна при переходе через у' н согласована на у с нормальной компонентой скорости самой поверхности г" и (2) и стремится к (~)е12, О, 0) при г — ~ аа, где Р— относительная скорость или скорость скольжения. (Заметим, что потенциал ф не является непрерывным при переходе через У.) Теперь движение определяется из того условия, что давление р непрерывно при переходе через У и удовлетворяет уравнению реМЯ+и Ч)п+Чр=О.
(17.15.2) 45! !7.75. Неустойчивости Гельмгольца и Тейлора Рассмотрим решение задачи, для которой г=г(х, !)= ~~' сь(!)е'"'. (17.15.3) (Здесь следовало бы учесть и зависимость от у, но для упрощения записи она опускается.) В линейном приближении каждый член этой суммы можно рассматривать независимо от остальных. Тогда можно найти зависимость от времени (см. книгу Ландау и Лифшица 11954, 3 301), что дает сл(!)=А ~и!!в+В -лге7е (17.15.4) до тех пор, пока амплитуда мала по сравнению с длиной волны, т. е.
/сь/ ((й. Коэффициент в одном нз показателей, а именно (я))772, стремится к бесконечности при й- оо . Поэтому для сходимости ряда вида е(ьехр(йх+(! й !)772) !1 при некотором 1=!, > О необходимо, чтобы е(„=о(ехр(" — ()я!(7/2) !ьЦ) при 7г оо, а для выполнения этого условия начальная поверхность должна быть аналитической: если она не является аналитической, то решение нельзя получить методом рядов Фурье.
Поведение поверхности раздела при ббльших амплитудах (когда линейное приближение становится непригодным) изучалось экспериментально и при помощи численных расчетов. Для поверхности, которая в начальный момент имела вид г = аь (!) соз ях, установлено, что когда амплитуда становится сравнимой с длиной волны, т. е. когда ал = 17л, возрастание ал (!) перестает быть экспоненциальным и становится приближенно линейным с коэффициентом аь(!) =а)е, где а — постоянная порядка единицы. Зависимость от г также изменяется.
Наблюдения показывают, что при еще ббльших амплитудах (аь>) 17й) поверхность раздела разрушается и заменяется турбулентным слоем, толщина которого со временем возрастает благодаря турбулентной диффузии. Мелкие начальные нррегулярности любого рода вызывают немедленное локальное разрушение этой поверхности. С другой стороны, если начальная поверхность является кусочно аналитической, например состоящей из плоских полос с зигзагообразным поперечным профилем, изображенным на рис. 17.4, то, согласно предположению нз следующего параграфа (если оно Гл.
77. Нелинейные аадачи: гидргдинимики 452 верно), должно существовать кусочно аналитическое решение; характер этого решения пока неизвестен. Неустойчивость Тейлора подобна неустойчивости Гельмгольца. В этом случае нет скольжения вдоль й. Вместо этого рассматриваются две жидкости с различными плотностями.
Эта система Рнс. 17.4. Поперечный профиль начальной поверхности, состоящей на плоСких полос. испытывает ускорение в направлении от тяжелой жидкости к легкой. Примером такой системы с ускорением, создаваемым силой тяжести, является вода в верхней части сосуда, поддерживаемая давлением воздуха, находящегося в нижней его части. Если поверхность раздела — в точности горизонтальная плоскость, то система имеет равновесную конфигурацию, однако эта конфигурация неустойчива. Волны на поверхности раздела содержат зависящий от времени множитель вида еаге, а не з)пар или созаг, как обычные волны на поверхности воды. Снова коэффициент а неограниченно возрастает (при отсутствии поверхностного натяжения), если длина волны стремится к нулю.
47Л6. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ КУСОЧНО АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ Из-за отсутствия доказательств существования и единственности удобно принять некое рабочее предположение в качестве отправной точки для дальнейших исследований. Для гидродинамических задач с начальными данными представляется разумным предположить, что если начальные данные являются кусочно аналитическими, то существует единственное кусочно аналитическое решение по крайней мере для некоторого конечного интервала времени. Прн этом считается, что уравнение состояния также представляется кусочно аналитической функцией. Сделанные выше замечания о неустойчивостях Гельмгольца и Тейлора показывают, что кусочную аналитичность нельзя во всех случаях заменить кусочной гладкостью.
Под кусочной аналитичностью начальных данных подразумевается следующее. Пространство может быть разбито на ячейки, в каждой из которых описывающие течение функции являются аналитическими при 7 = О. Ячейки разделены аналитическими чоз 77 ЛУ. Особенноапы теченай поверхностями, при переходе через которые эти функции претерпевают разрывы первого рода, а поверхности ограничены аналитическими кривыми, которые служат ребрами ячеек. Пока нет полной ясности з том, какого рода особенности функций или поверхностей допустимы на ребрах и в угловых точках ячеек (несколько примеров таких особенностей будет описано в следующем параграфе), и поэтому даже в формулировке предположения должна оставаться некоторая неопределенность.
Кусочная аналитичность решения означает, что пространство- время может быть аналогично разбито на ячейки и т. д.; это, конечно, не означает, что разбиение пространства остается все время таким же, как при к=0, потому что со временем в течении могут возникать ударные волны и другие особенности. В задаче Римана при 1=0 одномерное пространство разбивается на две области аналитичности (х)0 и х(0), но при Г)0, согласно рис.
17.2, таких областей будет пять. тулу. ОСОБЕННОСТИ 1ЕЧЕНИЙ Несколько примеров особенностей можно получить при рассмотрении явления маковского отражения. Пусть плоская стационарная ударная волна движется по ударной трубе слева направо и при этом набегает на наклонную плоскость или клин, расположенный на дне трубы, как показано на вис. 17.5. Возмущение 2 б Рнс. 17.6.
Махоаское отражение. 7 — первичная ударная волна; 3 — дно ударной трубы; 3 — вторичная ударная волна; 4 — поаерхность скольжения; Ю вЂ” клин; 6 — перанчная ударная колна1 7 — стебель Маха. зарождается в тот момент, когда фронт ударной волны касается основания клина, а затем распространяется дальше от этой точки; криволинейной границей возмущения является вторичная ударная волна. Гл. 77. Нелинедные задачи: гидродинаиина При определенных условиях, наложенных на угол клина и интенсивность первичной ударной волны (см. работы Бликни и Тауба 11949) и Даффа [1962]), первичная и вторичная ударные волны встречаются в так называемой тройной точке Р над клином; от этой точки и до поверхности клина первичная и вторичная волны сливаются в одну ударную волну (также криволинейной формы), называемую стеблем Маха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
