Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Если же ось х является характеристикой, то некоторая информация, содержащаяся в функции 13 (х, 0), просто распространяется вдоль оси х (что налагает некоторое ограничение на 17.12. Случой нескольких нространстееннын неременнын 44! начальную функцию (7 (х, 0)) вместо того, чтобы распространяться в область 1> 0 и тем самым участвовать в определении решения при ! > О. В более общем случае начальные данные могут быть заданы вдоль кривой 6: х= х(з), 1 = 1(з), т.
е. (! (х (з), ! (з)) задается как функция параметра з. Тогда для произвольной аналитической начальной функции () (х(з), 1(з)) существует единственное аналитическое решение уравнения (17.10.2) в некоторой окрестности кривой 6, если в нигде не является характеристикой, т.
е. нигде не касается характеристик уравнения (17.10.2). (При этом предполагается, что 6 является аналитической кривой, т. е. х(з) и 2(з) — аналитические функции, так что могут быть использованы разложения в степенные ряды.~ Такая формулировка результата оказывается подходящей, например, для задач теории относительности, в которых временная переменная 1 уже не выделяется в физическом смысле. В специальной теории относительности в может быть любой пространственно-подобной прямой в плоскости х, ! или, в более общем случае, пространственно-подобной гиперплоскостью в пространстве-времени, а в общей теории относительности она может быть любой пространственно-подобной гиперловерхностью.
Задача Коши для уравнений поля гравитации будет обсуждаться во втором томе. 17Л2. ХАРАКТЕРИСТИКИ В СЛУЧАЕ НЕСКОЛЬКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРЕМА КОШИ вЂ” КОВАЛЕВСКОЙ Случай трех или более независимых переменных рассматривается аналогично. Вместо (17.10.2) возьмем систему Ад(!7д1+ Вд(1!дх+С д()1ду+ 17(л = О, (17.12.1) в которой матрицы А, В, С и !л являются гладкими функциями от х, у и 1.
Пусть У' — гладкая поверхность, заданная параметрически (параметры а и р): х=х(а, Р), у=у(а, р), 1=2(а, р), а начальное условие имеет вид 1!(х(а, й), у(а, й), 1(а, р))= = заданная на У' гладкая функция от а и !1. (17.12.2) По аналогии с предыдущим параграфом поверхность У называется характеристической, если она ориентирована так, что дифференциальные уравнения накладывают ограничения на начальную функцию (!7.12.2) на У'. Поэтому будем искать такую линейную комбинацию уравнений системы (!7,!2.1), в которой все неизвестные (компонеиты вектора ()) дифференцируются по 442 Гл. 17, Нгнннеаннг задача: гидродинамике направлениям, лежащим в некоторой плоскости.
Если поверхность Г" касается этой плоскости в некоторой точке Р, то в Р линейная комбинация может быть выражена через производные по а и р, и поэтому полученное дифференциальное уравнение (эта линейная комбинация) накладывает ограничения на начальную функцию (17.!2.2) в точке Р.
При таких обстоятельствах эта плоскость является характеристической плоскостью в точке Р, а Р— характеристической точкой поверхности У'. Если все точки поверхности г характеристические, то она представляет собой характеристическую поверхность рассматриваемой системы уравнений. Предположим, что нужная нам линейная комбинация получается умножением (17.12.1) слева на вектор %=%(х, у, 1). В этой линейной комбинации неизвестная функция У, дифференцируется по направлению (в пространстве х, у, 1), йаправля«ощие косинусы которого пропорциональны величинам (%ГА) (%ГВ) (%7~ ) Поэтому если Х, р, ч — направляющие косинусы нормали к У в точке Р, то Р будет характеристической точкой поверхности Ф при выполнении условия "г%гА + р%гВ + н%7С О (17.12.3) Это означает, что % должен быть левосторонним собственным вектором матрицы ХА+рВ+чС, соответствующим нулевому собственному значению; условие же существования нулевого собственного значения имеет вид г«е! (ХА + РВ + нС) = О.
(17.! 2А) Три неизвестные Х, р, ч должны удовлетворять также условию ) н+«гг+ч'= 1, так что для них получилось всего два уравнения. Поэтому в общем случае можно ожидать существования одного или более однопараметрических семейств решений. Если эти решения вещественны, то существуют соответствующие однопараметрические семейства характеристических плоскостей. Для рассматриваемых ниже (см. упражнение 3) уравнений гидродинамики в случае двух пространственных переменных имеются два таких семейства: одно состоит из всех плоскостей, касательных к траектории частицы в пространстве х, у, «, а второе — из всех плоскостей, касательных к звуковому конусу.
Конечно, гидродинамика нелинейка (см, следующий абзац), Но для нее ни одна поверхность (плоскость) « = сопз! не может быть характеристической, так как при совпадении одной из характеристических плоскостей с плоскостью « = сопз! возникала бы бесконечная скорость распространения сигнала, тогда как в гидродинамике при любом выборе начальных данных скорость жидкости и ско- 17.12.
Случай нескольких пространстеенных переменных 443 рость звука конечны, а максимальная скорость распространения сигнала равна их сумме. Это также следует из того факта, что матрица А в уравнении (17.12.1) равна 7 для случая гидродинамики. Предположим теперь, что матрицы коэффициентов А, В, С и В в уравнении (17.12.1) зависят не только от х, у и 1, но и от компонент вектора 1), (Именно так обстоит дело в гидродинамике — см.
2 17.2.) Тогда уравнения (17.12.1) называются квази- линейными. Определения и выводы остаются теми же самыми, что и для линейного случая, но точка зрения несколько изменяется: для данной системы уравнений поверхность У' может быть характеристической или не быть ею в зависимости от начальных функций, заданных на У, т. е. от компонент векторного поля (17.12.2) на У, поскольку А, В и С зависят от (). Часто это формулируется в виде указания на то, являются или не являются заданные начальные функции характеристическими относительно заданной поверхности Т.
Задача Коши (задача определения 13 (х, у, 1) по данным Коши (17.12.2) при помощи дифференциального уравнения (17.12.1)) называется аналитической, если поверхность у' и все рассматриваемые функции являются аналитическими. Чтобы поверхность Т была аналитической, функции х (и, (1), у (а, р) и 1(а, б) должны быть аналитическими, а ранг матрицы должен быть равен 2 всюду на Т. [Чтобы убедиться, что это последнее условие в действительности необходимо, заметим, что уравнения х (а, р) = еле, у (а, р) = р, 1(а, р) =-ае определяют поверхность, которая имеет точки возврата на оси у, где ранг этой матрицы равен только Ц Теперь сформулируем без доказательства один из вариантов теоремы Коши †Ковалевск для случая трех независимых переменных х, у, С Обобщение на случай большего числа независимых переменных будет очевидным.
Теорема. Предположим, что аналитические данные Коши (17.12.2) заданы на аналитической поверхности Т и не являются характеристическими относительно д' в некоторой принадлежаи4ей У' двумерной окрестности точки Р, Предположим также, что матрицы А, В и С в (17.12.1) являются аналитическими с7оункциями от х, у, 1 и компонент вектора 13. Тогда найдется такая трехмерная окрестность точки Р, в которой задача Коши имеет. единственное решение. Гл.
/7. Нелинейные задачи: гидрадинамика В наиболее распространенном случае в качестве У' берется плоскость х, у (!=0), и условия теоремы удовлетворяются во всех ее точках. Тогда если К вЂ” любая компактная область в этой плоскости, то найдется такой интервал ( — е, е), что задача имеет единственное решение для всех (х, у) Е К и всех ( ~ ( — е, е). УпРАжнения 1. Найдите характеристики уравнения теплопроводнасти,еслн оно эаписзно в виде системы (17.!0,2), (17.10.3).
Выше утверждалась, что если А — вырожденная матрица (т. е. де1 А =0), то метод степенных рядов вообще неприменим, поскольку производные дп/дб д%/д!э и т, д. в общем случае не определяются однозначно при помощи этого метода. Согласуйте это утверждение с тем фантом, что для уравнения теплопроводности решение и (х, 1) при 1 > 0 однозначно определяется заданием и (х, О). 2. Рассмотрите харантеристики системы уравнений Коши — Римана ди/д/ = да/дх, до/д/ = — ди/дх; 3.
Рассмотрим двумерное течение жидкости, когда давление р, плотность р и скорость п=(и, а) являются функциями от а, у и К Взяв за исходаыо уравнения б !7.2 и простое уравнение состояния р=(т — !) Рфз, покажите, что уравнения в характеристической форме запишутся так: 0р/О1 — сзВр/01 О, и (Ва/01+(!/Р)рр)=О, ра(АВ/01+ау) ц+(О/01+с!. 9) р=О.
Все векторы, входящие в эти уравнения, имеют по две компоненты; в частности, р=(д/дх, д/ду), а Х и Р— произвольные единичные векторы в плоскос. ти х, у. Через О/О/ обозначен оператор В/О1 = д/д1-!- и т =д/д/-1- ид/дх-1- ад/ду, т. е. оператор дифференцирования вдоль траекторий частиц, а а в адиабати. ческая снорасть звука, равная )Гур/р. Эти уравнения являются обобщением уравнений (1?.9.3). В уравнении (!7.!2.6) направления дифференцирования ограничены плоскостью, касательной к траектории частицы и параллельной вектору рх в (!7.!2.7) они ограничены плоскостью, касательной к звуковому конусу и такой, что линия пересечения этой плоскости с плоскостью х, у перпендикулярна вектору Х.
Для некоторых задач условие аналитичности везде может быть заменено условием гладкости. В частности, это верно для гиперболических уравнений, включая уравнения гидродинамики, при условии что гладкость означает однократную непрерывную дифференпируемость при определенных разумных ограничениях (см. книги Куранта и Гильберта (19621 или Гарабедяна (19641).
У решения могут существовать разрывы в высших (и, при обыч. ных условиях, даже в первых) производных; на самом деле они распространяются вдоль характеристик. Однако метод Коши— Ковалевской непригоден для рассмотрения ударных волн и других главных особенностей, Более того, оказывается, что для существования решения при наличии контактного разрыва или поверхности скольжения сама эта поверхность и течение по обе ее 77.!8. Задача Римана и ее обобщения 445 стороны должны быть аналитическими или по крайней мере кусочно аналитическими, а не только гладкими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
