Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Чисто формальные рассуждения показывают, что решением задачи (16.10.1), (16.10.2) должно быть и(г)=Е(г) и,+) Е(1 — з)й(е)г(з, (16.10.3) о потому что тогда —, и (1) = — Е (1) не + Е (0) д (1) + ) — „Е (1 — и) й (з) г(з = о = АЕ (1) ие + д (1) + ) АЕ (1 — з) д (з) еЬ = о -+о .~( о-оео~ *]»- со= о = Аи (1)+д(1) (16.10.4) и, очевидно, и (0) = и„. Здесь нужно обосновать возможность дифференцирования под знаком интеграла в первой строке (16.10.4) и возможность перестановки знаков оператора А и интеграла в третьей строке. Если не †люб элемент множества б' начальных элементов строгих решений однородной задачи, введенного в $ 16.2, а д( ) †люб элемент некоторого множества еег:В„ то указанные действия обосновать можно, и поэтому и(1) является строгим решением задачи (16.10.1), (16.10.2).
Множество сг задается так: б = (д ( ) 6 В;. д (1) Е ~9 (А'), 0 » (1 «( (е1 д(1), Ад(1), Аед(8) непрерывны на 10, 1е)). (16.!0.6) (Под непрерывностью здесь понимается сильная непрерывность, т. е. непрерывность в топологии В, например )д(1+6) — д(1)11 — 0 при 6- 0.1 Мы покажем далее, что множество б плотно в В,. Теперь мы докажем предыдущие утверждения. !6ЛО. Нооднородныо вааона Утверждение 1 (обоснонание действий в первой строке (16.10.4)).
Прн фиксированном 1, Т,) Е( — $)И(з) =БЕ( — з)И(з)Дз. з р 'гз о о Для д( ) 6С все подынтегральные выражения в (16.10.3), (16.10.4) являются непрерывными функциями со значениями в В; так же, как н в 2 16.7, интегралы следует понимать как (сильные) пределы в В соответствующих сумм Римана. Как и в обычных интегралах, дифференцирование по параметру 1 под знаком интеграла допустимо, если отношение разностей сходится равномерно по з к производной, т.
е. если !( Е (1 — з) и (з) — АЕ (1 — з) 77(з) » — 0 равномерно по з (О < з "Г) при Ь О. Поскольку оператор Е(1 — з) ограничен и коммутирует с А на любом элементе из ьв(А), это требование сводится к тому, что 'а(з) — Аа (з) (- О равномерно по з (0<а< 1) при 6 — О. Согласно (16.7.6), в д(з) — Ад (з) = ~ ~(АЕ(о) Ы(з) — Ай(з)~сЬ; о поскольку в силу (16.10.5) Ап(з)~77(А) для любого з, фор- мулу (16,7.6) можно снова применить, на этот раз к подыитег- ральному выражению. В результате получаем, что в о 'д( ) — Аао)-~1 (Ае( )Аи(оа ~~, о о и поэтому !!'('~ ' «- В()!!<Ф -р( (-) '(И где супремум берется при 0<ш<1, 0<э<1; этот супремум конечен, потому что функция А'п(з) непрерывна, а оператор Е (ш) равномерно ограничен.
Это завершает обоснование действий в первой строке (16.10.4). Утверждение 2(обоснование действий в третьей строке(16.10.4)). (Аа о~ а- А ~ а о) а, о где для данного 1 функция Ь(з) является непрерывной функцией Е(1 — ) п(з). 4!3 Гл. го. Коррепгпно поеепаеленнне лайаеи. Волугруппы Здесь необходимо рассмотреть только аппроксимации интегралов суммами Римана.
Ясно, что значение оператора А на сумме Римана интеграла ) Ь (з) аз равно сумме Римана интеграла о ! АЬ(з) г(з; поскольку А — замкнутый оператор, переход к пределу при. приближении интегралов их суммами дает равенство А )'Ь(з) е(з= ') АЬ(з) е(з. а о Это завершает доказательство того, что для любого ил~ТУ и любого д( ) 6 б формула (16.10.3) выражает строгое решение задачи с начальными данными (16.10.1), (16.10.2).
Утверждение 3. 6 плотно в В,; с1тобы показать это, нужно установить, что для инфинитезнмального генератора А сильно непрерывной (для 1) О) полугруппы Е(1) область определения Р(А') плотна в В. Можно доказать, что вообще О(Ан) плотна в В для Ь=!, 2, .... Доказательство этого см. у Хилле и Филлипса [1957, с.3081 или у Рихтмайера и Мортона [1967, с.521. Именно, теперь д(1) — любая непрерывная кривая в В, 0 < (: 1„ иначе говоря, д( ) — элемент банахова пространства В„опреде- ленного в начале этого параграфа.
Разобьем интервал [О, 1е) на Ы подыитервалов длйны 6= !е/Т и аппрокснмируем каждое д(нб) элементом Ь„из й(А'); затем прн помощи линейной интер- поляции определим функцию Ь(!) по Ь„, т. е. положим Ь (!) = Ь„+ — (Ьо„, — Ь„) для пб < 1 < (н + 1) 6. Ясно, что Ь(!)аале(А') для всех 1, и ясно, что Ь(!), АЬ(1) и Аей(1) непрерывны, т. е.
Ь(.)ЕО. Если 6 достаточно мало н достаточно малы ~,'д(пб) — Ь„~! для каждого и, то очевидно, что величина (/й( ) — Ь( )$,=зпрПй(!) — Ь(!)1: !6[0, 1,1) может быть сделана сколь угодно малой; иначе говоря, любой элемент д(-)ЕВ, может быть аппроксимирован с любой точ- ностью по норме В, элементами Ь из 6, т. е. О плотно в В,, Пусть, наконец, Рл — линейное преобразование пространства В„ определяемое следующим образом: О(Е,)=0, е Ео! н( ) и( ), где и(1) ) Е(Ф вЂ” з)д(з) е(з.
е 1о.11, Эаоачи, в копворыв оператор А еависит от времени 4)й Очевидно, что оператор Р, ограничен для Оп. 1(1в (и поэтому неоднородная задача корректно поставлена) и его ограниченное расширение Е на все В, задается тем же самым интегралом. Тогда по аналогии с ~ 16.2 функцию и(1), определяемую формулой (16.10.3), назовем обобщенным решением неоднородной задачи (16.10.1), (!6.10.2) для любого 1г,бВ и любого д(.) ~В,. 16Л1. ЗАДАЧИ, В КОТОРЫХ ОПЕРАТОР Л ЗАВИСИТ ОТ ВРЕМЕНИ В большинстве практических задач зависимость А от 1 носит простой характер. Обычно выполняются следующие предположения: 1) область определения В (А) не зависит от 1; 2) для любого о6.0(А) функция А(1)о (сильно) непрерывна по 1; 3) для любого фиксированного 1 задача с начальными данными: (е(1е(1)и(1)=А(е)и(1) (1)0), и(0) задано, корректно поставлена; обозначим ее решение через и,(1); 4) постоянная К=К(1,), входящая в неравенство ()и,(1))!( ~К)и,(0)), 0(1(1в (см.
(16.2.1)), может быть выбрана не зависящей от з для любого интервала 0<а(зв. При этих предположениях предыдущую теорию можно обобщить очевидным образом. Тогда задача с начальными данными е(и(1)КВ=А(1)и(1), 1~)в, и(з)=и, (задано), (16.11.1) корректно поставлена. Ве строгие решения определяются ограниченным плотно определенным оператором Е, (1, а), так что и(1) =Е,(1, з)и(е). Расширение Е(1, з) этого оператора на все В определяет обобщенные решения. Операторы Е(1, з) не образуют полугруппу, однако они удовлетворяют тождеству Е (!в~ 1а) Е (1в~ 1в) = Е (1в~ 1в) (1а Э~ 1в Э~ 1в) (16.11.2) Для любого з оператор А(з) можно считать инфинитезимальным генератором полугруппы, определяемой задачей с начальными данными для уравнения (в(1Ш)и(1)=А(е)и(1) (1 РО); тогда А (1) = ! пп 1(Е (1 + 6, 1) — 1)! Б'!.
е о Если условия теоремы Хилле — Иосиды выполняются равномерно по 1, т. е. если резольвента Я„(А (1)) существует для любого 1,>ее и ее норма ограничена числом ()а — а)-' для всех 1, принадлежащих конечному интервалу 10, 1,), то задача с начальными данными (16.1!.1) корректно поставлена на [О, 1в!. аяава ту НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ: ГИДРОДИНАМИКА Связь между линейными н нелинейными эволюционными задачами; гидродннамика как пример такой связи; система законов сохранения; кваэилинейиые уравнения; слабые решения; скачки и условия на скачке; ударные волны; поверхности скольжения; контактные разрывы; условия Ренкина — Гюгоиио; условие энтропии; характеристики; гиперболические уравнения; характеристи.
ческая форма уравнений; инварианты Римана; теорема Коши †Ковалевск; начальная поверхность или начальные данные без характеристических точек; характеристическая плоскость;задача Римана; спонтанное образование ударных волн; неустойчивости Гельмгольца и Тейлора; кусочно аналитические задачи с начальными данными; маховское отражение; тройное пересечение ударных волн; течение в окрестности угловой точки; вычисление степенных рядов в задаче об отсоединевной ударной волне; алгебраические преобразования степенных рядов на ЭВМ; арифметика с подсчетом значашик цифр; аналитическое продолжение на ЭВМ. Предварительные сведения: основы гидродинамики.
Нелинейные задачи с начальными данными в основном еще не изучены. Все линейные задачи из предыдущих глав в общем являются частными случаями нелинейных задач или превращаются в нелинейные, если учитываются все взаимосвязи. Акустика переходит в гидродинамику, если считать амплитуды колебаний конечными; уравнения Максвелла и уравнение Дирака при совместном их рассмотрении представляют нелинейную систему (см. работу Гросса )'1966]).
Новые феномены, возникающие из-за нелинейности, многочисленны и разнообразны; некоторые из них будут описаны в этой главе в связи с задачами гидродинамики. Основной вывод состоит в том, что нужно стремиться некоторым образом сформулировать результат в терминах кусочно аналитических функций. При этом весьма вероятно, что детали такой формулировки останутся неясными до тех пор, пока не будет проделана достаточно большая теоретическая работа, Нелинейным стационарным задачам присущи также многочисленные дополнительные особенности, такие, как бифуркация и уединенные волны, но они не затрагиваются в этой книге. Не затрагиваются также конвекция и турбулентность, выделяюшиеся из задач с начальными данными по той причине, что непредсказуемость деталей является их существенной чертой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
