Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 80
Текст из файла (страница 80)
ив б:1.<, и(а) =и(Ь) =О), Ам=оп, так как, скалярно умножив уравнение с частными производными (15.2.!) на и (х, 1) и проинтегрировав по частям с учетом граничных условий, мы получим, что » о — 1-)и) бх= — Я вЂ”,~ благо, а следовательно, '! и (1) ! ~~ ! и (О) !. (Заметим, что в этом случае нет необходимости вводить меньшее пространство В„поскольку .0(А) плотно в 1,».) Эта задача корректно поставлена и относительно любой из общих норм, таких, как Ер-нормы, или нормы, включающие кроме и(х) еще и одну или несколько (илн бесконечное число) производных от и(х) и т. д.; при этом решение задается формулой (16.2.7). Данная задача корректно поставлена относительно всех этих норм потому, что уравнение теплопроводности чрезвычайно <устойчиво» в прямом направлении (при возрастании ! от О): решение с ростом 1 уменьшается и постоянно заглаживается. Напротив, это уравнение столь же «неустойчиво» в обратном направлении (при убывании 8 от О), что делает обратную задачу теплопроводности некорректно поставленной при любом выборе нормы ').
Соответствующая многомерная задача также корректно поставлена, например, в банаховом пространстве С(ко) с максимум- нормой или в !.х(еч"). Фундаментальным решением является ф(х 1. у) — (2етое)-л/ее-! х-У Вялое) (16.2.9) х) См, примечание а копка $16,1,— Прим. перев, /д.д.
Вояновие арочессм 393 16.3. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Как было указано в 9 15А, задача Коши для одномерного волнового уравнения всегда имеет решение, по крайней мере в смысле теории распределений (граничные условия будут рассмотрены позже). Действительно, если ср и ф — произвольные распределения на Й, а /='/,~р+'/,ф и д='/д — '/,ф, то распределения на й' и(х, /) =/(х+с/)+д(х — с/), (16.3.1) и(х, /) =/(х+с/) — д(х — с/) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (16.3.2) в смысле теории распределений, а также начальным условиям и (х, 0) = <р (х), о (х, 0) = ф (х). (16.3.3) Замечание.
Для произвольного распределения й(х, у) на к' выражение й(х, 0) было бы бессмысленным. Однако в теории задач с начальными данными / рассматривается как параметр, и из (16.3.1) видно, что для любого фиксированного значения этого параметра и (х, /,) и о (х, /,) являются вполне определенными распределениями пай, и поэтому начальные условия (16.3.3) имеют смысл. В данной задаче и х можно рассматривать как параметр, и при фиксированном х, и (х„ /) и о (х„ /) будут вполне определенными распределениями. Вообще параметром может быть любая линейная комбинация /'=ах+р/, лишь бы прямые их+р/=сопз1 не были характеристическими линиями (см.
следующую главу), т. е. лишь бы ()~ вессс. В релятивистских задачах разные временные переменные /, /' связываются с различными системами отсчета. Чтобы доказать единственность решения, нужно показать, что если~р=ф=О для всех х, то и=о=О для всех х и всех /. Пусть| и т) — новые переменные в плоскости х„ /, такие, что $=х+с/ и т1 = х — с/. Тогда уравнения (16.3.2) принимают следующий вид: — (и+о) = О, — (и — о) = О.
дч ' д1 (16.3А) Поэтому и+о — распределение, зависящее только от $, а и — ив распределение, зависящее только от ц (см. 9 2.7); если эти распределения обозначить через 2/ и 2д, то получаются формулы (16,3,1), а это говорит о том, что каждое решение уравнений (16.3.2) имеет вид (16.3.1), В частности, если <р=ф=О, то и=э=О.
Это рассуждение является просто весьма частным случаем метода характеристик, при помощи которого доказывается единственность решения общей (нелннейной) гиперболической системы уравнений (см. следующую главу); значения и+о и и — о распространяются в плоскости х, / вдоль характеристических линий а=сонэ( и т) = сопз1. 394 Гл. го. Корреппгно поставленного эаданн. Полугрчппн Чтобы рассмотреть вопрос о непрерывной зависимости решения от начальных данных, нужно подобрать какую-либо норму '1 1 для состояний, представляемых для заданного 1 распределениями и(х, 1), о(х, г),— отсюда следует также выбор класса распределений, которыми можно представить состояния системы. Иначе говоря, необходимо подобрать банахово пространство; ниже описаны разные варианты этого выбора.
В любом случае удобно ввести двумерные векторы и=( ), гр=( ) и т. д.; тогда дифференциальные уравнения (16.3.2) и решение (16.3.1) можно сокращенно записать так: — и (1) = Аи (Г) и и (1) = Е (1) и (О), где /О 1к д (16,3.5г Е(1)= ~ (1 1)Т „+ р ( 1 1) Ткг (16.3.6» где для любого вещественного а Т, †операт сдвига, определя- емый равенством (Т,)) (х) = Г(х — а).
Для конкретного банахова пространства операторы А и Е(1) общей теории получаются из А и Е(1) путем надлежащего выбора их областей определения. Рассмотрим сначала пространство В=(и=(„): и(х) и о (х) — ограниченные непрерывные функции~, /) и1= зир (гпах ( ~ и (х) ~, ~ о (х) / )). к В данном случае из (16.3.1) сразу следует, что )'и(1)//(/)и(0)~, следовательно, задача с начальными данными корректно постав- лена в этом банаховом пространстве.
Однако ниже мы увидим, что это неверно в многомерном случае (имеется в виду — длв максимум-нормы), поэтому баиаховы пространства этого типа фи- зически неуместны в рассматриваемой задаче. Нетрудно убедиться в том, что рассматриваемая задача кор- ректно поставлена и в банаховом пространстве В=(и=(„): и, о~Ее(1с)~ (16.3.8) '1 и 1к = ) ( ~ и (х) )к+)о (х) 1к) дх, 16.8.
Волновые процессы 395 потому что непосредственные вычисления, начиная с (16.3.1), по- казывают, что )! ц (г) !!з ( ~ ( ) гр )з + ~ ф )з) с(Х = )! и (0) !!з, УПРАЖНЕНИЕ 1. Пусть х — вектор с компонентами х и у, где р=сб и пусть 5 — периметр прямоугольника, рассматриваемый как замкнутая кривая. Покажите, что если и — строгое решение рассмотренной выше задачи, то н бх=О и ) те их=о, Ф 5 'гс (16.3.9) ° де н=(„), и=(„), Покажите, что для строгого решения требование, чтобы выполнялись условия «16.3.9) для периметров ш" всех прямоугольников, эквивалентно требованию, чтобы удовлетворялись дифференциальные уравнения.
Используя неравенство Шварца для распределений из Ез, покажите, что уравнения (16.3,9) справедливы и для обобщенных решений, т. е. задача корректно поставлена. В качестве области определения оператора А, который действует по формуле (16.3.5), можно взять множество всех таких и, у которых и, о Е С,", или множество О(А) = (ц ~ В: Ап ~ В), нлн любое другое множество, находящееся между этими крайними случаями. В первом случае строгие решения являются функциями класса С," для каждого г и удовлетворяют системе дифференциальных уравнений всюду ва плоскости х, !.
Во втором случае строгие решения являются непрерывными функциями, .дифференцируемыми в классическом смысле почти всюду, и в том же смысле почти всюду удовлетворяют дифференциальным уравнениям. Обобщенные решения не обязательно дифференцируемы в классическом смысле для любых к и 1; для каждого 1 они являются распределениями из Ьз. Таким образом, благодаря кон.цепции Адамара корректно поставленной задачи мы приходим к удивительному понятию нигде недифференцируемого решения дифференциального уравнения.
Это же справедливо и для ранее рассмотренного банахова пространства (16.3.7). Поскольку такие чзбобщенные решения часто имеют физический смысл, как, например, белый шум, иногда предпочтительнее интегральная формулировка физических законов, не зависящая от дифференцируемости, такая, как в приведенном ниже упражнении и в более общем случае в гидродинамике (см. следующую главу). звз Ги Уд. Корректно поставленные аадачи. Полугруням Если уравнения (16.3.9) интерпретируются как описание колебаний воздуха в трубе, то величина х/а(п(э=а/,) (!и)а+ (о!э)Нх выражает полную энергию колебательного движения при соответствующем выборе единиц.
Для строгого решения и и диудх при данном г принадлежат Еэ, поэтому и(х, ()- 0 при х- ~ со, согласно 3 6.6. Поэтому, используя дифференциальные уравнения и интегрирование по частям по х, получаем, что г('1 и 1э! г(( = О, откуда следует, что !н(()1э='!м(0)1а, а не просто ()/н(0)(а) следовательно, энергия сохраняется для строгих решений, а тем самым и для обобщенных решений. Покажем теперь, что корректность постановки задачи может зависеть от выбора нормы. Имеется много способов сведения уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка. Вместо (16.3.2) можно написать ди дю э дэи — =пг, — =с' —, д( ' д( дха' (16.3.10) В банаховом пространстве с нормой ~ н ~ = зп р 1па х ( ! и (х) (, ( пг (х) ( ) х (16.3.11) задача поставлена некорректно, в чем можно убедиться при рассмотрении строгого решения и = соз Кх соз сК1, гр = — сК соз Кх з!и сК1, для которого ! н (г) Д и (0)1= 1пах ( ! созсКГ (, сК 1 з(псК() ).
Упрлжн вниз 2. Выясните, является ли рассматриваемая задача с начальными данными корректно поставленной относительно следующих норм(и, о, и — это величины, входящие в уравнения (16.3,2) и (!6.3.10)). В каждом случае в качестве области Но это отношение при любом () 0 можно сделать сколь угодно большим при подходящем выборе К. Это означает, что Е,(г) не является ограниченным оператором. Знание физики помогает исключить формулировки подобного рода, потому что и и ш имеют разные размерности, поэтому норма (16.3.11) оказывается несостоятельной при проверке размерности.
Во всех случаях, когда прямая задача корректно поставлена, таковой же оказывается обратная задача, поскольку система (16.3.2) инвариантна по отношению к подстановкам — 1 — г', и — и, 76.8. Волновые процессы определения Э (А) можно взять либо С",, либо множество всех ц6 В, для которыи Ац6 В.
l 1/а 1) /! и 1 = ~ ~ ( ! и (х) /з+ !ю (х) !з) дх ) 2) !! и 1 = зцр ( ! и (х) ! + ! о (х) ! ); 3) 1 и 1 = зцр ( ! я (х) ! + ! ю (х) ! ). к Предположим теперь, что при х=а и х=Ь выполнено граничное условие и = 0: и (а, 1) = и (Ь, 1) = 0 (() 0) (16.3.! 2) и что начальные данные (16.3.2) заданы только на интервале (а, Ь). Если колебания интерпретируются как звуковые волны в трубе, а и и п-величины, пропорциональные скорости и давлению соответственно, то условия (16.3.12) означают, что концы трубы при х=а и х=Ь закрыты, Для строгого решения смысл этих условий очевиден, поскольку и (х, г) — функция, фактически функция класса С'. Для обобщенного решения условия (16.3.12) не имеют непосредственного смысла, потому что и — всего лишь распределение; однако они могут быть проинтерпретированы как механизм отражения решения и (х, 1), определенного как распределение на зс для каждого 1 с помощью условий и(2а — х, г) = — и(х, 1) и(2Ь вЂ” х, 1)= — и(х, г) для и предполагаются аналогичные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
