Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 83
Текст из файла (страница 83)
!6.7. Инфинитезимальныд генератор яолугрунпы 407 Доклэлтвльствб. (а) пУсть ио — любой элемент описанной выше области определения Р(А'). Так как Е (1) ограничен и коммутирует с Е(бг), величина Е (1) (11б1) [Е (б1 — 1] ио или (1!61) [Е (бг — !] Е (1) ио при Л1 — о 0 стремится к пределу, равному Е (1) А'ио. Поэтому Е (1) но~ Р(А'), а А'Е (1) ио=Е(1) А'ио, следовательно, функция и[1) =Е(1) ио такова, что [[ — А'и(1) ') — ° 0 при Л1 — оО, о( Е(1 — зо) — и(г)! Е(1 — зо) А'и(г,) ~1з 15=о, (потому что Е( ) ограничен и предполагается, что и(1) является решением задачи (16.7.1)). Как было указано выше, Е ( ) и А' на элементах Р(А') коммугнруют, поэтому о(л(з)!аз=О, т. е.
л(з) — постоянная; следовательно, л(1)=л(0), т, е. и(1)=Е(1) и(0), что и требовалось доказать. Теперь покажем, что ннфинитезимальный генератор А' является замкнутым оператором. Если ш (з) — любое непрерывное однопараметрическое семейство элементов из В, ь то интеграл ~ ш(з) аз определяется (ои также является элементом В) как а предел сумм Римана лиш(з!г) (з!о-г з!) где ..., з1, з!+1, ...— разбиение интервала [а, ь], а з;ц[зл, з!+,) для каждого 1, т.
е. точно так же, как и для обычной непрерывной функции. Доказательство того, что этот предел является единственным и что интеграл обладает всеми ожидаемыми свойствами, такими, как — ) ш (5] о(г=ы(Ь), бЬ,) (16.7.3) ь ь [[ '] ш (з) аз ~ ~ ~ [[ ш (з) ]] г(з. (!6.7.4) оставляется читателю в качестве упражнения н» использование неравенства треугольника.
т. е. является строгим решением задачи (!6.7.1). (б) Чтобы показать, что это решение единственно, возьмем лроиэголоное решение и (1), таксе, что и (0) =и, а затем покажем, что и(1).=Е(1) ио. Покажем, что для любого! > 0 функция у(з)=Е(1 — з) и(з], определенная для о~[0, 1], постоянна, т. е. не зависит от з. Прежде всего — й(з) ! = — Е (1 — з) и (г,) ~ + — Е (1 — з,) и (з) е(5 е(5 [о=о В правой части первое слагаемое равно Й вЂ” — Е (1 — з) и (зо) = — А'Е (1 — з,] и (зо) йг 15 = о (потому что Е(1 — з) и(зо) удовлетворяет (16.7.1) согласно пункту (а)), а второе слагаемое равно 408 Гл. !В.
Корргкспно поапаэленныг задачи. Полугруппы если иоЕР(А') и и(с)=е(с) ио — соответствующее строгое решение, то ясно, что и (С) — из = ) А'и (з) Вз, (16.7.6) о т. е с [Е (С) — 1] ио —— ) А'Е (з) ио Вз. (16.7.6) о (Зиигчание. Функция А'и(з)=Е(з) А'ио непрерывна.) Предположим теперь, что (эл) †последовательнос элементов из Р (А'), таких, что о„ и и А'ол — ою. Нужно показать, что и~Р(А') и в=А'и. Итак, б Е(б) и — и= Нш [Е(6)о„— ол)= Пш 1 А'Е(з)пллг= л -> л о б б = 1)ш 1 Е (з) А'э„лз= 1 Е (з) 1(ш А'о„дз.
л о о л л Сходимость равномерна па з, потому что Е(з) равномерна ограничены по з.) оэтому, поскольку А'о„— ~ и, б Е(б) и — и 1 6 бд — Е (з) ш с(з, о а это выражение при б — 0 сходится к Е(0)ш=м в силу непрерывности подынтегральной функции. Таким образом, из определений А' и Р(А'), данных в начале параграфа, следует, что и~Р(А') н А'и=в, т. е. А' — замк.
нутый оператор. Если в качестве А взять оператор А', то множество строгих решений задачи с начальными данными, у которой Е (1) — разрешающий оператор, становится наибольшим. Точнее, имеет место следующая теорелса. Теорема 2. Если иЯ вЂ” любое строгое решение корректно поставленной задачи с начальными данными (16.1.1), то и (О) Е дг (А'), где А' — инфинитезимальный генератор разрешающего оператора Е (с), и, следовательно, и (с) является строгим решением также и уравнен я ди (с)/Ж = А'и (1). Докдздтнльство.
Условие (16.1А) с заменой А на А' следует из (16.7.2). 16.8. теОремд хилле — иОсиды В случае когда А — ограниченный оператор, разрешающий оператор Е([) получается по формуле Е (1) есл 1 (]сй[) ((А)в) а=о ге.г. Теорема Хилле — й осады этот ряд сходится по норме для всех Г, т. е. Е (() — ~е (1/й1) (ГА)а~~ 0 при и ~. (16.8,2~ А=О ! Если А неограничен, как в большинстве практических ситуаций, то ряд (16.8.1) может вообще не сходиться, а если это так, то это в лучшем случае приводит к некоторому ограничению Е(г) на достаточно малую область определения, такую, что все операторы Аа(й=1, 2, ...) на ней определены.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите (18.8.2) для ограниченного оператора н покажите, что йетл1вг =Аеел =е™А. Часто нелегко решить, является ли вообще данный оператор инфиннтсзимальным генератором какой-либо полугруппы. Обычно это помогает сделать следующая теорема. (Напоминаем, что, согласно предыдущему параграфу, оператор А всегда можно считать замкнутым.) Теорема (Хилле — Иосида).
Пусть А — замкнутый линейный оператор с плотной в В областью определения. Если для всех Л>се оператор (А — Л) ' существует, ограничен и имеет плотнуго в В область определения и если (Л вЂ” се) 11(А — Л) '~ «1 для всех Л >а (16.8.3) (т. е. если резольвента НА(А) суи(ествует для Л>сь и ее норма ограничена числом 1/(Л вЂ” а)), то А является инфинитезимальным генератором некоторой полугруппы Е(1), которая сильно непрерывна при 1>0 и такова, что Е(0) =! и ~!Е(1)11(еги при(>0. Доказательство см.
в книге Хилле и Филлипса [19571. Если предположения теоремы выполняются, то ясно, что А определяет корректно поставленную задачу с начальными данными. В следующем параграфе мы применим эту теорему к задаче о переносе нейтронов, а пока укажем два ее элементарных применения. (1) Если А ограничен, то 1(А — Л) '))((Л вЂ” '1А1) ' для всех Л> ~А1; следовательно, задача с начальными данными корректно поставлена и 1)Е(1) (((ехр(г(А11 в соответствии с (16 8.1). (2) Пусть оператор Н самосопряжен и А = — 1Н. Тогда (А — Л) '= =1(Н вЂ” 1Л) ' и условия теоремы Хилле — Иосиды следуют из известных свойств самосопряженных операторов — см.
8 8.3. В этом случае полугруппа Е(г) обычно обозначается через е 'и'. Применения теоремы к операторам Шредингера были приведены в 8 16,4. 410 Гл. 1б. Корреквно поставленные газани. 1голугруппы лале ПЕРЕНОС НЕЙТРОНОВ В СЛОЕ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХИЛЛŠ— ИОСИДЫ В данном параграфе дается еще один пример вычисления резольвенты и ее использования. Рассмотрим перенос нейтронов в однородном слое материала, занимающего область — а < х и, у, а произвольны. Предположим, что рассеяние является упругим и изотропным и что все нейтроны имеют одну и ту же скорость о. Пусть 0 в угол между вектором скорости нейтронов и осью х, и пусть )г= сов О. Обозначим через Ч"(х, р, 1) плотность нейтронов (плотность числа частиц) в фазовом пространстве в точке х в направлении 0 и в момент времени /; предполагается, что эта плотность не зависит от у и г и от угла Ч~ по азимуту вокруг оси х.
Уравнением эволюции этой системы является так называемое уравнение переноса нейтронов ( — э1+(лб — +и) Ч" (х, р, 1)г и 2 ) 'Р(х, р', ()г(р' (!6.9.1) -1 (см. Рихтмайер и Мортон [19671); здесь и — полное ядерное сечение, отнесенное к единице объема (1/и является величиной среднего свободного пробега), с — среднее число частиц, появляющихся после столкновения (с=1 при чистом рассеянии, с < 1 для рассеяния с поглощением, с) 1 для размножающей среды). Член оЧ" (х, р, г) в (16.9.1) можно исключить при помощи подстановки Т(х, 14, 1)=ф(х, Р, 1) е-~ '.
Если взять такие единицы длины и времени, что п=1, о=1 (в этих единицах 2а равен толщине слоя в длинах среднего свободного пробега), то мы получим уравнение 1 б — 1ф(х, 14, 1)= — (лз — ф(х, р, Г)+ ~ ) ф(х, р', Г)г(р'. (16.9.2) -1 Это уравнение можно записать как дф/дг =- Аф (16.9.3) где А — интегродифференциальный оператор в правой части уравнения (16.9.2) с подходящей областью определения в подходящем банаховом пространстве.
В первоначальной постановке задачи предполагалось, что (16.9.2) выполняется только на интервале — а(х(а, а область определения оператора А ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям ф(а, р„г)=0 при р<О, ф( — а, р, г)=0 при р) О, ло.р. Перенос недаронов в слое 4!! которые утверждают, что извне нейтроны в слой не попадают. В более удобной формулировке задачи (К. О. Фридрихс, не опубликовано), принятой здесь, предполагается, что уравнение (16.9.2) выполняется для всех х, однако постоянная с заменяется функцией [ с при — а(х(а, 11 0 при )х) > а.
Это эквивалентно предположению, что область вне слоя заполнена абсолютно поглощающей средой, имеющей то же полное ядерное сечение о, что и слой. Для всех задач, в которых начальное распределение нейтронов 4р(х, !4, О) не содержит нейтронов, попадающих в слой извне, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
