Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 81
Текст из файла (страница 81)
рассмотрение деталей этой интерпретации предоставляется читателю. В многомерном случае волновая задача поставлена некорректно относительно максимум-нормы вследствие роста амплитуды при схождении сферической волны в точке, что и показывает следующее упражнение. Упражнение 3. Пусть г — радиальная координата в трехмерном пространстве )гз, и пусть 1р(г) — гладкая (класса С') функция с носителем в (гв, «о), где га ) о.
Поиажите, что для ! < ге!с функция и (г, 1) = 1(г+ с!у г1 ф (г+ с)) (16.3.!3) удовлетворяет волновому уравнению д'и сз д l ди'к — = — — ( гз — ) (16.3.!4) дтк гк дг ~ дг) и, следовательно, представляет приходящую волну. Предполагая, что ф(г) ап. проксимнрует функцию с разрывом в гз (см. рис, 16.Ц, покажите, что 398 Гл. !б, Корргкпгно поапиалгнные видики. Полагруппм зцр(и(г, !) ( может превосходить зпр ( зу(г) ( в лгобое число раз, следовательно, г задача некорректно поставлена относительно максимум-нормы.
(Можно было бы переопределить норму как (Н )(= зцр () (г) ( и тогда было бы 1) и((=((зР() для га Рис. !8.!. Функция зр(г). всех ! < гз/с, однако зто удается сделать только длв волн, сходящихся к началу координат, но не длв волн, сходящихся к другим точкам )гз.) В многомерном случае нет обобщения метода, основанного на уравнениях (16.3.1); однако в этом случае при решении задачи Коши или задачи в прямоугольной области можно использовать методы, основанные на разложении в ряд Фурье; при этом доказывается, что данная задача корректно поставлена относительно 1.'-нормы, являющейся обобщением нормы (16.3.8).
16,4. уРАВнение шРединГеРА Пусть зр= ф(х, () = ф(хзэ ..., х„, () — комплекснозначная функция (волнавая ((!дикция). Уравнением Шредингера является уравнение д! ~2т + (16.4.1) где 7з есть а-мерный лапласиан, (г=(г(х) — заданная вещественная функция переменных х,, ..., х„(патенциал), и и т— постоянная Плавка, деленная на 2п, и масса электрона соответственно. Оператор Н = ( — Гзз)(2т)) уз+ У называется квантовомеханическим еамильтониамам (операторам Гамильтона) системы. Для водородоподобного атома а=3 и У= — Лез!(х); здесь Ле— заряд ядра, а — е — заряд электрона.
Для многоэлектроиных атомов п равно утроенному числу электронов, а (т описывает взаимодействие электронов ие только с ядром, но и между собой. Для электрона в металлическом кристалле и = 3, У (х) — периодическая по всем трем переменным функция. Задача с начальными данными может быть проиллюстрирована примером свободной частицы в одномерном случае. Это задача Ы.4, Уравнение Шредингера нахождения комплекснозначной функции ф(х, е), удовлетворяющей дифференциальному уравнению дЧ1 гте дев) — — — — <х<, 1»О, дЕ 2т дх' ' со следующими начальными данными прн 1=0: Ф (х, О), — оо < х < оо.
(16.4.3) Сначала возьмем банахово пространство В непрерывных огра- ниченных функций переменной х с максимум-нормой ~Щ=зпр(ф(х) (. .(16.4.4) 'При таком выборе нормы данная задача с начальными данными является ненпрректно поставленной, что можно увидеть, рассмат- ривая строгое решение вида ф(х, 1) = 1/ — ', ехр, 0 < г' < 1„(16.4.5) е Ев — е 2й Ов — С) где г, — положительная постоянная. ~Это решение моделирует фундаментальное решение (15.2.6) уравнения теплонроводности.) Поскольку,",ф(х, 1)//=(1вг(1,— 8ф/е, в то время как 1Чг(х, 0)~/=1, отсюда следует, что ,'~Е, (1) )» ~'1,)(Г,— 1), ,Поэтому для любого е ) 0 оператор Е,(1) неограничен, потому что квадратный корень можно сделать сколь угодно большим, взяв ев достаточно близким к 1, например положив ее=1+а.
[Заметим, между прочим, что решение (16.4.5) квадратично интегрируемо, если постоянная 1, задана с малой отрицательной мнимой частью.) Известное значение квадратичной интегрируемости для кван- товой механики наводит на мысль, что в данной задаче в ка- честве В следует брать пространство Ее(к) (см.
гл. 5) с нормой г' " й ме 1ф1= ~ ~ /ф(х) !ег(х) (16.4,6) В качестве ее(А) можно взять множество таких распределений вр(х)ЕЕ.е, что Чг'(х) и Чг'(х) также принадлежат 1.е. Тогда если ф=вр(х, 1) — строгое решение задачи (16.4.2), то 1Т(фе д' (~ д1 + е дЕ ) (16.4.7) 400 Гл. лб. Коррекптно поггпооленныа задачи. Полугруппы [В й 5,6 было доказано, что если ф и ф' принадлежат Ез(к), то 0 при х ~ со; если, кроме того, ф" ЕЕ', то и тр' 0 при х- ~ со.) Это означает, что норма )1тр) строгого решения при г ) 0 та же, что и при 1=0, т. е.
(Еа(()(=1. Отсюда следует также единственность строгого решения, потому что ٠— фз)=0 тогда и только тогда, когда тРг= ту„так что если ф,=ф, при (=О, то ф,=фа при всех (. Упплжн е ни н 1, Примените преобразование Фурье (па к) и уравнению (16.4.2) и найдите явный аид соответствующего (16.4.6) строгого решения полученного уравнения. Рассуждения, связанные с (16.4.7), невозможны при большей размерности, потому что ф(х) не обязана стремиться к нулю при )х) - со даже в том случае, когда и Чз, и все ее производные первого порядка принадлежат Е;.
Однако сам результат сохраняется: в 6 !6.8 будет показано, что если Н вЂ” любой само- сопряженный оператор, то (1) к оператору — ((4) Н можно применить теорему Хилле — Иоснды, и (2) если г(зр(г(( = — (1)й) Нф, то (г(/г(() ~)ф)~а=О; следовательно, задача с начальными данными для уравнения Шредингера корректно поставлена относительно Е'-нормы. Это очень общий результат: оператор Н может быль гамильтонианом системы, состоящей из любого числа частиц, на которые действуют любые внутренние и внешние силы, предполагается только, что Н самосопряжен. Исследование само- сопряженности различных гамнльтонианов Шредингера и Дирака было проведено в гл.
10 и 11. Для многоэлектронного атома из принципа исключения Паули следует одно важное вспомогательное условие. Его полное изложение потребовало бы введения электронных спинов, однако пояснить его можно следующим образом. Пусть ф(х„х„() — волновая функция двухэлектронного атома, где теперь х, и х,— трехмерные векторы.
В этом случае используется гильбертово пространство Ез(к'). Иногда требуется, чтобы волновая функция была симметрической относительно перестановки двух электронов, т.е. ф(х„х„()=ф(х„х„(), а иногда необходимо, чтобы она была антнсимметричес кой: ф (х„х„() = — ф (х„х„(). Для учета этих требований вводятся два подпространства Е', и Ез пространства Ез (Йк), состоящие из симметрических и антиснмметрических функций из Ез(й') соответственно. Гамильтониан Н многоэлектронного атома всегда инвариантен относительно перестановок двух электронов, так что если зрЕЕ*, (или Е'), то и Нф~Е', (или Е'). Поэтому если ф(хг, х„() — произвольное решение уравнения Шредингера, то симметрическая функция зр (х„х„() + ф (х„х„() !б.б. Уравнения Максвелла в вакццме 40! и антисимметрическая функция ф(хв, х,, !) — ф(х„х„!) 1а.е.
уРАВнения максвеллА В ВАкууме В этом параграфе демонстрируется использование второго определения самосопряженного оператора, данного в з 8.6. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений дЕ ди — = — срхН, — =срхЕ, д! (16.5.1) где векторные поля Е (х, !) и Н (х, !) удовлетворяют также вспо- могательным условиям 7 ° Е=О и ц Н=О (16.5.2) и начальному условию Е (х, 0) и Н (х, 0) заданы. (16.5,3) [)ц(ожно рассмотреть несколько более общую задачу об электромагнитном поле. Однако если есть токи и заряды, на движение которых влияют зти поля, нли имеют место ферромагнитные эффекты„то уравнения оказываются нелинейными.1 Уместным для данной задачи банаховым пространством является подпространство Н, гильбертова пространства Н, элементами и которого служат пары векторных полей в Ев с евклидовой нормой: Н (х) ~, 'и!( = ( ) (( Е !в+ ~ Н !в) с(*х) ! Е 1 = ((Е. Г+! Е, Г+1Е. 1*)'" (16.5.4) (! 6.5.5) где (16,5.6) являются решениями того же самого уравнения в подпространствах (.в и Е' соответственно.
Если ограничиваться рассмотрением того или иного подпространства, которые, очевидно, замкнуты и поэтому являются банаховыми пространствами со всеми нх свойствами, то вспомогательное условие выполняется автоматически. На подходящей области определения гамильтониан само- сопряжен на каждом из этих подпространств, следовательно, по теореме Хилле — Иосиды задача с начальными данными снова поставлена корректно. 402 Гл. гб.
Корректно оогтаеленние эадачи. Гголугрунни а величина ~ Н( аналогична. Тогда Н=(и: 1и) к оо), а скалярное произведение в Н имеет вид (и„и,) = ~ (Е, Ев+Й, Н,)еРх. Пространство Н представляет собой декартово произведение шести пространств вида гЕ„(х): ) )Е„)вУх <оо~, т, е, пространств типа (.в(Ев); поэтому можно написать Н (г и (1(в))в имея в виду, что квадрат нормы в декартовом произведении равен сумме квадратов норм шести перемножаемых пространств, Подпространство Н, определяется так: Н„=(иЕН: 7 Е=О, тг ° Н=О). (16.5.8) Ясно, что это линейное многообразие в Н; сейчас мы докажем, что оно замкнуто„следовательно, является подпространством, т. е. гильбертовым пространством со всеми его свойствами.
Ком- поненты векторов Е и Н являются распределениями из (.', а производные в (16.5.8) берутся в смысле теории распределений. Итак, у. Е =О в том и только в том случае, когда ~ чрр Е грх=О для любой пробной функции чр Е С,", (Ев), тогда как Ч. Н = О тогда и только тогда, когда для любой пробной функции ф Г фр НРх=О.
По определению производной распределения это означает, что элемент -Г1 ортогонален всем элементам из Н вида И Таким образом, Н, является ортогональным дополнением множества всех элементов такого вида. Ортогональное дополнение всегда является замкнутым линейным многообразием (см. гл. 1), поэтому Н, замкнуто. Для того чтобы представить (16.5.!) в виде ди/д1=Аи, оператор А определяется сначала на Н следующим образом: формально определим оператор А, как 1б.б. Уравнения Максвелла в вакууме 466 (входящие в это равенство величины как распределения вполне определены); затем возьмем Р(А)=(иЕН: А,ибН); для иЕ 0(А) Ам=А,и. (16.5.10) Элемент Аи всегда принадлежит Н„потому что дивергенция вихря равна нулю; таким образом, А переводит Н, в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
