Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Из уравнений Ренкнна — Гюгонио нетрудно получить, что если это ударные волны сжатия, то задняя дви- х) Хотя возможность существования ударной волны разрежения при неко. торых весьма спецнфических условиях теоретически предсказывалась уже до. вольно давно, экспериментаторам удалось подтвердить это лишь в самое по* следнсе время (см, работу Борисова и др. [(9801).— Прим, верее. Гл. 17. Нелинеанме задачи: гидрадинаника 432 жется быстрее передней, так что они через короткое время сливаются в одну ударную волну, тогда как ударные волны разрежения с течением времени все больше и больше удалялись бы друг от друга.
Благодаря отсутствию в природе абсолютной точности ударную волну одинаково хорошо можно представлять себе либо как одиночный разрыв конечной величины, либо в виде последовательности многих малых разрывов с малыми расстояниями между ними. Если такая последовательность состоит из ударных волн сжатия, то они быстро сливаются, формируя крутой общий профиль, тогда как ударные волны разрежения стремились бы разойтись в стороны, формируя при этом профиль плавного перехода.
Благодаря молекулярной природе жидкости в ней неизбежны такие диссипативные процессы, как теплопроводность и вязкость. Очевидно, что переход давления, плотности и температуры от их начальных значений к конечным не может происходить мгновенно, а должен осуществляться в слое, толщина которого сравнима со средним свободным пробегом молекул жидкости. Даже если эта толщина составляет несколько таких пробегов, градиент температуры оказывается достаточным для того, чтобы вызвать заметное перетекание тепла от нагретого участка к холодному, а возникающие в жидкости сдвиги достаточны для появления заметных снл вязкости (напомним, что плоское сжатие в одном направлении вызывает сдвиги; зто можно установить, рассматривая прямые, образующие углы 45 с направлением сжатия')).
Чтобы получить качественную оценку этих процессов, можно использовать описывающие их классические уравнения, несмотря на то, что эти уравнения точны только тогда„когда температура и плотность очень мало изменяются на расстоянии, сравнимом с длиной свободного пробега.
В работе Беккера [19221 (см. также книгу Рнхтмайера и Мортона (1967, 9 12.101) классические члены, представляющие перетекание тепла и силы вязкости, включены в уравнения гндродинамики для случая одной пространственной переменной х. При этом ищется такое решение, для которого и, р, р, 47 зависят от х и г только через комбинацию ш= х — (Л ((7 †констан) и достигают предельных значений и„ р„ рг, 4'г и и„ рм р„ 8, при ш — — со и ш - аа соответствейно с непрерывным, но достаточно быстрым переходом от одной совокупности значений к другой на достаточно малом интервале по ш.
Оказывается, что предельные значения точно удовлетворяют условиям на скачке (17.5.2) †(17.5.4) при х = К (Этого следовало ожидать, потому что условия на скачке зависят только от сохранения В целом массы, импульса и энергии, а диссипативные эффекты ') Сма например, книгу Зельдовича в Райзера [1966, с.
6761.— Прим. перев, 77.7. Звуковыв волны и карактристики 433 исчезают в пределе при ш — ~ос.) Однако решение такого вида существует только для ударных волн сжатия, т.е. при и„и,>(/ только для р, > р, (при этом р, > рь 8,>8„ив(и,). Следовательно, не существует бегущего решения стационарной формы, соответствующего ударной волне разрежения. Ясно, что если ударная волна разрежения с произвольным профилем начнет ' движение в момент 7=0, то со временем ее профиль будет неограниченно расплываться и никогда не станет стационарным. Т7.7. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ Звуковые волны — это колебания с малой амплитудой и малой длиной волны, накладываемые в качестве возмущений на гладкое течение жидкости. Если 1Р = 1)в (х, 7) — гладкое решение консервативной системы (17.2.5) и $/в -)- е0' — другое такое решение, где е — малая величина, а 1Р представляет звуковую волну, то д (Вв+ а0')/д/+ дР (1) в+ е()')/дх = О.
Следовательно, с точностью до первого порядка по а д(/в/д/+д(А(1)в) (Р)/дх=О, где матрица А определена в (17.2.12). Предположение о малости длины звуковой волны означает, что $)в должно очень мало меняться на длине волны для 1/', т.е. что величиной д(/в/дх можно пренебречь по сравнению с д(Р/дх, и поэтому д1Р/д/+ А ( 1Р) д 1)'/дх = О. (17.7.1) Для данного гладкого течения 1)в (х, /) (17.7.1) представляет собой линейное уравнение относительно 1Р(х, /), отличающееся от (17.2.13) только тем, что оно линеарнзовано путем замены в матрице коэффициентов А неизвестной функции 1) (х, 7) известной функцией бв(х, /). В элементарной теории звуковых волн предполагается, что решение уравнения (17.7.1) должно представлять волны, распространяющиеся по жидкости в обе стороны. Если матрица коэффициентов постоянна и может быть диагонализирована при помощи преобразования А- ТАТ '=/7, а произведение Т(Р обозначено через Ч", то уравнение (17.7.1) принимает вид дЧ'/д/+ 0 дЧ'/дх = О.
(17.7.2) Уравнения этой системы будут взаимно независимы, а /-е урав- нение запишется как дЧ'/д/+ ) 7 дЧ /дх = (д/д/+ А д/дх1 Ч) — — О, (17.7.3) Гл. 17. Нелинед ме задача: еидрадинамика где Х есть 1-е собственное значение матрицы А. Для вещественного Х~ решение этого уравнения будет представлять волну, распространяющуюся со скоростью Ху. Так как на самом деле матрица коэффициентов в (17.7.1) не является постоянной, матрицы Т и Р зависят от !)ы, и поэтому вместо (17.7.2) будем иметь Т д13т/д1+ТА д(3'/дх= О, т. е.') Тд(Р/д1+ РТ д(Р/дх = О.
(17.7 А) Следовательно, вместо (17.7.3) получится уравнение ,'".Трл((3)[д/д1+)с,((3)д/дх)(/;=О (1=!..., 1), (17.7.3) иго где 1 †чис уравнений в системе (для гидродинамики в одномерном случае 1 = 3). Теперь решение представляет волны, распространяющиеся в среде с переменными свойствами, а уравнения системы взаимосвязаны, потому что матрица Т в (17.7.5) не перестановочна с дифференциальным оператором. 17.8. ГипеРБОлические системы Напомним, что матрица А может быть приведена к диагональной форме с помощью преобразования подобия А — ТАТ '=Р тогда и только тогда, когда она имеет полную систему собственных векторов. При этом столбцы матрицы Т ' образуют полную систему правосторонних собственных векторов, а строки матрицы Т образуют полную систему левосторонних собственных векторов. Система д 13/д1 + А д !3/дх = О уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами называется гиперболической, если все собственные значения матрицы А вещественны, а система ее собственных векторов полна.
Линейная система д13/д1 + А (х, 1) д 13/дх = О с переменными коэффициентами называется гиперболической в области А плоскости х, 1, если в каждой точке области Я все собственные значения матрицы А(х, 1) вещественны, а система ее собственных векторов полна. Гиперболичность нелинейной системы зависит не только от уравнений, но также и от решения. Если 13(х, 1) есть решение системы д 13/д1 + А ((3) д(3/дх = О, (17.8.1) ') Если матрица А (Г/ы) диагоиализируема при всех зиачеивях решеиия Юы,— Прим, переы. 77.9. Уравнения гидродинамики в характеристической форме 435 то эта система будет гиперболической в области М для решения !3 (х, !), если матрица А (13 (х, !)) обладает указанными выше свойствами, т.
е. если линеаризованная система, которая получается при линеаризации системы (17.8.1) относительно решения !3(х, !), является гиперболической в области Я. На зависимость А(13) от 13 или А(!3(х, г)) от х и 3 часто накладывают ограничения. Например, считают, что эти функции удовлетворяют условию Липшица, а чтобы избежать плохой обусловленности матриц, требуют ограниченности величины "!Т!!Т г( в области М, где )~ ~! обозначает норму матрицы, а Т вЂ матри преобразования, которое приводит А к диагональному виду: ТАТ-'=О. Если матрица Т умножается непосредственно на систему (17.8.!), а не на ее линеаризованную форму, то получается система ~~,'г Т, (%3) (д3д!+Л (%3) д/дх) (3» —— О (!'= 1, ..., 1) (17.8.2) я=! (сравните ее с (17.7,5)).
Это характеристическая форлеа системы (17.8.1). Система является гиперболической тогда и только тогда, когда она может быть преобразована в систему уравнений с вещественными коэффициентами, имеющую характеристическую форму. Если система является гиперболической, то для каждого 3=1, ..., ! существует однопараметрическое семейство кривых х(!) на плоскости х, г, которые удовлетворяют уравнению йхе!с(Т=Лр т. е. уравнению йх(Г)3йà —.-Л,(!3 (х(Г), Г)). (17.8.3) Такие кривые называются харокеперистикалеи решения 13 (х, г). Зто пути распространения (в смысле геометрической акустики) звуковых волн, наложенных на решение 13(х, !). Существенной чертой характеристической формы (!7.8.2) является то, что в данной точке с координатами х, ! все величины в 3-м уравнении дифференцируются в одном и том же направлении в плоскости х, г, а именно в направлении 3-й характеристики, проходящей через эту точку.
в7.9. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Уравнения одномерной гидродинамики проще всего представить в характеристической форме, выбрав в качестве зависимых переменных плотность р, скорость и и удельную энтропию Б. Если уравнение состояния записано в виде р=р(8, р), Ге. /7. Нееииедиые задачи: гидродинамике а с=с(5, р) определяется формулой с'=др(5, р)(др, (17.9.1) то уравнения 9 17.2 принимают вид (д/д/+ ид/дх) р + р ди/дх = О, (д/д1 + и д(дх) и+ (1/р) (с" др(дх + (др(д5) (д5/дх)) = О, (д/д/+ ид(дх) 5= 0; тогда и р 0 с'/р и (1/р) др (5, р)/д5 0 0 и (17.9.2) а собственные значения Ло Л„Ле матрицы А являются корнями уравнения де1(А — Л/) = [(и — Л)' — с*|(и — Л) = 0 и равны и~-с и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
