Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Характеристики — это траектории распространяющихся вперед и назад звуковых сигналов и частиц жидкости. Теперь нетрудно записать уравнения в характеристической форме: ( д~ + (и + с) д ) Р+ рс ( а~ + (и + с) щ) и = О, ( а ах — +(и — с) — ) р — рс[ — -1-(и — с) — ) и=О, дС ах(' [а~ дх/ (17.9.3) Важным частным случаем является тот, в котором в некоторый начальный момент времени 1=0 энтропия постоянна, т, е.
5(х, 0) не зависит от х. Тогда третье из уравнений (17.9.3) показывает, что 5 будет оставаться постоянной все время (точнее, до появления ударных волн), а это означает изэнтропичность течения. Отсюда следует, что Р и с зависят только от р, и поэтому временно их можно обозначить через р(р) и с(р). Определим еще одну термодинамическую величину, а именно о (р) = ) [1/(рс (р))1 г(Р (р); тогда первые два из уравнений (17.9,3) после деления на рс дадут [д/д/+(и ~ с) д/дх|(о+. и) =О.
(17.9.4) Величины о д- и, которые называются инвариантими Римана, поетоянны вдоль опережающих и запаздывающих характеристик. 17до. Замачания а аадачая а начальными данными 437 На уравнениях (17.9.4) основаны различные аналитические численные методы расчета одномерных изэнтропических течений.
Один такой пример, в котором рассматривается спонтанное образование ударных волн, приводится ниже в 9 17.14. В (17.9.4) с и о являются функциями р, и поэтому в качестве зависимых переменных могут быть взяты и(х, 1) и р(х, /). В некоторых случаях р можно исключить из с(р) и о(р) (например, для идеального газа о = 2с/(у — 1)), (17.9.5) и тогда а качестве зависимых переменных можно взять и(х, /) и с(х, /). 47ла.
3АмечАния О зАдАчАх с нАчАльными дАнными Для нелинейных уравнений с частными производными, которые возникают в физических приложениях, теория задач с начальными данными состоит из двух частей. Начальные данные и решения в общем случае являются кусочно гладкими, и поэтому одна часть теории посвящена гладким фрагментам решений, а в другой ее части рассматриваются скачки и прочие особенности. Если решение гладко в области пространства х, /, то его эволюция определяется дифференциальными уравнениями. Если в такой области все зависимые величины известны в некоторый момент времени /,, то можно надеяться определить их там в ближайшие последующие моменты /,+з, решая локальную задачу с начальными данными для дифференциальных уравнений.
Такие локальные задачи с начальными данными рассматриваются в теореме Коши — Ковалевской, которая будет приведена ниже (см. ~ 17.14). Сначала напомним, что уравнение с частными производными, имеющее порядок выше первого, всегда можно свести к системе более низкого порядка за счет введения новых неизвестных. Например, уравнение /(и, ди/д1, д'и/д/я, ди/дх, д'и/дх*, д'и/дхд/)=0 можно переписать в виде системы /(и, о, до/д/, ди/дх, д'и/дх', до/дх) =О, ди/д/ = о, которая имеет первый порядок по 1. Поэтому естественно рассмотреть систему уравнений ди,/д/ = /4 (1= 1, ..., 1), (17. 10. 1) где' для каждого 1 функция /, зависит от неизвестных и,...,, и, и их производных по пространственным переменным Гл.
77 Нелинейные эадани: гидаадинаиина х, у, .... Однако эта система слишком специфична в одном отношении: мы придем к ней только тогда, когда исходные уравнения (каковы бы онн ни были) могут быть разрешены относительно всех первых производных диг(де по С Но это не всегда так. Чтобы дать в дальнейшем физическую интерпретацию условия разрешимости относительно производных по времени, рассмотрим линейный случай для двух независимых переменных. Если считать неизвестные и, (х, !) (! = 1, ..., !) компонентами вектора () = !) (х, г) и предположить, что исходная система полностью сводится к системе первого порядка как по х, так и по г, то последняя запишется в виде А д()/д!+ В д(//дх+С() =О, (17.
10. 2) где А, В и С суть (!х!)-матрицы, элементы которых являются гладкими функциями от х и С Заметим, что отсюда не следует равенство порядков по ! и х для исходного уравнения. Например, уравнение теплопроводности дп!д! =деи!дхе можно представить в виде (17.10.2), если ввести новую функцию и=ди!дх н положить А-( ), е.-( ), е=( ). аезее> Рассмотрим теперь задачу Коши, или задачу только с начальными данными, определяемую уравнениями (17.10.2) совместно с начальным условием (!(х, О), заданным для всех х. Если де!А ФО в некоторой области Я плоскости х, г, содержащей ось х (илн в более общем случае часть оси х), то систему (!7.10.2) можно разрешить, выразив д!)(д! через заданную функцию () (х, О) на оси х в области М.
После этого дифференцирование (17.10,2) по е дает уравнение для определения д%(дге на оси х через функции () и д(37д! (теперь уже известные) и т. д. Поэтому если функция (! (х, О) бесконечно дифференцируема по х, то определены все производные д%/д!н, и их можно использовать для построения степенного ряда (1/И) Гада(//д! ~л а. (17.10.4) а=о Можно доказать (это частный случай теоремы Коши — Ковалевской), что если $3 (х, О) — аналитическая функция, а матрицы А, В и С вЂ” аналитические функции по х и 1, то ряд (17.10.4) сходится для ! из некоторого интервала ( — е, з), где е может зависеть от х, и сумма этого ряда как функция от х и г удовлетворяет уравнению (17.!0.2).
Следовательно, решение задачи с начальными данными получается в некоторой окрестности оси х в области А. 17.Ы. Распространены инсрормации вдопь харантсристин 439 Ситуация будет совсем иной, если бе1А=О на оси х в области Я. Пусть в этом случае У=У(х) — левосторонний собственный вектор матрицы А, ссютветствующий нулевому собственному значению. Умножая (17.10.2) слева на Уг, мы увидим, что начальная функция 11(х, 0) должна в таком случае удовлетворять условию (УТВд~дх+ УТС) () (х, 0) = 0 (17,10.5) для каждого такого левостороннего собственного вектора У, но это означает, что задача с начальными данными теперь не имеет решения.
Далее, если начальная функция все же удовлетворяет этому условию, то описанный выше метод степенных рядов становится вообще непригодным для построения решения, потому что производные д()7дг', д*()/д(с и т. д. уже не определяются однозначно на оси х при помощи уравнения (17.10.2): например, к любому значению функции д117дг, получающемуся из (17.10.2), можно добавить произвольное кратное правостороннего собственного вектора матрицы А, соответствующего нулевому собственному значению. Таким образом, задача с начальными данными локально имеет единственное решение, если бе1 А ~ О в области д1. Если же это не так, то решения в общем случае не существует, а если оно все-таки существует, то оно всегда будет неединственным.
Интерпретация и обобщение этого результата будут даны в следующем параграфе. Задача )теплопроводности, сформулированная выше в терминзх двух функций и и о (это отнюдь не лучшая ее формулировка), дает пример того, что бе1 А = 0 (согласно (17.10.3)). У этой задачи нет решения, если начальные значения и и о не удовлетворяют условию о=ди7дх на оси х, а если это условие выполнено, то решение задачи не является единственным, потому что к о можно добавить произвольную функцию от Т.
17.11. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ВДОЛЬ ХАРАКТЕРИСТИК В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ Теперь сформулируем выводы предыдущего параграфа в терминах характеристик. Если, как и в ч 17.8, существует линейная комбинация уравнений системы (17.10.2), в которой все величины дифференцируются по одному и тому же направлению в плоскости х, Т, то говорят, что получившееся уравнение (зта линейная комбинация) имеет характеристическую форму. Это тот случай, когда существует такой вектор %=%(х, 1), что векторы %"А и %"В пропорциональны, т. е. % г А р % 440 Гл. /7. Нелинейные вадалш гидродинамике при некоторых Л=Л(х, !) и )4=р(х, /), не обращающихся одновременно в нуль.
Тогда нужная линейная комбинация получается умножением (17.10.2~ на %г слева. Предположим сначала, что один из векторов % А и %гВ не является тождественным нулем и поэтому отличен. от нуля в некоторой области М плоскости х, С Тогда интересующая нас линейная комбинация может быть представлена в М как %г А (рд/д! + Лд/дх) (3+ )4% тСЬ3 0 если %гА ~=О, и как т В (рд/д! + Лд/дх) $) +'Л%г С() = 0 если %гВ~О. Если кривая и": х=х(е), г=/(з) в М определяется уравнениями х=Л(х, !), !=/(х, /), (17.11.1) где точка означает дифференцирование по параметру з, то в обоих случаях и' является характеристикой или характеристической кривой, а линейная комбинация принимает вид т'г д!)/д/+ Хг(3 = О на Ф.
(17.П.2) По своему характеру это обыкновенное дифференциальное уравнение. Если на 6 известны и — 1 компонент вектора 1), а л-я его компонента известгш в одной точке кривой 6, то во всех других точках кривой эту компоненту можно найти интегрированием уравнения (17.11.2). Иначе говоря, информация о решении распространяется вдоль характеристик. Теперь рассмотрим тот случай, когда оба вектора %гА и %гВ равны нулю в области М, а %гС в нуль не обращается.
Тогда в силу (17.10.2) %гС() =0 в М, и поэтому компоненты вектора 13 снова оказываются взаимосвязанными на кривой Ж. Наконец, если %гА, %гВ, %гС все равны нулю в области М, то уравнения системы (17.10.2) не являются независимыми в М, т. е. уравнений оказывается меньше, чем неизвестных, и поэтому решение локальной задачи с начальными данными становится неедииственным. Характеристическая кривая и" параллельна осн х, если на Ы !=О, или )4=-0, или же %гА=О, Поэтому предыдущий результат относительно задачи с начальными данными, определяемой уравнением (17.!0.2) и заданной в качестве нач льного условия функцией () (х, 0), может быть сформулирован следующим образом. Эта задача имеет единственное решение в некоторой окрестности оси х при произвольной начальной функции $) (х, О) тогда и только тогда, когда ось х не является характеристикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
