Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 90
Текст из файла (страница 90)
ИП(171(7) а — к опггдклкнныи интггаалы от спкниальных огнкции 9 а (а" +иг) (а'+48 . )аа+(га)а) тат' (~ ) (а*+гг)(аа+В") ... (аг+(2а+1Р) [Кеа > 0]. 7.244 ИП 1 171 (5) г 1, ~ Р„(1-2хг)в1п ахг)х —. [У г ( — )1 [а > 0[. г 2. ~ Р„(1 — 2хг) совахЫх= —.( — 1)а./, ( — ") а, Я [а > О]. ИП 1 94(2) ИП 1 38(1) а 2. ~ Ра(совО)в(ппОггО 2(а — и+1)(а — и+Э) ... (а+ж — !) Ог — и) (а — и+1) ...
(а1-аа) [п > и, и+и нечетко]; 0 [п ~и или и+гп четно]. МО 71 Ра (1 — 2 в)пгх в(па О) ип ха)х (та+1) ' а 6 ! ваг у' ]'г га г+- Рв„,(х)капах==( — 1)" . 1 з(а) МО )1 [а > О[. ИП 194(1) г 1 ! 1. ~ (аг+ Ьг-2аЬх) ~в!п [Х (аг+ Ьг — 2аЬх)1]Р„(х) ~)х = -г =л(аЬ) l ~ (аА)У, (ЬХ) г г [а>0, Ь>0]. ! 1 г 2. ~ '(аг+ Ьг- 2аЬх) сов [1 (аг+ Ь' — 2аЬх)г] Ра (х) 8х= -г ИП П 277(11) =л(аЬ) гХ,(аХ))т г(ЬХ) [0<а~Ь]. а+1 "+г ИП П 277 (12) 7.245 1.
~ Рэ ~~(совО)совОг(О=;,—.,( ) [ г ). МО 70, ВТФ П 183 (50) ! ! — !.з шавовык оз нации Р„(х) весе!н х !(х = 0 -! [п — четкое]; [и — нееетиов]. УВ П 129 (и — 2)$! ! е 2 ~а+1) 7.25 Полинины Ле!канцра и цилиндрнчеекие функции 1 хр (1 2хй))1! (ху)4(х я ау ~[за 1(у)+ ДЛГа ! (у)1 [п = О, 1, ...; у > О, т > 0].
ИП П 108(1) ! 1 хР (1 — 2*')КО(ху) !(х-у '~( — 1)"'К .!(у)+ —.' Я .,((у)1 Ь [у > О]. ИП П 134(1) хр„(1 — 2х|)У (ху)!(х=у !У „(у) х!!» (1 2х ) ['~~ (ах)] !Ь 2 2 1 [[у~ (~)] + [ув ! ( )] [у ° 0]. ИП П 13 (1) ИП и 338 (39) и хР„(1 — 2та) 7„(ах) Ве (ах) !(х е ! =2(2,+!) [у (а)!уе(а)+у .!(а))у ы(а)].
Г !т+1) Г( —,и-!- — ч+лф! / Г ( — + — м — а) (.2 З ,] (.2 ° Х Ра( —, ™ о+1, — +о+1, — — и Г!!+ю ы+ч р+т и+ м,~а й З~ 2 ' 4 ) [а > О, ВеОв+ ч) > 0]. ИП П 337 (32) и ИП П 339 (48) и ~ *!Р„(1 — 2х!) У! (ху) е!х о у ! (2п + 1) ! [(и 4- 1) .У ш (у)— о — !а!а,(у)! !у>0]. ПП П 20(23) ! ~ х!'-' Р„(2хе — 1) У„(ах) !(х = е 840 7.311 о— (1 — хо) С» (х) о(х =- О, -! [ и>0, Вет> — — ] .
ИП П 280 (1) о— ха+то (1 хй) о ~' (х) о(х о ИП П 280(2) ИП П 280 (3) 7.252 7.253 о-!. оповдклинныв ннткгталы от спвциальных этнкпии Р,(1 — 2 )1о(а )а = —,', [7„(')+7„„(а)) [а > О[. ИП П 366 (11) и ~ е(п(2х)га(сое2х)У,(аошх)да=а !.1 „,(а). ИП П 361(20) о хРа (1 — 2х') [7о(ах) — Ьо(ах)) о(х = ( — 1) [Х ! (а) — Ь -! (а)) [а > О[. ИП П 385 (14) и 7.3 — 7.4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 7.31. Мвоточлены Гетеибауоре С'„"(х) и етепеннаи функции Г (2о+а) Г (2О+а+ 1) Г ( о+ — ) Г (О ' —,) 2»' Г (2т) Г (2О+ 1) а( Г (а+ о+ о+1) [ 1 1 ! Вео> — —.
Нет> — — [ . 2' 2[' ! ! ~ (1 — х) (1 + х)О Са (х) !(х = -! ! , ~Г (3 1 1) Г ( + — ~ Г (го+а) Г ~() т Р . ) 3 а(Г(2о) Г [ 5 — о — а+ —,) Г ( а+о+а+ 2 л 1 Вер > — 1, Нет > — —. ~ (1 — х)~(1 + х)е С!", (х) о(х = — ! 2а+а+! Г(а+1) Г (Р+1) Г (а+2о) а( Г (2ч) Г (а+8+21 Х (т, ( — а, л+ 2т, а+ 1; «+ —., а+ [) + 2; 1) [Веа> — 1, Ве[) > — 1[. ИП П281(4) 841 Т 2 — ! ! ОРТОГОНАЛЬНЫН МНОГОЧЛЕНЫ ! д ! ! 1 ! и 22 2 — (т — 2) й! е г™(22 — 1) ~ф ' ! (г) ~ в2 ~ и, Ке и > — — ~ . ИП П 281 (5) 1 1 »в 2 ~ х"'1(г — х) '(1 — хг) С~(х)!Ь= -1 ! т ! 1 1 2 2 -(» — )в~ -»в — — е г" (22 — 1) Г !т! 1 »в Р,' !(2)- 2 2' ™»»! Г (т) Г (т +»+!) [ йе т > — — [ .
ИП И 281 (6) 1 1 3. ~ (г-х) 1(1 — хг) С!»(х)С„(х)!Ь= -1 11 ! 1 1 1 х222 ( 2) 2 гт 7» »вЂ” — ("-1)' 'С"-(~)9 .' () ~т<в, Кет > — ~ ~ . ИП П 283(17) 7,313 1 1 1. ~ (1 — х') С' (х)С»(х)!Ь=Π— 1 [ тФН, Кот > — — ) . ИП П 282(12), М098и, ВТФ1177(16) 1 ! 2 ~ (1 — х) [С»(х)1 дх=а!(а+ )(Г )), -1 '[Кет > — ~ Д . ИП П 281(8), М098и, ВТФ1 177(17) 7.314 2Г ( —, ) Г(2 -)-»! 2 Х ! (1 — х) (1+ х) [С»(х)["2х = ! Г 2 — 1 [Нет> — ~.
ИПП281(9) 7.312 В нижеследующих интегралах г принадлежит комплексноп плоскости с раарезом вдоль интервала деиствительноа оси от — 1 до 1. 1 1 1. ~ х (г — х)'(1 — х') С„(х) !Ь= -! 842 е-! онккдкнкннык инчкгклцы ат снкцилньнык екннции ! в»в г ' (Г (2»+ 0 Г [ 2 -!- + — ) 2) ! ! 2. ~ (1 — х) в(1+х)лч ' [С'(х))»Дх -! !в!)в Г [2»! Г (3»+ 2л -! — 2) !' [Ве» > О].
ИП 11282 (10) ! 9 ! 3. ~ (1 — х) '(1-[-х) '[Са(х))'Ыт= — ! [ Г( +2) [ Г(ч+2а+ — ) Г(2»+2а)Г(З +2 — — ) 22"ч " [ л! Г (» 1-а+ — ) Г(2») 1 Г (2»+ 2л+ — ) [Веч> — ~, ИТ! П 282(11) ! ! э 4 ~ (1 — х) 2(1+х) С (х)С» (х) <Ь= — ! ! Зч— 2 Г [ ч+ — ) Г(2»+!а)Г (2»4 в! 2) ! т(л! Г (2») Г ( — — ч) Г (ч -)- — + т-)- в) Г [ —, — ч + в — т) 2 .~ [.2 Г(ч+ — +л — гл) Г (3»+ л-+ т+в) [Ве» > О). ИП П 282(14) ! 1 6.
~ (1 — х) '(1 [-х) 2 С' (х) С„'(х) !)х = -! 2'»+т»" ' [ Г (ч+ — ) Г (2»+а!+ а! 1 Х Г (»+т+ — ) Г [ ч, л+ — ) Г (2ч+ т! Г (ч+ т+ а+ — ) Г (3»+ а!+ л — — ) Г (2»+л) Г (4»+2т, 2л) [ Не ч > — 1 . ИЛ П 282 (15) 2г-З-тЧ»агГ(2» ! а) =( — 1) " Х га! (а — гв)! (Г (ч])* Г ( — +ч+ и!) (2 Г (ч — +и! — в) Г ( —,— ч+л! — л) г( — — — ) г( — +т — л) [Веч > — —; а>и ~ .
ИП 11282(13)и ! ! 5 ~ (1 — х)~" ' (1 + х) С»„ (х) С"„ (х) с)х = 2! !» — 7 ОР!О«о!!Алел!!в мне!Оч.!!.ны ! ! ~ (1 — х) (1+х) С" (х)С«(х)!(х»» 2 ~!»+=.г~ » !„ 1 ! Г 3 '! Г (2р) Г (2«) иь(в( Г»( « — и — — ~ Г ( « — а+и+ — ») 2.) 3 Х,Р«( — т, и+2)!, а-(-1, а — «+-~., 1 3 3 )в+ —, «+ а+ и+ —, а — ч — п+ —; 1 2 ' 2 ' 2 ' Ве а > — 1, Ве «> — — ) .
ИП П 283(1(!) 23 ! -«-! хг(2 «7 — « ~ (1 — х')1 С«„(ах) дх С1 (2е' — 1) г( — + — ) (Ве «> 0]. ИП П 283 (19) ! (1 — лв)" 'С,",(со«асов()+х31аае)п()) !1х ! 7.31$ Г (2«+в) 22!' ' в! (Г («Д* (Вее > О). ИП П 283 (20) 7.317 Г (2«+и) Г («+ —,! Г (а) 1" 2 Р (-. 3! Р» (1 у), 2Г (2«) Г (»в+ «+а+ — ) (( 1 а=«-!-а — —, й=« — а —— 2 ' 2 ~Ве«> — 2, Веа> О ) . ИП П283(21) ! Г (2)!+ в) Г ()!+ — ) Г ()и) 1 Х 1 1(1-х)в-!х 1С'„(1-ух) Ь= (1-7) Г (22) Г (2+(!+в+Т) 1 1 а = А + )ь — —, () = )! — )! —— 2 (Ве)!> — 1, )(ФО, — —, Ве)1>0) . ИПП 190(39)и ! ~ ( )и-! «-!Св (1 1 г (22+») ГО!) Г («) — х х» — ух и|Г(21) ГО! ) «) х Х Зри( в в+22 У) )(+ 2 )»+«' 2) 1 7'! х (2)!ее О, — 1, — 2, ..., Ве)! >О, Вее> О).
ИП П 191(40)и ! 7.318 ~ хх«(1 — хи)' ' Си(1 — х'у) !(х 844 в — ь апгкдклкннык инткггалы ат спкцивльных егыкции 7.319 )а-в «-$~1 ( 3) ] ( 1)в Г (1+а)Г ()в) Г («) . г(1)г(и+«) Х «Рв( — и, л+Х, »; —, )в+»: ув) 1 [Ве (в > О, Ве т > 0]. ИП П 191 (41) и Ф 1 ~(1 )а — ~ о ( — 1)" 2тг(и]Г(4+и+1) Г ( «+ — ) ы г (х) г (и+ + ~ ] з ,в Х»Р ( — и,и+А+1, »+ —; —, )в+»+ —; ув) ~йе)в>0, Вот> — — ). ИПП191(42) 7.32 Многочлены С~(х) и другие алемел«ариые фукалки 7.321 ~ (1 — хв) в евв«С„'(х) 8х = -1 лВ'- "Г(И»+в) [Ке»> — — ~. ИПП281(7), М099и ва 1 ~ [х(2а — х)] С» [« — — 1] е-в" в(х= о и( Г (») х 2Ь ~ [Ве»> — — ]. 7.322 ИП1171(9) а 2.
~ С«(со«»рга ф'+ (п«р«(п«[»'сав~р)(в(п~р)в»-вв4р= 2«» ' л! [Г(»)]вС4(сав«р)С„'(сов ф) [Г(2»+ л)] в [Нет > О]. ВТФ1177(20) 7.323 1. ~ С„' (сав «р) (вюп ~р)в' <ф = 0 [л = 1, 2, 3, ...]; =2-е«лГ(2»+1)[Г(1+»)] в [л=О]. ВТФ1177 (18) т.в — ! ! огтогонвпьнык ппо!'Очлкыы 7.324 ! 1. ~ (1 -хх) С«в е! (Х) в(пахе(с= Ю Г(2к+2«+1) У +,+! (а) ( 1)« и (2с+ 19 Г («)(2с)" [ Не ч > — —. „а > 0 [ . ИП 194(4) ! ! «-— 2 ~ (1 — хв) с Св«„(х) сов ах Дх = о ( — 1)" кГ (2л+ 2«) Х«-Гв«(с) [Неч> — —,, а>0[. ИП138(3)и (2к)1 Г(ч) (2а)« 7.33 Мпо«очлены С«(т) и цилиндрические функции. Интегрирование по индексу функций Гсгепбауэра 7.33! = ( — 1)" 22«-«+в у-«-(-в«Г (2ч — 2к — 1) )( х [(2ц+1)! Г(ч — 2л — 1)) 'в!ау [ у > О, 2п + — < Не ч < 2л + — ~ .
7.332 ОЭ з ! — «- — «+ — „ ~ х«+!(х'+[)') ' 'С.+" [(хе+[)в) '[)[Х ИП П 44 (Г1) и ! Х г в [(х +ф~) в а[ "г«(вк()«(х= «+ -~+во ! ! ! ! ! =( — 1)«2вп вау у«(ав — ув) "в)п[р(ав — ув)в[)( ! х С'," 'У ['['1 — 4Ц [а>0, Нор>О, Веч> — 1[. [0< у< а[; [а < у < оэ) ИП П 59(23) =0 « ! ~ хв"+г- (х* — 1) С«в„~" ( — )Х (ху)!(х= ! =( — 1)" 22" "+'у-«+в"-! [(2п)![ гГ(2ч — 2п) [Г(ч — 2л)[ 'сову ~у > О, 2л- —, < Не« < 2п+ 2 ) . ИП П 44(10) и 3 2 ~ х~' «+в(хс — 1) С«в„~~~! ! ~ ) у~(ху)Ых= ! 646 в — !. онткдклкнкык инткгквлы от спкциьльнык еь нинин з 1 2 ~х"+!(хе+[)в) ' 'С» ' [[)( +[)') '1)( 1 )( .7 ! [(хв+ 91) 1 а[ Х» (ху) «(х = ! 1 1 1 в в 5» =( — 1) 2 и а у»(ав — ув) сов[[)(ав — ув) ) Х 1 хСв ' [~1 — —,",)'~ [О< у < а)) 7.333 а 1 1.
~ (в)ах)"+'с«и(асов9еовх)С„(сова)У (ав)кОв(кх)йх= в = ( — 1)' =0 [п=0,2, 4, ...]; »-1 1 ( — 1) ( — ) (в!к9)'С„(сову)1 ! (а) [п=1, 3, 5, ...) »+ .!.а [Ке» > — 1]. В 414 (3) и 7.334 Х„ (к) 1. ~ (в(кх)1" С» (есв х) «)х = 4О» .Г(2»+в) . »+»(а) .~»ва (9) 2» 'а! Г(») а" ()» г 1 «в (а».Г91 2о()совх)у [ п=0, 1, 2, ...; Ве» > ИП П 362(29) (в«кх)1»С» (еовх)»,У )'» (а) «1« и»+„(а) «)«+„9)) а» 9» кг (2««+ а) 2» ! в! Г (») ! «в =(ав-)-91 — 2а[) совх) [ [а[ < (6[, К >--,~. 1 ИП П 362 (30) и 2. ~ (в«их)"+' 0 [а<у<се) [а > «), Ве[) > О, Ввт > — Ц. ИП П59(24) 1 1 [ — ) (в«ку)»С„у(еов9)Х ! (а) [п=О, 2, 4,...); »+-+а [к=1, 3, 5, ...) [Ве» > — 1). В414(2)и ,! в!к (а сов 9 сов х) С„в (сов х)У» (а вп! 9 в(к х) Их = 847 т ! — Тл ОгтОГОнгньные нпОГОчншгы Интегрирование по индексу функций Тогенбауера [ын (ап)) ' !"С!",(2) х)а = — 2! (1+ 222+ Ьг)-" ,1 [ — 2 < Нет < с < О, [агк(г Ч- 1) [ < и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
