Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 89
Текст из файла (страница 89)
ИП П 1а$$ (12) 7.185 ~ х ~ $((а!+ха)х !)У„(ху)дх= ! ! 2 $$у ~еху ~ — (а~ 4 ) у1 7" (3 у) ~Вее> — д, у>0~ ИПП46(10) Г ( — +!!+и) Г ( —,+» — $$) =2 х (7 1'[ Я+ )~* х $Р! ( ю+ р+ —; 2е+ 2; $у) $Р$ ~ $$+ р + —; 2м+ 2; — $у) ( у > О, — — — Ве $$ < Ве )$ < Вв$$+ — ~ . ИП П 45 (3) 3 1 ! ! 1 ! 5 ~ х "(хе.(-ае)' ~и (1+2аиХ и)Х„(хУ)$(т= 1.1 — 1.2 ШАРОВЫИ ФУИНДИИ Ю х (1 + х ) Ро (~1+ 1 ) ха (ху) 11х Ухо [2 Г (ч+ 1)) 1 Ко (У) ИП и 13(10) [Веч >0).
о р хРйОГ1+ ) К„( у)а*-у "В,,(у) ' [Кеч < 1, Ке у > 0). ИП 1Т 137 (14) х[Р 1( 1+аах11)) /а(ху)1(х 2и 'у 'а 'сов(ХИ) [К1(2-)~ [Кеа > О, [Ве Х) < —. у > О) . ИП П 13(11) 1 1 х(1+ха) Р~.()/1+хо)К (ху)о(х=у 18, 1(у) 1-а.ы+а [Ке ч < 1, Ве у > О). ИП П 137 (15) 1 1 * ° '( + ° х') ° '( + ')- 1 В 11 ~ Г(1+И+ — ч) ( 1 ) ы-1-1(2а) а+1 (2а) [Неа>0, у>0, Ве(1> — —, йеч> — 1 ). ИПП47(16) Э ~ хР", ф 1+ а'х*) Ды 1()/1+арах) /о(ху) 1(х= р Й Г(1+о „) р(1(2о)во(а)ыо(1) [йеа > О, у > 9, Вес > — — „, Веы < 1 [.
ИП П 14(15) ) ИР", ( Г+а'ха)Р " 1(Р'1+а"ха) l (ху) 11х= в 1 =2л 'У 'сов(аи)И'ы.о( —,)И' — ы.о( — ",) [Веа>0, у > О, )йеа) < — ). ИПП14(14) оэ [Р." 1()'1+ '*'))*х.(ху) Ь= — У ~'ы, а ( -„-) [ (Уы, о (оа1," ) — сУы, а (а — ) ~ [ Ве а > О, У > О, [ Ве а ( < —, йе )1 < 1 [ . ИП П 14 (13) 831 22 — 2.2 шеРОВыВ Фуиииии 7Л89 1. ~(а+х)" е- Р„~(1+ — )1в(~)аЬ О вЂ” — < Нер< О, — — +Пер < Нвч < — — — Квр1. ИП П 366(18) ! 2 ~ (х+а) "е- Р ек(1+ — )1„(х)!ах=- в 2е Г (2а+ч+ — ) Г (р — ч — ) ее И!1 1 (2а) ие Г (2р+ч+ !! Г (2р — ч! ']]в28а] < и, Нер > ]Неч+ — ~ 1. ИПП 367(19) С 3 ~ х-ве"Ри' (1+ — ) Кк(х+ а) а(х =и 22!' 'сов(ри)Г(р+ ч+ — ) Г(р — ч+ — ) йе! ! (2а) [] 228 а ) < и, Не Р > ] Нв ч+ — ~Ц . ИП П 373 (11) 1 ! 4 ~ х (х+а) е-"Р" ! ( — ) Кч(а+х) !ах= е 2 = р' — а 2 Г(р, 2а) (а >О, Пер < 1].
ИПП374(12) 2 — ее —— 5 ~ (ВЬх)"+'(сЬх) Рччи]сЬ(2х)]1 1(аеесЬх)аах е 2 !! —— * 2 2 Г(!а — ч! Г(р+ч+!) ! 2 12, 2 (Г ! +1))а ]Нор > Неч, Нер,> — Неч — 1]. ИП П 378(44) 7л9 шаровые функции и фуикции, родстиеивые цилиидрическии 7Л91 1 ! 1 1 еч ч+2 1. ~ х (ха — а'), Р„(2хаа 2 — 1)]Нч(х) — ач (х)]!ах= ч =2 ' яу!асовес(ри)сов(чи) ] ] а!",(- )1 — ],а,( — а)1 ~ ] — 1 < Нв р < О, Не ч < — „, ]. ИП П 384(6) 832 б — !. ОНРеиеленЯые интеГРАлы От спипнальных ХУнииии Ф 1 1 1 1 — — — -ч ч+1 $ х (ха аа) Руа (2хаа 2 1) (7 ч (х) 1 ч (х)1 !!(х а 2 ива ссвес(2(ал)сев(чн) ) („Гч (й а) 1 — ( Г;, (2 а) ) ( ) — 1 < Ве(2 < О, Ве ч < — (.
ИП П 385 (15) 7892 1 ! 1 1 — (ч-а-!1 - ! -а-21 1 !и-сч-2! 1. ~ х2 (1 — т2)~ Р (х)ЯР.,(ах) !22 о 2 2и — 2 2 2Н-н- )г(12+ +3) г(р — вч+в) (а — ч ) Х ~~ (Та)Л' 4!Р +!'Я~) Л'"(У~)~-;1-+!1(2 ~)1 [Ве ((2 — ч) < О, а > О, ! Ве(р+ ч) ! < 1, Ке(11 Зч) < 1) ИП П 387 (24) и аа ! 1 --,1 х (х* — 1) РВ,(х)Я 1(ат) дх = ! "1 2+5 Р в ! (ф — !1+ч ! ~ ('ф — !! — ч ! ! 2 'г Я вЂ” ) Ве (! < 1, а > О, Ве4)2 Ф ч — (!) < — ~, Ве((2 — ч — Р) < ~ ) . 1 1 ! ИП П 32!7 (25) и 7И93 а 1 1 — — — ч ч-- х-ч(Х2 — 1) Р1, (2х — 1)ЯЕ ч(ах)!(х= — а — — ч ! 2 2 Ьг ГЗ вЂ” И вЂ” 1~ ! ! Π—. ((2+ 1 — ч), О = ч —— 2 (Ве((2 — ч) < О, а>0, Веч < —, Ве(3ч-)2) > 1). ИПП387(27)и $ — -Ъ 2.
~ х(х2 — 1) Р». (2хч — 1) Яи (ах) !)х = 1 -"С ""+1)г( — "— -~) 2г(! и «)г(! н+ ) (Веч < 1, а > О, йе((2 — ч+Э,) < — 1, ВЕО2 — ч+Ц < 0]. ИП П38? (26)и 1 ° — 1 2 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ 7.21 Интегрирование шаровых функций по ннцгксу ?.211 ~ Р 1(совВ)12х= —,смос( —,8 ) 2 » Р„(сов 8) 122 = совес ( — 8) и 1 х 1$Ь(лх)Р 1 (сйа)с(хпп 2е 2 И'(е ') 2 [О < 8 < и]. ИП П 329 (19) ИП П 329(20) [0(В<п] [а > О]. ИП П 330 (22) 7.212 ~ — 2 — -)-Р 1 (сй Ь)1?х=() 1(ей Ь) [)(еа > О]. ИПП 387(23) 2 о вй (пх) сов (ах) Р, (Ь) е(х = —.= ( 3 2222 ) 2 [а>0, [Ь! < 1]. ИП142(27) 7.213 7.214 и ~ сов(Ьх) Р" 1 (с))а)1(2=0 ' [О < а < Ь]; о — 22 — (вЬ а)" 2 г( в+- Г ( — — )1 7 (сЬа — »Ь И Ш 1 о 2-В сов(Ьх) Г(р+ох)Г(р — (х)Р 1 (спа)о(т= 2 7.215 [О < Ь < а]. ИП П 330(21) 7.
216 1 и Р— р' — Г (р) (»Ь а) 2 [а > О, Ь > О, Ке н > 0]. ИП П 330(24) (»Ь а+сЬ Ь)в 7.2Г? 2 (ао)2 хе"' 2)2 (нх) Р 1 ( — сов В) Н(„.)(йа) 8121(йЬ) 1(х = — (» ) е — '"и ! 77 = (а*-1- Ьо — 2аЬ сое 8) [а>0, Ь>0, 0<8(п, 1пой<0]. ИПП 381(17) Я твапппътв тссвпвпп ~ (о — —,, +А ) Г(2 — (х)Г(22 — —,+ (х) Х 1 — -и х Р~ц 1, 1 (сов В) 7 1 (а) К , (Ь)с(х 1 1 = )12нн(яп8) ( . ) К (ш); Ф (а*+Ьв+2аЬелжВ)у. ИП П 383(29) 834 в — 7 ОНРВднленнын интеГРАлы от сцнцивлъных ФУнкций !ч 3. ~ хв' в)! (лх) Г (Р+ !х) Г (т — !х) Р 1, ( — сов 0) Н! 1(в)Я„1 (Ь) 7!х = 1 скачи «!(2л) (в!и 6) [ ) 17~~~!(Щ; 17 =(ос+52 — 2аЬ сов6) [а > О, Ь > О, О < 0 < л, Ве ч ) 0).
ИП П 381(18) ! 4, ~ хв)2(лх)Г()!+(х)Г() — 2х)Х,„(а)Х„(Ь)Р2, ([))!1х= =( — ) ([)2 — 1) КА(в); 2 $ а!+52+2аЬ3 )/2 2/ [[агбо[< ч [ага(Р— 1)[<л, Ве1>0[. ИПП177(16) 7.22 Полнномы Пегнандра, рациональные и алгебраические функции Р„(х) Р (х) !1т = — [тп = и]; ! =0 7,п — т четное, т ~п[; 1 -!п ~-ч-!1 ! 1)2 пдп! 2"' " ! 7п — т7!и+в!+1! ~ ( 2 )! ( 2 )! ~ [п — четное, ж — нечетное) УВ П96 2п 3. ~ Р~„(сов!!7)йр=2л ~( ") 2 2" ~ в 7. 222 МО 70, 27'Гс(7 П 183(50) 1. ~ х Рв(х)с(х 0 [вч < п), — 1 ! ти !ч 1 ((пч+в)!)4 2, ~ (1+х) '"Р (х) Р„(х) 12Х (ю!в!)ч (Вж+Вл+1)! -1 ! 3, ~ (1+х) "!Р (х)Р„(х)г)х=О [вп) и).
-1 ИП П 277 (15) ИП П 278(16) 7.221 1 1. ~ Р (х) Р (х)!12=0 [т ~и[ ! — [п7 = п). [ УВ П 94, ВТ7271 170(8,10) 7 1 — 7,2 шАРОвыв Фгнкдии а (а+1) (2а — 1) (2 а+ 1) (2а+г) УВП 129 УВП131 7.224 (г принадлежит комплексной плоскости с раарезом вдоль интервала от — 1 до +1]. ИП П 277 (7) ИП П 277 (8) ИП П 277 (9) [ш<л]. ИПП 277(10) и (ш < л]. ИП П 278 (18) и ИП П 278 (19) (ж С л].
ИП П 278(21) ИП П 278 (20) (.+Р '«+-) '(Т.«+Т...(*)]. 1 1 ~(1 ) гР„(1)<й= ВТФ П 187 (44) 1. 2. 7.225 1. ~ (1 — У~"Р (х)6х ) ~ (1 — х')" 'Р (х)1(Х -1 — 1 (вг<л]. УВП 102 ! ~ —,', (Р (х) Ра 1(*)-Р„,(х) Р„(~)) (х = — — '. ,...,(,,)-,Р (х),~, 2;.,О (,) 2"'~)! и 11 (ка+ 1)1 -1 ~ х~(г — х) 1Р„(х) г(х = 22"1()„(г) -1 1 ~ (г — х) Р (х)Р (х)17х=2Р (г)() (г) — 1 ] (г — х) 'Р. (х) Р..~(х) ( =2Р.- (с)(').
(г) — „—,. — 1 ~ х(г — х) 1Р (х) Р„(х)1(х=2гР (г)ф,(г) ~ з (г — х) ' (Р„(х)]г 1(х 2лР„(г) С)„(г) —; + -1 ВТФ П 187(43) 1 (л+ —,,') '(1 — х) '(Т„(х) — Т„„(х)]. Ч вЂ” Н ОПРЕДЕЦЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАНЬНЫХ ФУНКЦИЙ 1 1 2 (1 — х) Р (х) ч(х= —. 2п+1' -1 1 1 ~ (с52р — х) Р„(х) !(х= )+ ехр( — (2н+ 1) р) (р > 0)и УВП 96 1 7.226 ИП И 276(4) 1 з 1 3. ~ (1-(- рх') 2 Р „(х) !(х =, ( — р)н(1-(- р) — ! 510 71 1 1 х(и*+ ') ' Р (1 -2 ') 8 = '+" + "' *" ' 2и+ ! ч (йеа > О].
ИП П 278(23) 7,227 7.23 Поанноны Лежандра н отененная функция ( — 11 г ( — — ' л) г ( — '+ —.,' л) 2г (- — А) г( ~ —;+ — л) (йеЛ > — 1). ВТФП 183(51) ( — !!нг ~ т+ —,— — Л ) Г ( (+ —,Л) 2 2,) ( 2 ) 2г Я- —,'-л) г( +2+ — 'л) (йеЛ > — 2).
ВТФП183(52) 7.231 1. ~ х"Р„„(х) !(х ч 1 2, ~ харчи,„(х) ч)х 7.232 1 1. ~ (1-х)и 'Р (х)Р„(х)!Гх= -1 АиГ (и! Г (в — и+ ! ! — ирч( — т! т+ 1 а. а: 1 «+и+ 1, и — и! 1) (йеа > (!). ИП П 278(17) 2. ~ х(1-хч) Р,1(х) !)х=, .' ~, -', ИП П 276(5) — ! 837 22 — ».2 шАРоные о удкции »Р»( — и, 1+«, а; 1, а+Ь; 1] [Веа > О, Ве Ь > 0]. о [Ве)» > 0]. ИП П 276(6] ИП П 190(37! и ~ (1-х]п-' х»-» Р„(1-7х] Ь= о Г ()») Г (о) = Г„+.) Р* (-' и.+1 [Ве )ь > О, Ве о > О]. оз 1, р+о; — 7) ип и (оо(зз] — а по»»42 2Г ()»+ п) Г (р «) [Вер > О[.
ИП и 278(22) 7.24. Полииомы Лежандре и друхие елемеатарные функции ~ Р„(1 — х)е ™»(х=е- а" ( — — ) [ — ); =а [1+ 1 ~) (-~, ) [Веа > О]. 1 Р е-* е — а»с(х— О( 2)...( + (а+п) (а+и —.2) . „. (а — и+2) о [л>2, Веа > О]. ИП 1 171 (2] ип(171 (з] и ( ]- ь= (໠— 1*] (໠— 3») ., (໠— (2« — 1)»] Р (с)»х]е а»Их=в а (໠— 2») (໠— 4»] ... (໠— (2п)») о [Ве а > 2в]. а (х а (໠— 2») (໠— 4»)... (໠— (2«)») + (~ ! ~ ( — 1)(а* — 3) ... ) — (2 +01 о ИП 1171(6) » ~ Р, (сое х) е- »(х о (а»+1») (а» 4 3») ... (а»+(2« — 1)*) а(а +2»)(а»+4 ) ... (а»+(2«)») [Веа > 0]. ИП 1 171 (4) ~ (1 — х) (1+х! Р„(х!»)х= -! [Веа>2«+1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
