Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 71
Текст из файла (страница 71)
БХ(345)(5) (рп < Ц. БХ(345)(ВЬ 4.576 — У< 11. яя п 1+р — = — —" 1К(1 — Р') (Ф'< Ч гак 2 4.577 БХ (344) (4)~ БХ (344) (5) Г В ОБРАТНЫК ТРИГОНОИКТРИЧВСНИК ФУНННИИ агсГ8 — ' сов(Ьх) Ых = — (е ' Е1(ОЬ) — е" Е1( — ОЬ)) (а>0, Ь>0]. 3. ~ агой ~ я, ~, ) юп(Ьх)ах= — е ~ ~в)г(ОЬ) в 1. ~ аголец р в|и Охи= —,р" (рв< ц. я р еГО г Г' рки ГРФ 2. ~ агой à — р сов я в~ и их сов х ~Ъ вЂ” — +— — г) о к р еюп я и р ркг укг 3. ~ агсй8 совихв)кхнв= — ( — — — ~ г — реое* в (,я+в я — г,г я регия а г я 2 агс агой 1 ~ агсв6 (Сд Л )' 1 — йв лпех) 1à à — Вхпнв . =-и, [Р(Л, й) — Е(Л, й)+св8Л(1 — )~Ч вЂ” йавгиеЦ1. 2 $ г(аАЪ~Й вЂ” Й' к' ) (Е(Л, й) — й'еР(Л, й)+ОВАЛ()/ф йвв1ипЛ .1)).
БХ (346) (1), БХ (346) (ЗЪ 4.581 4.59 Обратные тригонометрические н логарифмичеекак функции 4.591 агсв(пх1пхйх= 2 — 1Е2 — — л. 1 2 БХ [339] (1) агссовх1пх<(х=!и 2-2, БХ [339] (2) БХ [339] (3) 4.592 4.593 агссдх1п х бх= —,1п 2 — — +,— лв. л 2 А 'АЯ БХ ] 339] (3) 1 и л 1 агсстбх1пхг(х= — — л* — — — —,1п 2. 4В г 2 БХ [339] (4) БХ [339] (У) 4.601 1. ~ ~ у(х, р) дхдр= ~ ~ Ц<р(и. о), ф(и, о)]] Л'] с(и Бо, ио [об ар ар ар ар 22(т, р) где х= р(и, о), р= ф(и, о)2 а л = — — — — — == — ' — срслстэслпет ди до ои д.
Й(и,о) .собой функциональный определитель (определитель Бкоби) фуплцпп ~р л 19. 1. 2.  — е опРеделенные интеггалы от элементАРных юуннгтии Обратная н прямая тригонометрические и стеленная функции ах Г х ах агой х сов рх — агой — сов хв х Р в = — —. 93 ( — р) [Бе (р) ) 0], Ф Щ 654. НИ 25 (13) ах чт (2Ь вЂ” Бп !и 12Ь+ 2) агссовх — = — 1„ 1а х Ь ', 2ЬА! 2/с-)-1 А О атосах(1п х)~ '(1п х+л)Ых=,", „, (2 о — 1) 2(л,+1).
4.6 КРАТЕПт1Б Р)ИТБГРАЛЫ 4.60 Замена переменных е кратных пптсгралах (тэ = ~ ~ '] )[~р(и, о, ю), ф(и, о, [е~, у(и. о, го)])Л]ди0обю, птч «я кга'гнык интвгРАлы где х=,«р(и, о, в), у=у(и, о, в), э=у(и, о, ю), а д'р дч' дт да до дв дт дч> дч> да дг дв д~ ду дх д д аг В(и. г, в) 4.6$ Перемена порядка интегрирования и аамеиа переменных 4.6«1 1 Ь1 р(х, у) (у=) уу 1 ((*, у)у. е с о — Х д а 2. ~ «(х ~ Р(х, у)«)у= ~ «(у ~ Р(х, у)«йв. е е с а д у 4.632 1. ~ «)х ~ р(х, у)«)у= = ~ «(у ~ )(х, у)«(х.
э представляет собой функциональный определитель функций «р ф, «(. При атом предполагается как н (4.60! 2.), так я в (4.60( (.), что а) функции «р, ф й, а также нх первые частные производные непрерывны н области интегрирования; б) функциональный определитель не меняот в этой области анака; в) между старыми переюеввыяи х, у, х и новыми и, о, в су>цествуяг вааимно однозначное соотмтствие в области интегрирования; г) область (г (или. соотвстсз вспно, о) при переходе от переменных х, у, х к переыеяным и, о, и переходит в оГ>пасть )г' (или, соответственно, и'). 4.602 П р е о б р а в о в а и и е к и о л я р н ы м к о о р д н и а т а и: Ю(а, у! х=гсов«р„у=ге(п«р; ' =г.
))(г, >р) 4.603 Преобразование к сферическим координатам! х=-ге>пйсое«й, у=ге)пйв(п>р, х=гсое6, ' ' =гта«п0. ))(е, в. с) Ю(г. д, Ч>) о о иглтныв интвггллы В «+зв в в 4 ~гсЬ ~ Дх, у)НУ«« ~ ду ~ ~(х, у)Их+ О ГВ« —,О о зв в зв в +~ У~1( У) +~ У ~ 1( У) о ЗВ о-зв Р 6 т % го с«во 2В зв 4.614 ~ йр ~,Р(г, ~р)Иг= ~ с~г ~ 1(г, ~р)йр. В Зги — '„« 2 В гн615~ (Ь ~ ~(х, у)ЫУ= ~йр~~(гсаыр,гз1вх) гг1г. о гв )« «в —,« 4616 ~ Д ~ 1(х,у)йу о 2 ЗВ«о«О = ~ йр ~ ДГСОО~Рг, ВШЗР)Гй. о о 632 я — ! ОНРнделенныВ интегралы От эленентАРных оуннций о (е) Т 1 4.618 ~((х ~ 1(х, у)((уеа '1 )(х ~ 1]х, в(р(х)](р(х)((в (у=в(р(х)]; о о 5 о 1 о(н) =т ~ ()в ~ 1(тв, у)(еу (х=тв]. о 1 Е1 "1 ! 4 6!9 ~ ((х ~ ~(х у) ду = ~ дх ~ (уе — Уо) )(х, уе+(у) — Уе) !1((! ае уе ае О ]У У (У) У ) ] 4.62 Двойные н тройные интегралы с ностоянныии предслаии 4.620 Формулы общего характера 1.
~ (йо ~ р'(рсЬх+дговнвЬх)вйЬХ()х= — 1(в)дп Р ]) Р* — Д') у р' — о' ]ре р де, 11п) 1 (х) = О] Ло 1П 389 ((ы ~ ~' [рсЬх+(д совы-(-го)по\ вЬ х] вЬ г)Кт= 1 /(ыуп р]/ре — де — г") (ре ) д'+ге, 1пп 1(х) О], у ре — О' — г* е + Ло П1 390 )(а ау, р — д соя* + яп)ая)п)у~ ( я)в ля)в у ! о 'о — )ЬРЕПГГР'-Е' — ') (Г' Ч').~, Е )1*)=-11.
)Г р* — Ое — ге ' -+- Ло П1 230 Ю 4 ~ ((х ~ /'(рсЬхсЬУ+двЬхсЬУ+гвЬУ)сЬУ((у= — =- -;--- — 1(в(Япр ргр' — д — г') (р') де ~г ге, Пгл 1(х) = О] гл ыув р в У) ре Ое — ге е. +» Ло П1 390 В ое(*) В Ое (*) в о)оо 4.617 ~ пх ~ /(х, у)((у= ~'((х ~ 1(х, у))МУ вЂ” ~ е)х ~ 7(х, у)((у— а о1 (х) о о оа Ое (е) а 111 (а) — ~ ((х ~ 1(х, у)((у+ ~ ох ~ р(х, у)((у о о о о 1(р)(х)~(р (х) прп о~ха Щ. 633 !.В КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а л 2(х ~ 1(рсЬх+дсоваввЬх)яЬвхя!Наввйв а = 2 ] ((з!6и р]/рв — двсЬ2)вЬвхИх х + 2в в Лв '! 2(а» ~ 7[рсЬх+(дсовва+гв!Нва) вви8вЬх]вЬвхв!Н82(8 = $ а [ И 1(.)=0».
ЛНШ391 =- 4 ~ ~(з!6и р ]/рв — д' — гв сЬ х) зЬ2 х в(х [рв,х дв+ гв, Иш 1(х) = О]. Ло Ш 390 Л ~ 2(х ] йа ~ 1[рсЬх+[(дсовав+гвшва)в(и8+всЬ8]вЬх» н а 6 а х вЬвхап82В=4л ~ 7(в!6ир] р' — дв — г' — ввсЬх)вЬвхв!х а [р*> дв-)-гв+вв, !!ш !(х)=0». Ло П! 391 4.621 л и 2 2 ~ 2!ау!/! — АввШвхвю'у л ! — Ав*!Еву У ву'! — Ьв а а в л 2 2 [ еав у уг ! — Й" в! пв а. 2!а' у Ь6 ! — 222!иву У= 2 2 в!пав!пувхву ло ~~ „г, внро —.,пвх — в!пву 2 а а Ло 1 252 (90) Ло 1 252 (91) Ло 1 253 МО 137 ' ~1~ --"*'-""-."-' 'Ж* в в х ]/ л /'з!п — ",1, ,! 2! В-аавуаав — аав, а = — ав а у Л ~В~и!2 а с в л и 3. =4л[18-!-12]/2 — 10]/3 — 7]/6».(Дв[(2 — ф'3)(]/Ь вЂ” ]/2)].
МО 137 4.623 ~ ~ р(звхв-[- 62ув) !!х в(у= — ~ !р(х)х!22. а а 634 о — о ОпРклклкнныи интВРРАлы от елкмВнРАРных ютнкннй 4.624 ~ ~ 1(асозО+))з!ПОс!мор+уз!або!пор)ыпО!(О!)ор о о » ! -» ) Ло Ю» ро!-~ ) !!А»» !Р-Г"!-! -!Р!. о -! Ф 111 472 2. ~ ~ ... ~ гало!(хо ... о(х„= г.' ", Л» ,-~- 1+...+* КВ (.
2 ) (объем л-мерной сферы) Ф Ш 473 »1-! к»! ох! ... о*» к «!р+»1-!-...+»4К1 ' ' 1 л / 4.633 (половина площааи поверхности (и+1)-мерной сферы х,'+хо+... +х,',+! = 1). Ф П1 474 — ! Р— ! р х,' хг . * ° х„» о)х! !(хо . ° ° а»» = ,мо, »,мо,..., »мо ®"'"Ж"" ",'-:.) " ","", -": "('.-.';.) "С2) -"(й) Щ!о! ° ° ° а» 1 Р +Р~+ +Р»+1) ~,а! а» '' а» (а, > О, р, > О, д, > О, ! = 1, 2, ..., и). Ф Ш 477 4.636 1Г(й)"+(Ь +" +Сй) "3 ®".~: —;) ' ";*.")"-.
х хо! ' хоо ' ... х'„'» !(х~ о(х~ ... !Кх» = ,.» г ~~Й) г (Р!) ... г (р-) - »!+5+ +р„! о ''' » а! а! ' а» '1 7 ( ) а » '' а аро» ° ° ° а» Г Р!+Рр+ +Р !,а, о» "' о!»./ 4.63 — 4.64 Многократные ипп!о(3оалы » «-! $! » 4.631 ~ ои„, ~ й„о... ~ 1(ю)31= —, ~ (х — г)" '~(г)Ш, р Р Р где 1(г) — непрерывная на отрезке (р. д) функпия и р<х<д. Ф 11692 4.632 1.
~ ~ ~ !(х! !(хо ... !ох„= —, (объем и-меРного симплекса). »,М, »ВО.. ВО »,о»о+...+» ВА 1Л ИРЯТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ в предполон1ении, что интеграл, стоящий справа, сходитсн абсол1отно. Ф 1П 487 Г(2Э '+(2) '+ "+(й) "3 (В".('-:,)"' '~: —:Г" Хх",1 еагх ' ... х„" 11х1 юг...
Ы„= ,Ра г (Рх)г(Р х') ... г'1,Ра ) ' .'л+хх+ .х — "-1 — ГГР,+Рх+ +Ра; 1а1 а, '" а / в предположении абсолготной сходнмостн простого интеграла справа; все числа р„ а1, р, положительны. Ф Ш 479 В частности, З. 1 1 ... 1 ~-1~-1 ....-' -"* "+ -+*11 8х ...,Ь = ! г . а е й ' а х, Нг. ххРС,.... хада х+ +..+х (1 1 ~<~ ( )...~())1 Г 1Рх+Рв+ ° ° +Ра) 8 [н>0, р,>0, р,>0, ...,ра>01. а а. а 1 "Хг+ ''+а "("-'"~'-'~ -'( — '~ Г11 р1 1р,>0, р,>0, ...,ра>0, 11<11. Ф И1 480 4.636 1. во'.хне..... Ее 1* +"х +". + "1 1'х"*а х 1+х х+.„+т агх1 Г,~ — '" ) Г(-~й-) ... Г~ — Р") Рх Рх Ра 1 / Р~ Р* Ра а, ах "' аа.l ~, а, а, " аа~ [рг>0, рг>0, ..., ра>0; р >х' +1'+...+»а ) . Ф1Ц488 а, 636 з — о ококдклкннык ккткгэхлы от элкмкктагных етнккив Я.
~~... ~ ' ' ''' " И'Дх ...о(х„=- ,' о,'* о...,*„ко (хх +*х + ° +«и )» х~ ~+«х «+ ....~.х пи~ Г( — ) Г( ~) г(«р ) '''"""(, + +".+ — ») г( + + + Ро,п» р * + ' ' ' + а„1 ' Ф Ц(480 х,'$-» пх ),. »„»<1 а — Г~' Р-') Г)' Д ') и К "( — ) (.*) где т= )' +рх ( + р» Ф)П 480 а1 а« ' ' а„ ) (х -(-х " Ко, хо~~...., * ло «о~. о+ ...
+«п<1 х«1 хо . х, Л (о,+о,, (-„, ( о +„)»,-»»х»... (Р )Г(рх,, ( (р ) (рх+рх+ +рп) д (, где у(х) — некрерывнак ка отреаке (О, 1) функция (дх>0, ро>0,..., дп>0; г > 0]. Г «1 «9 «и «!1 Фп '- пп и» вЂ” ) р — о о — о -)и +о«О "+о«) (го-) гххх+ г«х«+ ° ° ° + гп»пр о о о г(р,)г(р,) ... г(р.) ( « "**' кх г («) (Ох+««х) (Ох+«,*) ' ... (кп+г *) " г, Р«» ври р;, рн г,, а лоло)кителъных; этот реаулътат вмеет место и кри го=О крн условии, что рх+ро+ ... +р„> а. и,— 1 о о Р(р1) Г(р,) ...
Г(р„) Г(« — ро — рх — ... — р„) ]р, > О, г, > О, а > О]. 4.В ИРАтнык инткгРАлы 3. 11... ) *," 'Ф,'"' "'" ' з з „П+(га 0 *+('а д '.+ ° +\ Ри ) "Г 9 Г (а1 Иааа .. д г, а гаа З... гии и га Ра Ра [ра>0, о >О, г,>0, е>0). 4.639 1. ~ ~ ... ~ (р,т,+р т + ... +Р„х„)™йх,гЬ ... ~Ух„= 1+ 14 иах1 (2 — 00 ! Яи а а а зт, „ы" (Ра+Ра+ ° ° . +Ри) Г( ",,+, Рг) 2. ~ ~ ...
~ (р,хд+рае,+ ... +Р„т„) Дх,е4хе... е(х„=0. зп1+а Оа 4Р ... +и„« ФШ 483 Ф 1П 482 4.641 1 ~ ~ ... ~ и"а а+та*а+'-+Ри"АЫх Дх и е''' «1+*1+- +ийн~ г —, у а Р~+Р1+ ° ° ° +Р ) и (, 4 ,, ю г ( — "+ь-,-» ) 2 ) ~ .. ~ еи'"а Ргха' -'' "а а е(х е(х е(х ах 4а- ... +иза„и! ФШ483 ( 'г"ги~( Рг Р(+ Р1+ ... -Р Р~з„) М-гР1+" тРЬ1« 1(),"-1-:; Р ... +х.') Ь, (ха... Ь„= иге«1+ ... е-ииа«ва ФП1483и 4.642 2 ггл" ГЯ) ~ х" '/(х)4х, где 1(х) — непрерывнав на отрезке (О, Н) функция.' Ф Ш 485 ! а 4.643 ~ ~ ... ~ ((х,ха...хи)(1 — х,)~а '(1 — х,)Ра ' ...
(1 — х„)» ' х а о и х хааа х"г Риа .. хра+Ра+ - а Рд-3 сЬ «(х,... Ых = и ' . и 1( )(1 — )и+"'+ ~Р 'ах Г(Ра+Ра+" ГРРи1 ~ в предположении, что интеграл, стоящий сирава, сходится абсолютно Ф1П 488 о38 3 — 4 определрнные интегРАлы от олиментАРных ФУнкций г(Р1х1+ Р*х1 + ° +Рххх) 1 х )(Ргхх+Рзхз+ ... + Р„х„) 1 1 ххьхх-~- ... Рхх-1Н1 — Х1 — — " — *.'-1 ~ р [)/ р,'+ Р,', + ... -)- Р,', сов х) з1П" ' х 44х (л > 3), 4.645 Пусть функции 1(х„хз, ..., х„) и д(х„х„..., х„) непрерывны в огрзпичеш1оп ззмкнутои области (4О), причем 4щименыпее и нзвбольп1ее значения функции Р в области (Б) пусть будут т и 4)Х; пусть 1р(и) означает функцию, непрерывную для в4 ~ и <М, Обозначим через ф(и) интеграл 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
