Градштейн, Рыжик - Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений (947383), страница 67
Текст из файла (страница 67)
4.327 БХ [145] (5) БХ'[ 147] (10) БХ [147] (16) и Если подынтегралькая функция содержит логарифм, аргумент которого также содержит логарифм, например если под янеком интеграла имеется 1 1в1в —, то полеено сделать подстановку 1вх 1 и аатем искать а таблицах преобрааоианпыи интеграл. БХ [256) (2) [Ве р > О]. БХ [260](5) ГХ Р24] (81 а) . 4.332 1. 2. 4.331 1 .2 3 !и ~2!с — — 1 ) ' (Ь= — —,[Е1( — ')4))ь 2 а [Бе !4 > 0).
1п[ат+О )4],а,-и) „~~ + — ", Ь и [а> — — ]. 2Г( + ) !п[аа-1-4(1пх)') —,=и1п " + — ")вн 1+и4, ~ а+я ) 2 [а > — и]. 1п [ае+ (1в х)4] хи-4 4Ь = — [ — сое ар с1 (ар)— — е!вара! (ар)+)ва] [а > О„йе р > 0]. ГХ [325) (28) 4.33 — 4.34 Логарпфмпческан и показательнан функции е — а*(вх4!х — — (С+)в)4) [йе)4 > 0). р 1 е-ИА )р х Их = — — Е! ( — р) 1 ! г Ьаа — 1 аи 1пх4й= — — ' 44х ', [14 ФО], р ~ — = ~Е1п2и — )НГ( — )~ (сравни 4.325 6.).
БХ [257] (6) (сравни 4.325 5.). БХ [257] (7) и, Ли [260] (3) 590 Π— О ОПРКДКЛКННЫК ИНРК1'РАЛЫ ОР ЭЛКИЕНТАРНЫХ ЕРНКПИП БХ[353](3), ИП1315(10)и и1 Р 1 1 $ 2 ~ х"е-о")пх1(х= — [ 1+ — + — +... -1- — — С вЂ” 1К(А] раз [ 2 о '' а о [Ве и > О!. ИП1 148(7) Ы ~ +З+Ь+" + 7 — 1) з С )Л4Д1 [Вер>0]. ИП1148(10) 4. ~ х1'-1о )пх11х=1" (11) [Ве)о > 0].
4.353 -1. ~ (х — м)х' 1оо)вх1ах Г(Р) [Вео>0). 1~ » — ' (хи — 1111 Г Л 2. ~ ((ох — и — —,~ х ае-Р*1пх 1Ь= у— 2./ д)» [/ ГХ [324) (83а) ГХ [324] (84) [ВОВ >О]. БХ [357] (2) 1 я В. [о ~...>й) ъ а*а* Ф21 — 1~' — -"(~д.н — о" о »-о [р ж 0]. ГХ [324](82) 1. ~ — 111К=Г(Р)~ ) [ф(Р) — 1кй] [Вее>0].
о О-1 ГХ [324] (86 а) 1 2 ~ -<-„+1,, 1(К= Г(Р) ~л~~ „) [Ц(м) — 1пй] [Вем > О]. о о-.о ГХ [324] (865) а а=-1 ГХ [324] (87а) 4. ~ — — -+ ), хо"-')пх 7х= „к "]В ~. ГХ[324](875) о 4.352 1. ~ х" — 1о — а*)пхо(х= — Г(Р)[ф(Р)-)вр] [Вер > О, Вее > О]. РО 591 ГХ [324] (86с) Щз хге-ааг )п х йх = — (2 — 1и 49 — С) и/ — [Ке р > О]. Г р БХ [357](1) и х (рхг — мх — 1) в — Р'а+г"* 1п х <[х = — 1~ — ехр [ — 1) БХ [353] (1) ~ (ига — и) хг"-га — аа)пхг(х= ~ „) [Вер > О]. БХ[353](4) г (2рхг — 2л — 1)хг" е-Р 1пхах=, .
г~ — [Ке9 > О]. 2 12р)в У БХ [353] (5) 1 ехр( — ах — ь) 1пх[2ах' — (2и+1)х — ЙЬ]х гах= =2 ( — 7 ]/ — "а-г~'ь ~~~ ~. ) д [а ) О, Ь> 01. а а Ьк 12Ь10 (2 ф"аЬ)" БХ [357] (4) и= — .' 2 ' Пря ( ах Ь))вх — ~(х=2Кр (2 у'ас) [а > О. Ь > О]. ГХ [324] (92с) иг-гх лбгаеиемичвскля емнкция в-! Г(в) г 1 — 1)" 1 — 1). [,р(„) (га+ 1) (и — 1)! (Ь вЂ” а) ~ И [Кеч > О]. О Ь~ ехр ( ах — — ~) 1п х [2ах*+ (2и — 1) х — 25] а/ +' г Сг4- Ф вЂ” 1)~ ь | У а ха (а — * 19 12ьр!(2 у'аь)" 2( 1г / Г~ ~в [а > О, Йв р > 0]. ГХ [324] (91) [а>0 Ь)0]. БХ [357] (11) 592 а — о опоидилинныи интигоьлы пт апииинтьоных этнкнии п=О: При ехр ~ — аи — — ~ 1пх — — *-: — -Нх 2 ~~а — в1~ав о а [а>0, Ь>О).
БХ[357)(7), ГХ[324)(92е) ( 1+аа'~ 1+ахв — ав 1 р Ж®л Ъаа/ г~, [е > 0]. 1+ ав,, вв+аав — Ф У Хааа ехр( — — -";- )1пх —: Их=в гаав г та о БХ [357] (8) [а > О], г Г 1+вод ваг-Заъ — 1 В+а) 1' 2а~л [е > О]. ВХ [357] (9) БХ [357](10) в в х -'«-"*(1 )"~ = — е —,-(р' 'Г(р тИ ! [Ве р > О, Ве т > 0]. ~ х"-'а «в(1пх)вдх= „([вр(т) — 1п)в]в+~(2, м — 1)) о [Ве р. > О, Ве м > О]. МХд 26 х~-в -ааПп „)в,1 — ~ 00 ц р(е) )п ]в 1 и' +[гвр(ту — п1п)в]~(2, о — 1) — 2~(3, о — 1)) [Ве)ь >О, Ве о > О].
МХд26 4.359 ао-~ —,а-в ~*= — „[)в(И" р — 1) — 5(». ч — 1)] о [Ве )в > О, р > О, у >0]. аа 1 — в Ию р+О с(х=- ~~ — „, 1п —— о «=о [Вер > О, р > О, е > О]. МХд 27 БХ [352] (9) При и= — 1: ( «) 2авв — За — аа 1+2 в'ав / к у~ о [е > О, Ь > 0). Ли [357) (6), ГХ [324] (925) 4.2 — о о лппеоихмияиснея Функции Ш ,+О В Йс=м'((о) — ое(1о) [Ве(о > 0]. о о МХд 27 + ) 1а(х+о)!п(о+о) — 2 1 х+е Ю 4 ~ е п(б х) е о Ых (1па) Ь [Ве (о > О, а > 0]. БХ [354] (4 и 5) х (1 — х) (2 — х) е — 0 — *И )л (1 — х) с(х = — . е БХ [352] (4) 4. 364 1 -.(.+..+Ь)!, +,— о ооа+ь>о (Е1 ( — а1о) Е1 ( — Ь(о) — 1п (аЬ) Ез [ — (а Ф Ь) (а]) [а > О, Ь > О, Вв (о > О].
БХ [354] (11) )п(х+а+Ь)( ~ + ~ ) (х= о = (1 1- 1п а! и Ь) 1п (а + Ь) -(- е-< + о~а (Е1 ( — а(о) Е( ( — Ь(о) -(- +(1 — 1п(аЬ)) Е1[ — (а+Ь) 1а]) [а > О, Ь> О, Во(о > О]. БХ[354)(12) о ) ео 1"- .' . - Ь=' [р>о] 4.365 ~ е-а 1п (1 + о-) — [с1 (а(ь)]о+ [в1 (а)о)]о [Ве 1о > О]. ~ е-о* 1п ~ 1 — —," ) ~ — = Е1 (аВ) Е1 ( — а(а) [Ве(о > О]. о НИ 32(11) а МХ 18 1. ~ хе" 1п(1 — х) ~Кх 1 — е. СО 2 ~ е-оо1п(2х — 1) — =.2 ] Е1 ( — Ц ] [Ве р, > 0]. 14111 143(8) в — в. ОНРклеленные интегРАлы от алементагньсх Фкнелии 3. ~ хе лх'1п ~-----в [с7х= — [сЬреЬ с(р) — вЬ рсЬ С()в)] а [Кер > О]; (сракни 4.339).
МХд27 4.367 ) хе ""'1в сЬ вЂ” Кв([))в) [[аг93 [ < и, Ке р > О]. ИП1 149 (19) 4,368 ~ с-л*'1п с ), = —, е-гв'л [ с)с (2си'р)— хв с4ив — *0 ах и в г вс в — (С-1п 2)lв(2сивр) ~ [Ке)в > О]. ИП(149(21)и 4.369 Ю 1. ~ х"-св-лх[вр(Р) — 1пх]с(х= ( ) р [Ке Р > О]. 2. ~ х"е-лх] '[)вх — — вр(и+ 1)~ — — вр'(и+1)~Нх = — "„„(Г1вр — —,вр(и+1)1 -1- —,ф'(и+1)1 [Кер>О].
ИП1149(12) МХИ 26 4.37 Логарифмическая и гиперболические функции 4.371 — з Ли [260] (1) и (2к) ГС + 1 2. вьв+ вовс вся с Гк — с ° (. Ии 3. ' =вр~ — )+1пи )пи — 21И2 — С. Г !к х ах / 1 'ъ сЬвх ~ 2) БХ [257] (7) и БХ [257] (4) и 4.372 1. ~ 1пх — с7х= вЬ слх вЬ лв с —," Ьд — "1в и+ —" У ( — 1)" в в(в — 1п 2л 2л л С л в 1 БХ [148] (3) к =: — 18 —,— 1п 2и+ — Р ( — 1) вйв — 1в к тк к чв в в .
Ьтк 2!с 2л л л в=с ® [си+и нечетко]; г (') [си+ и четио]. г л 595 4.2 — 4.4 ЛОРАРИФИИЧЕСКЛЯ ФИНКЦИЯ 1пх — ~Ы = сп ас сь са г Г~ +㻠— 1~ [И4+ л нечвтио]1 г( ( г — г»+4 =~ — + — ~ ( — 1) 'сов, (п х !пи и» (㻠— О ФИ гс [со+44 чечне]. БХ[148](6)и 4.878 г ~га»+в~ 4 гг( ° ) 1 1и 1а*+*') 44 ( 4Я / г»1 1 ~Ь>0, а> — „"1. БХ [258] (11) и ,1п(1+х') — = 2 1п — „. БХ [258] (1) и сЫ ™, 1п (а*+ ха) Их 2 в»п — 1п [а > — 1].
БХ [258] (12) Ф ~1 (1+*) —,~ — = — '~1 -+Д-р(+'11 [ >О]. БХ [258] (5) с»2» 2„4 4 1п (1 + хс) — 44х = е»1 — а г БХ [258] (3) Р 1п(сов»Ю+е а*в(п»4) — = — 244. ЬЬ4 БХ [259] (10) и 1п(а+Ье ), = ~ — 1И(а+Ь) — а1па — Ып21 Ли [259] (14) 38Ф [а>О, а+Ь>О] св — а ы в т~'й 6. [ (п(1+ха) 4 <(х= 4]/ 2 — — + — 1п [ф 2+ 1). ВХ [258] (2) 4» 4 596 в — а ОНРеееленные инРВГР»лы От элемент»Рных Финнцие 4.375 1Е СЬ вЂ”, — = 6) — — 1п 2, сх л 2 спи 4 с 1а с(дв х — = —, 1п 2.
дх л сь БХ [259] (11) БХ [259) (16) б»+1)сьх — хвьх Р (х 21,1 1) ~! 1 — 1)а 1 Ъ=" сЬ* х ')в+ са (2Ь+ 1)ах! [Бе и > — Ц. БХ [356](10) (а+1)сь» — хвьх а ( 1) авс)) 1 "= —:И сьв 2 6 '»„2,,) ' 4О )'1п2х", ххв" »дх=- — — [ — ) ]В»а]. БХ [356](9)и е Ф )пхахспах — !2в+1)вьаххв" у 2 2в ~ 1(2 )!»Р(р +1) БХ [Ш] (14) Ф '-" ]Ь [а > О], БХ [356] (15) Р !2»+1) си ах — ахвЬ а», l л Ива+! 1пх сбв ах (,2а ) с [а > О], БХ [356] (11) а — — (-) 1пх2ахвбах — 12»+1)сЬах в» ( 2 (2»а.! 1)~ л')Ва] О сь» а ~.2а) [и > О]. БХ и'Нр [356](2) х вЬ х — б вЬ* ( — ) — б ховав 1пх 2 (л' — вв) ! (сьх- сс» !)»»в!и! [О< ] < л].
10 БХ [356] (16) и ав Ж = 2 )~ л ,'~~~ (1п (2Й+ 1) + 2 1п 2+ С), — „У """ У'ХСЬХ У хи+1 БХ [1И] (4) 597 о о — о о логякиемичкскоя ез нкция сЬях+яхоЬях ах 1п(1+хх1 — =4 — я. АР ях БХ [356](12) (1+4 о)спях ЬяхоЬях 41 сЬ' кх БХ [356](13) ~1п2ххх "~„, хох'о(х= —,~ — ) [В„[. Ли[356](8)и о 4.38 — 4.41 Логарифмическая и триговометричсскис фувкции 4.381 1пхе(вахой= — — [С+1па — со(а)] [а > О]. 1 о 1 ] 1пхсовахо(х= — — ~в((а)+ — ] [а >О]. о 1п х воп ях о(х = — — [С+ 1п (2яя) — с1 (2яя)].
1 о 1 х Ь= — „' ] я (2 )+ 2 1 . ГХ [336] (2а) БХ [284] (2) ГХ [338] (1а) ГХ [338] (15) ~ 1п ~ +х(в1пвхбх= я в(паЬ [а>О, Ь>0]. о 1п ~ — ] сов Ьх о1х = — [сов а Ь в1 (а Ь) — вОп аЬ со (аЬ)] ИП1 77 (11) [а > О, Ь > О], ИП1 18 (9) 1п"+ сового(к= †"(с"' — е") [а>О,Ь>й,с>0]. Р+ о х Ф П1 648 и, БХ [337] (5) — (г )- хо+.х+ао 1п + — в(пЬхоЬ вЂ” ехр~ — Ь~ а — — ~воп —, хо — к+ ох [Ь > 0]. ИП1 77 (12) 5. ~ 1п (х 1 " в(п Ьхо(х= — о — оов(и[15 (х — 6Р+ уо о [йе у > О, [1оп[1[< Веу, Ь> 0]. ИП1 77(13) 598  — 4.
ОПРЕДЕЛЕЕНЫК ИНТП1'РАЛЫ ОТ ЭЛЕМИНТАРНЫИ ЮТНЕПИИ 4.383 1 ~ 1п(1+я-а*)совйх1Ь=~~— 2ь аа ~ — ) [Ве]) ) О, Ь > 0]. ИП118(13) 1п (а1п ех) а(п 2пл;т 11т = О. ГХ [333] (За) 1 1 1 1п(йп ех)а(п(2п+ 1) Ихсан 2 ~ 1п(йп лх)а!п(2п+ 1) их1Ь= — — — ~ 2С+ 2 1п 2+ ф ( а + и ) + 1[1 ( - — е ) ] = г 2 а (ав+ 0 е ] ] 1п 2 — 2 — — —... — — — — ] . ГХ [338] (35) З -. Ь, 1 а.+1З- 1 1 з 1п (а1Е лх) сов 2лех 1Ь = 2 ~ 1и (а1 и лх) сов 2ппх 1Ь = = — 1п2 $ [и О]; ]в ) 0]. ГХ [338] (Зс) 4, ~ 1п (а(п ес) соа (2п+ 1) ех 1Ь = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
