Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если все члены серии, состоящей из и членов, равны одному а я тому же элементу ХНЕ, то их композиция обозначается Тт а при законе, обозначаемом Т, (.х при законе, обозначаемом )., х" при законе, обозначаемом мультипликативно, и чаще всего лх гл.кг 1 Алгевряические структуры при законе, обозначаемом аддитивно (за исключением некоторых случаев, где это последнее обозначение могло бы повлечь путаницу; см. т 3, я $).
Теорема ассоциативности в применении к серии, состоящей из одинаковых членов, дает формулу ь1цреЬ ..-Рр р р~ и И 1 я р Т х=(тх)Т(тх)Т Т(тх), и значит, в частности, при р=2 — формулу т-Ьр ы и Т х=(Тх)Т(Тх) (4) а при пг — — пе=... =пр — — т — Формулу ры р т Тх = Т (Тх). (б) Если Хб Е, то, в соответствии с введенными обозначениями, р ТХ означает множество ХгТХ,Т.
ТХр, где Х„=Х,= ... =Хр —— Х; таким образом, это есть множество всевозможных композиций х1Тх Т ° ° Тхр, где х, б Х, х = Х, ..., хрб Х. Важно ив смешивать это множество с множеством композиций р Тх, где х пробегает Х. Положим Т Х= О (Т Х); зто — множество композиций веер>О возможных конечных последовательностей, члены которых принадлежат Х; в случае ассоциативного закона имеем ХТ(ТХ)= =(ТХ)ТХ~ ТХ. и. э стгзоймнвеге эиноэгсеетпва.
Инйуцированньсе вамонег " Опредвлвнив 5. Подмножество А множества .Е называется устойчивым относительно закона композиции элементов множества Е, если композиция двух элементов из А всякий раз, когда сна определена, принадлежит А. Иными словами, для того чтобы А было устойчиво относительно закона Т, необходимо и достаточно, чтобы А ТА с. А. Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества Е очевидно устойчиво; поэтому, в частности, существует наименьвпее устойчивое подмножество Я множества Е, содержащее задан- 27 внутренние 3АкОны композиции иое множество ХС Е (Теор.
мн., Реэ., 3 6, и 5); его называют устойчивым множеством, порожденным множеством Х. Индукцней по и легко убедиться в том, что композиции всякой п-членной серии, элементы которой принадлежат Х, принадлежит Я; Ш ИНЫМИ СЛОВаМИ. ВСЕГда ТХС г'. Прн ЭТОМ ИМЕЕТ МЕСТО Теорема 2. )(ля ассоциативного закона Т па Е устойчивое ОЪ множество, порожденное многи еетеом ХС Е, совпадает с ТХ. Достаточно убедиться в том, что ТХ при ассоциативности закона Т устойчиво; но любые два элемента и и и из ТХ имеют вид и=хоТх,Т...
Тх„„и=х„Тх„,„Т... Тх„,р, где хейХ (О < 1 < и+р); следовательно (теорема (), и Т и=хо Тхг Т .. Тх„,р принадлеяснт ТХ. П р н м е р ы. 1) В множестве М натуральных чисел устойчивым относительно сложения множеством, пороокденным множеством, состоящвм нз одного числа 1, является множестно всех натуральных чисел > 1; относительно умножения множество (1)само устойчиво. 2) Пусть Т вЂ” всюду определенный аакон композиции элементов множества Г; для того чтобы множество (а), состоящее иа одного элемента, было устойчивым относительно аакона Т, необходимо п достаточно, чтобы А Т Й= И; тогда )г называоот иаомложентоло.
Напрпмер, всякий элемент решетки идемпотентен относительно каждого нз законов вор (х, у) н 1п1(х, у). 3) Если Т вЂ” ассоциативный закон на множестве Е, то устойчивое относительно него множество, порожденное множеством (о), состоящим пз одного элемента, есть множество, образованное злементамн То, где н нробегаег все натуральнью числа )О. 4) Из определений примера 2 и' 3 явствует, что кзокдая непустая конечная последовательность (х;)с элементов иа А представляет собой реаультат последовательного приписывания одночленных последовательностей (хь) ,, где 1 пробегает 1; таким образом, свободный моноид Л (А) лороохдаотол пустым словом и множеством всех слов длины 1, которое обычно отождествляют с А .
Если Т вЂ” всюду определенный закон композиции на Е и Р— подмножество множества Е, устойчивое относительно этого аакона, то сулеепие функции хТр на РхР является всюду определенным гл.е5 с Алгеееаические стРуКтУРы законом композиции на Р; его иааывают законом, индуцироеанным иа Р законом Т. Более общим образом: Опгеделение 6. Пусть Т вЂ” закон композиции элементов множества Е, определенный на некоторой части А произведения Е)сЕ; законом, индуцированным законом Т на множестве Рс Е, называется закон композиции элементов множества Р, определенный на множестве тех (х, у) бР)сР, для которых (х, у) бА и хТубР.
и относящий каждой такой паре (х, у) композицию хТу. Структуру, определяемую в Р этим законом, мы будем называть структурой, индуцированной вР структурой, определяемой законом ТвЕ. Закон, индуцированный на Р законом Т, мы будем (допускав вольность) обозначать тем же знаком Т, если это ие сможет виести путаницу, На множестве, устойчивом относительно ассоциативного закоиа Т, иидуцированиый им закон ассоциативеи, 5. Перестпатсовочтсьсе элементпьс. яьоммутсстптсвэсьсе зиыоньс Опгеделеиие 7. Пусть Т вЂ” закон композиции элементов множества Е. Элементы х, у ив Е называются перестановочными относительно закона Т, если хТу и уТх определены и хТу=уТх.
" ОпРБДеление 8. Закон композиции Т элементов множества Е называется коммупиипивньсм, если для любой парьс (х, у) злеэсентов из Е, для когпорой х1 у определено, х и у перестановочны. Коммутативный закон совпадает с противоположным ему ааконом. П р и м е р ы. () Сложение к умножение натуральных чисел— коммутативиые ззкокм.
2) Законы зпр(х,у) и )п)(х,у) в решетке коммутатизиы; в частности, коммутзтизвы законы композиции Ц и О подмножеств мвожестза Е. 3) Закон композиции (Х, г') тХ.г подмножеств произведекиэ еэсе ие коммутативеи (если е содержит более одного элемента): действительно, если А =((а, Ь)), В=((Ь, с)) и ач'=с, то В А =Па, с)и а А В=,е~. Но диагональ сс произведения ЕХЕ перестаиозочкэ с каждым его подмножеством. Точно так же закон композиции )' Е отображений Е в Е ке коммутатизеи (если Е содержит более одного ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ элемента), в чем можно убедиться, беря в качестве / в г разлвчвые постоянные отображения; во тождественное отображение переставозочно со всяким. 4) Еслв хТУ вЂ” коммутатвввый гаков композиции элементов множества Г, то ХТ у' — коммутатвввый гаков иомпозвцвв подмножеств множества Е. Пгедложение 1.
Если элемент х перестановочен с каждым оз элементов у и г относительно ассоциативного закона Т, то >н переапановочен и с уТг. Действительно, х Т (у Т г) записывается последовательно в виде > Т(уТЗ)=(хТу)Тг=(уТх)Тг=уТ(хТЗ) = уТ(зТх)=(уТз)Тх. Пгедложение 2. Ясли при ассоциативном законе Т каждый элемент множества ХС Е перестановочен с каждым элементом мнолсества УС Е, то каждый элемент устойчивого множество. порожденного множеством Х, перестановочен с каждым элементом устойчивого множества, порожденного множеством У. Действительно, нз предложения 1 индукцней по и получается, что если х перестановочен с каждым членом и-членной последовательности, то х перестановочен и с ее композицией; позтому (теорема 2) каждое хбХ перестановочно с каясдым элементом устойчивого множества У'„порожденного множеством У; но отси>- Ла таким же путем вытекает, что каждый элемент из У' перестановочен с каждым элементом устойчивого множества Х', порожденного множеством Х.
Отметим дза частных случая предложения 2: когда Х=(х), У=-(у) и когда Х=У: Следствие 1. Если х и у перестановочны относительно асса>в ч циативного закона Т, то это верно и для Тх и Ту, каковы бы ни были целые т>0 и п>0; в частности, Тх и Тх перестановочны, каковы бы ни были х и целые т>0, п>0. Следствие 2. Если элементы множеппва Х попарно перестановочны относительно ассоциативного закона Т, то закон, индуцированный им на устойчивом множестве, порожденном множеством Х, ассоциагпивен и коммутативен. Зо гл,«,11 АЛГВБРАНЧВСКИБ СТРУКТУРЫ Опгкдвлвннв 9.
Центральным элементом множества Е относительно некоторого закона композиции элементов этого множества называется каждый элемент, перестановочный со всеми элементами из Е. Центром множества Е называется множество всех его центральных элементов. Из предложения 1 вытекает, что центр множества Е относительно ассоциативного закона является устойчивым множеством; закон композиции, иядуцярованный на центре, очевидно коммутативен. Основное свойство законов, одновременно ассоциативных и коммртативнь«х, заключается в том, что композиции всех последовательностей, отличающихся от заданной конечной последовательности лишь порядком следования членов, имеют одно и то ж» значение; докажем это.
Твогкмл 3 (теорема коммутативности). Пусть 1 — коммутативныйассоциатизный.закон композииии на Е и (х„) ел — непустое конечное семейство элементов из Е; каким бы образом ни было совер«аенно упорядочено множество А, композиция ( х,„имеет одно азл и то же значение. Если А состоит из одного элемента р, то теорема справедлива; композицией служит тогда ха.
Докажем индукцией по р справедливость теоремы для каждого множества А из р элементов: для этого достаточно показать, что она верна для множества индексов, состоящего из р элементов, если она верна для каждого его подмножества, имеющего менее р элементов. Итак, пусть А— множество, состоящее из р элементов, и « — эૠ— взаимно однозначное отображение интервала [О, р — 1] с Х на А; перенеся посредством этого отображения порядок интервала 10, р — 11 в А, мы совершенно упорядочим А, причем композицией серии (х„)„ел, определяемой этим отношением порядка, будет не что иное, р-1 как ( х «=о ПустьтеперьА совершенно упорядочено иным способом и а„— наименьший элемент в А при этом упорядочении, а А' — множество всех остальных элементов из А (совершенно упорядоченное индуцированным породном).
Предположим сначала, что 0(Ь< <Р— 1, и положим В= ««аз, а„..., аь зз«, С=;аэ,„..., а„,);. ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ так как теорема, по предположению, справедлива для А', то, применяя теорему ассоциативности (поскольку А ' =В()С), имеем л — 1 р — 1 '"--('"о) ~ "-) откуда, образуя композицию ха с обеими частями и повторно ал применяя коммутативность и ассоциативность 7, получаем л-~ р — ! -)- .= „„-(-( ) .) =- .„т( ( .,) т ( т .,) = аОА " ~.аел' ~о=о ') ~. =лм л — ! р-1 =(т*.')у.-, т( т *') =Т'-; =о ~ ~=о+1 ) =о таким образом, теорема в рассматриваемом случае доказана.
Если Ь=О или Ь=р — 1, то получаем тот же результат, но более простым путем, поскольку члены, относящиеся к В или к С, исчезают. Для коммутативного ассоциативного закона на множестве Е композицией конечноео семейства (ха)аол элементов из Е будет, по определению, называться общее значение композиций серий, получаемых при всевозмояоиых способах превращения А в совершенно упорядоченное множество. Эта композиция для закона, обозначаемого Т, будет по-прежнему обозначаться Г ха; аналогично аел при других обозначениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
