Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 8
Текст из файла (страница 8)
113, 1937, стр. 686. АЛГВБРАИЧ!1СКИН СТРУКТУРЫ РЛ.1, зз й АТА', наконец, А ТА' содерхсит также А', ибо в тех же обозначениях имеем у'=(УТУ')Т у'=уТ(у'Ту') ЯЛТА'. Такич обрааом, множество А ТА', наделенное законом, индуцпрованпым законом Т, удовлетворяет всем условиям задачи.
Поэтому, если задача разрешима, мо1кпо наложить на Е дополнительное условие: 3' Е порождается объединениеы множества А =-/(Е) и мноя<ества А', состоящего нэ элементов, симметричных образам всевозможных регулярных элементов пз Е прп отобравкеппп /. Покажем, что условия 1', 2', 3' влекут единственность Е (с точностью до изоморфизма). Действптельпо, снова в предположении разрешимости задачи, каждый элемент н:1 Е имеев вид хТУ', где хрА, а у' — элемент, симметричный пекоторомт убАА. Для того чтобы х,Ту',=-х,Ту„', пообходипо п достаточно (принимая во внимание регулярность у, п у,), чтобы (х1 ТУ!) Т(У1Т Ув) =(хат Ув) Т(!У! Т Ув), т. о.
(поскольку Т копмутативен) чтооы х,ТУе=хеТУ,. Отсюда тотчас следует, что это последнее отпошеппс ость отношение зквиеалентносови между элемептамн (х„у,) и (хе, у,) произведения А ХА* и что существует взаимно однозначное отображенке множества Е на фактормножество множества А ХА* по этому отношению. Переходя с помощью изоморфизма, обратного у, от А к Е, мы видим, что если задача разрешима, то отно!пение и,То,=иеТР, мекду элемептамн (и, о,) и (и, Р) произведения ЕХЕР есть отношение эквивалентности и существует взаимно однозначное отображение множества Е на фактормножество произведения ЕХЕР по этому отношению. Броме того, если переностп с по- нощью этого отоораженпя структуру, определяемуво законом Т в Е, то композицией класса эквивалентности элемента (и„ов) и класса эквивалентности элемента (и, с ) будет класс эквявалентности элемента (и,Т и, Рв Т Ра); действительно, если х, р А, х, А, у!а А*, увбАР, то (хвТУ',)Т(хвТУ)=(хвТх2)Т(У,ТУ,'), а у,'ТУ,' есть элемент, симметричный У,ТУ .
Таким образом, все это показывает, что если можно определить Е, заноя Т и изомор- Л нентРАльнын, РегУля!>ньде, симметРичные элемгнты 43 физм т' тип, чтобы удовлетворялись условия 4, 2', 3', то Е буден> определяться с точностью до изпмпру>изми видением Е и зиппна Т . При этом каждый регулярный элемент из Е силгметризуем; действительно, если хТу' (где х~А, убЛв) регулярно в Е, то (предложение 2) это верно и для (хТу')Ту=х; тогда х тем более регулярно в А и, значит, по предполоигеппю симметризуемо в Е; следовательно, и хТу' симметрлзуемо. Таким оГ>разом, это свойство множества Е является следствием лрсдлоложенной справедли.
ности свойств д ', 2', 3' Остаетсядоказать,что задача дейстзителыю разрешима. Руководствуясь предшествующим, прежде всего поъа ъем, что отношение и,Т из= и,Т пд между элементами (и„п,) л (и„пг) произведения Е ХЕ* есть отношение эпеивп.гентнпспш. Действительно, очевидно, это отношение Я рефлексивно и сиддддетричпо; опо также тРанзнтнвпо, лбо отношениЯ идТ Ре= иеТ пм идТоз= ивТсд влекут идТпгТоз=из Т од Т из= игТ"зТд>д =изТ "гТдм и шшчит (в силу регулярности пг), и, Тсе = и, Тэ,. Обозначим теперь через Е фактормножество произведения Е х Е* ло отлошенпю В.
Пусть х, и хе — элементы лз Е, (ид, ь,) и (ив, и )— элементы из классов эквивалентности х, л хз', класс эквивалентности, содерягащггй (и Ти, Р,ТМ,), зависит только от х, и хм ибо пРи аалгепе (и, и,) эквивалентным элементом (иэ, ив) будем иметь идТпз=изТгд и потому (и,Ти,)Т(С,ТС,)= = (из Т и,) Т(о, Т оз); аналогичный РезУльтат полУчим, заменив (и„пг) эквивалентным элементом(ию пд). Обозначим класс, которому принадлежит ~>лдТию пдТ пз), через х,Тх,. Т есть закон композиции элементов множества Е, очевидно, ассоциативный з коммутативпый.
Поъажем, что Е обладает нейтр льнмм элементом относительно этого закона. Действительно, все элементы нз ЕХЕ* вида (и>, й), где йб Е*, эквивалентны; н обратно, если (и, и) эквивалентен (и>, й), то иТи>=РТ и>, и значит (в силу регулярности й), и=и. Пусть е — класс, образованный элементамн (й, й). Если (и, п) б ЕхЕ* и йб Е*, то (иТ й, РТ й) эквивалентно (и, п): следовательно, е является нейтральным элементом относительно закона 1, и условие ( выполнено. АЛГКБРАНЧЖСКНВ СТРУКТУРЫ гл.к 1т Рассмотрим в ЕХЕв множество всех элементов вида (иТ о, о), где и — заданный элемент нз Е, а п пробегает Ев; все элементы этого множества эквивалентны, и обратно, если (и„о,) эквивалентно одному из этих элементов (иТ и, о), то иТСТ о, = и, То, откУДа (в силУ РегУлЯРности о) и,=иТ пг; иными словами, элг.
менты (иТР, Р) ооразуют класс эквивалентности; обозначив ег< ) (и), мы тем самым определим взаимно однозначное отображение ~ множества Е па некоторую часть А множества Е; легко проверяется, что А устойчиво относительно закона Т и что у есть нзопорфизм Е на А. Наконец, если и — регулярный элемент из Е, то /(и), т. е. класс (иТ о, Р), обладает в Е симметричным элементом, а именно классом (о, и Т о) (поскольку в этом случае и Т о Р Ев); тем самым условие 2 выполнено и поставленная задача решена.
Итак, мы доказали следующую теорему: Твогвмл 1 (теорема симметризации). Если Т вЂ” всюду апре деленный коммутативный ассоциативный закон композиции элементов множества Е, то можно определить множество Е, коммутатпивный ассоциативный закон композиции Т элементов этого .кножества и подмножество А множества Е, устойчивое относительно закона Т, так, чтобы выполнялись следующие условия: 1' существует иэоморфиэм Е (наделенного законом Т) на А (наделенное законом, индуцнрованным законоы Т), относящий каждому регулярному элементу из Е элемент иэ А, симметризуемый в Е; 2' Е порождается объединением А и множества А' элементов.
симметричных всевозможным регулярным элементам иг А. При этом укаэанные условия определяют множество Е однозначно (с точностью до игоморсдиэма) и каждый регулярный элемент иэ Е симметригуем. Слвдствнв. Если все элементы множества Е регулярны.
то все элементы множества Е симметригуемы. Действительно, это вытекает из условий 1' и 2' теоремы 1 и предложения 5. Структура, определяемая в К законом Т, подпадает тогда поя род груакввмх структур, рассматриваемый з 1 6. л неитеьльныи, РегУлЯРные, симметРичные элементы 45 Множество Ь', построенное при доказательстве теоремы 1. наделенное законом Т, будет называться симметриэованным множеством (или результатом еимметривации) множества Ь' (относительно Т); мы будем говорить, что Т получен путем симметризации закона Т. В применениях теоремы ? Е чаще всего удобно отождествлять (Теор.
мн., Рез., з 8, и' 5) с множеством, обозначенным выше через А, что позволяет (допуская вольность) говорить, что Е «погружено» в его симметризозанное Е и что Т есть продолжение по симметрии закона Т.Этотусловный язык будет применяться, в частности, в следующих двух важных примерах. .%. Применения« Х. Рацггоггалъные цельсе числа Примем за Е множество г? натуральных чисел, а за закон композиции — сложение; все элементы из ?ч регулярны относительно этого закона. Результат симметризации множества ?»? обозначим Х; его элементы называют рациональными целыми числами; закон, полученный путем симметризации сложения, заданного в ?ч, называется сложением рациональных целых чисел и по-прежнему обозначается +. Элементами множества Х являются, по определению, классы эквивалентности, определяемые в ?»? Х ?»? отношением между (т, и,) и (т„п,), записываемым равенством т,+и =т +и,; все эти элементы симметриэуемы; элемент тр ч отождествляется с классом, образованным парами (т+и, и), где и пробегает г?; симметричным ему элементом в Х служит класс пар (и, т+и).
??о каждая пара (р, д) пз ?ч хгч может быть записана в виде (т+и, и), если р > д, или в виде (и, т+и), если р~< д; отсюда вытекает, что Х есть объединение ?»' и множества элементов, симметричных всевозможным элементам из ?ч. При этом нейтральный элемент О является единственным элементом из ?»?, симме гричный к которому принадлежит ?»?. Рациональное целое, симметричное натуральному числу тФО. обозначается — т; Х есть объединение ?»?' и множества всех элементов — т, где тб ?»?, тч»О; т отождествляется с классом, содержащим (т, О), а — т с классом, содержащим (О, т); отсюда (принимая во внимание сказанное при доказательстве теоремы 1г легко получаем выражение для суммы двух рациональных целых; пря тб гч, пб ?ч, пФО имеем: 46 АЛГЕВРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл.
и $ з а) если т~п, то т+( — п)=р, где р — элемент из Х такой. что л»=в+ р; б) если т < и, то ш + ( — я) = — р, где р — элемент из Х такой, что т+ р = и; в) если т ~ О, то ( — т)+( — и) = — (и+и). Эти соотношения остаются в силе и без ограничения я ~ О. а в случае в) — также т ьь О, если условиться, что — О означает О. Более общих» образом, через — х обозначают элемент, симметричный х, для произвольного рационального целого х и называют его чаще всего элементом, противоиолохоным х; композиция х+( — у) обозначается сокращенно х — у. Отношениепорядкал» < в между натуральными чпсламн (Теор.
мн., гл. Н1) обладает следующим свойством: если л» ( я, то и»+р < и+р для каждого рчХ; покажем, что в г. можно определить, и притом единппвенное, отношение порядка,'которое будет обозначаться по-прежнему х<у, индуцирующее в Х укаааиноо отношение и такое, что х<у влечет х+ а<у+а для каждого грХ (этот порядок в У называют инвариаятным относительно переносов; см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
