Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ч1). Действительно, при таком отношении мы для кая«доге л»бХ оджны иметь О <т, откуда ( — т) ° тд-( — т)=О; если х и у— рациональные целые такие, что х «< у, то О=х — х < у — х, следовательно, у — х=-т б Х и, значит, у=х+ и; обратно, если существует тЕХ такое, что у=х+л», то О+х< т+х, т. е.
х«<у; таким образом, если существует отношение порядка, удовлетворяющее указанным условиям, оно необходимо эквивалентно отношению «существует л»ЕХ такое, что у=х+ш» (или также у — хр Х). Обратно, зто последнее отношение действительно является отпо жение»»порядка, ибо оно, очевидно, транзнтивно, и если у=х+ т. .т=у+ п, тбХ, пЕ Х, то т+ я=О, откуда ги=в=О и х=у; пря этом оно действительно удовлетворяет поставленным условиям; паконец, Х еоеерл»енно упорядочено этим отношением, ибо х — у= = — (у — х) и потому, каковы бы ни были х и у нз Х, всегда у — хрХ или х — уб Х, т. е.
х(у или у<х. рассматривая в дальнейшем 7. как упорядоченное множество, чы всюду, где не оговорено противное, будем считать, что порядок определен в нем описанным образом. Натуральные числа совпадают с целы»ш ~~ О; они называются также положив»ел»ными целы- нентРлльнын, РеГуляРные, снмметРичные элементы ии; целые < Π— числа, симметричные положительным целым,— иазываются отрицательными целыми; целые )О (соответственв ~О) называются слгрого положительными *) (соответственно ппрог« отрицательны.ни); множество всех целых >О обозначается Х».
я. ЕЕри.иеиеии и: ЕЕ. ЕЕололс итпельн ые Ет ц иональи ми числа Примем за Е множество Х натуральных чисел. а за закон ком нознцпп на этот раз умножение; множеством всех регулярных глементоз пз Х относительно этого закона служит Х*. Результат нмметрпзацпн ггножестза Х относительно умножения будет обоогачаться (Е„а его элементы называться положительными рациональными числалги; закон, полученный путем снмметрнзацнн умно-- жеяня, будет называться умножением положительных рациональных чисел и обозначаться мультиплнкативно. Элементамн () являются классы эквивалентности, определяемгие в ХхХ* отпг шепнем между(р„д,) и (р,, д,), записываемым р,д =-р»д,; злемевг из (Е„содержащий (р, д) б ХХчг(», условились обозначать —" нл« р)д; таким образом, произведением рггдг и рг/д» являетс:г (РгР»))(дгдг); натУРальное чнсло т отоэгедествллетсл с РаЦиональтгг » ными числами — (ггб Х ).
Мы не будем продолжать здесь далее изучение множества ф, поскольку ниже (т 9, и' 5) снова встретимся с нпм как с частью множества гЕ всех раииональньгх чисел (гд оудет введено не только умножение, индуцнрующее па (Е. умно- .кение, определенное выше, но также сложение). г. ЕЕЕ»одо.ьлеение предстпгеаления по симметрии. Пусть Ь' — множество, наделенное коммутативным ассоциативным законом. Нижеследующая теорема позволнет продолжать на симметргиованное множество Е (и' 4) некоторые представления (ь в множество р, наделенное ассоцнативныьг законом: ») Заметим, что, сообразуясь с обшей термииологвей, принятой для уиорядочеииых множеств (Теор.
мн., Рез., г г6) и упорядоченных групп (см. гл. Е(), мы отклонились от обычного словоупотребления (где пеложнягелъное означает ) О); яри ггашей терггияологая 0 одггоерененне не ожителен и отрица»гелегг (причем это едивсгееиисе рщиоиальиое целое, обладающее таким свойством). АлгевРАические стРуктуРы Гл.т, 1 2 Теогемл 2. Пусть Š— множество, наделенное колгмутативным ассогзиативным законом, и Š— его устой игвое подмножество такое. что; 1' каждый регулярньгй элемент из Е симметриэуем в Е: 2' Е порождается объединением Е и множества элементов, силгметричных всевоз.чожнымрегулярнымэлементалг изЕ.
Пусть/ — представление Е в множество Е, наделенное ассоциативны.ч законом, относяигее каждому регулярному элементу из Е симметризуемый элемент в г'; тогда г' может сыть, и ггритом единственны.ч способом, продолжено до представ, гения Е в Г. Будем законы, заданные в Е н Е, обозначать Т, а элемент, симметричный элементу хб Е (соответственно уй Г), обозначать х' (соответственно у'). Очевидно, закон, индуцнрованный на /(Е) законом Т, заданным на Р, коммутативен. С другой стороны, из доказательства теоремы 1 следует, что каждый элемент ив б Ь' имеет внд х Т у', где х б Е, а у — регулярный элемент нз Е; если х Т у' = =-х Т у'„то х Т у, = х Т у, и поэтому / (х) Т ~(ггг) = ~(хг) 1 / (у); так как 1(у) и 1(уг) по предположению снмметрнзуемы н, кроме того, перестановочны друг с другом, а также с 1(х) н 1(хг), то /(х) Т (г (у))' =/(хг) Т (г (уг))', так что г (х) Т Ц(у))' зависит только от элемента ш, но не от выбора его представления в виде х Т у'; если при этом пг б Е, то х = пг Т у; значит, ~ (х) = ~(ю) Т~ (у) н ~(ш) =~(х) Т (~(у))'.
Таким образом, положив /(х Т у ) = =((х) Т Ц(у))', мы продолжим отображение 1 множества Е в р яа Е, н выкладки, аналогичные проведенным выше, показывают, что это продолжение является представленном Е в г. Едггнственность вытекает нз того, что каждое представление д Ь' в г" удовлетворяет условию д(х Т у')=ф(х) Т (д(у))' для всякого симметризуемого у из Е. В. При.ненениег умноэюение рациональных целых чисел Рассыотрггы множество рациональных целых чисел Х (и' 5) и множество натуральных чисел гчС Х со структурами, определяемыми в пнх одним сложением. Если тбХ, то (Теор. мн., гл. П1) для хб гг, уб гг имеет место тождество т(х+у)=тх+ту, .означающее, что отображение х — ьтх Х в себя есть представление.
9 ныйтРАльный Регулярные, симметричные элементы 49 р;го можно также рассматривать как представление Ь( в Х и на ,том основании применить к нему теорему 2; поэтому оно может оыть продолжено до представления Х в Х, которое по-прежнему будет обозначаться х- тх; согласно доказательству теоремы 2, лтя х= — п, где п й г1н, тх равно — (тп). Определим теперь все представления ~ Х в Х. Пусть ~(1)=а.
((редположим сначала, что а >О. Имеем ~(х+1)=~(х)+а, откуда по индукции следует, что)(х) = ах для всех хй г(; применяя теорему 2 к Х и 11, имеем поэтому /(х) =ах, каково бы ни было хй Х. Пусть теперь а=- — и, где пбг1"; отображение х — ь — ~(х) есть композиция / и отображения х — ь — х (являющегося, в силу коммутативности сложения, представлением) и, значит, представление, отображающее 1 в п) О, откуда — 1(х)=их и ~(х)= — (пх), каково бы ни бы.то хй Х; здесь снова по определению полагают 1(х)=ах, полагая тем самым ( — п)х= — (пх) для всех и =1(*, хо Х. Таким образом, произведение аЬ определено, каковы бы ни были ай 7, Ьб Х. Для тб ьз, пй1( имеем ( — т)п= — (тп), т( — п) = — (тп), ( — т) ( — и) = тп, откуда непосредственно следует, что умножение в Х ассоциативно и коммутативно; по самому способу, каким было получено произведение, имеем х(у+э)= = — ху+хе, откуда (по коммутатпвности) (х+ у) в=хе+ уз, каковы оы ни были х, у, е, н х 0 =0 х = О, х 1 = 1.х †-х.
Очевидно, 1з есть устойчивое множество относительно так определенного в Х умножения; иными словами, отнопеенпя х>0, у>0 влекут ху>0. Поэтому, если х(у н е>0, то з(у — х) >О, т. е. ех(еу. В 1 8 (п' з) мы уньщнм, что рассуждение, приведшее к определению умножения в Х, позволяет прн надлежащем его обобщенна определить кольцо эндоморфнэчон нронанольной номмутатннной групньт. 9. Обозначеееии эаелеенена, симмемьримноео данному Множество Х рациональных целых чисел позволяет ввести обозначение, содержащее обозначение 7х, введенное в и' 3 8 1, как частный случай.
Напомним, что для ассоциативного закона Т, о обладающего нейтральным элементом е, мы положили Т х=е, каково бы ни было х; если ири этом существует элемент х', Н. Втрбани гл.ь ьз 50 АЛГББРАИЧВСКИЛ СТРУКТУРЫ симметричный х, то, по определению, полагают Т х = Т х', каково а бы ни было пс г(а: тогда Т х определено, каково бы ни было — ! а б Х, и, в частности, имеем Т х=х'. Легко убедиться в том, что, каковы бы нн были а б Х, Ь й Х, а Т х =(Тх) Т (Т х), аь « Тх= Т (Тх).
Сделаем еще несколько общих замечаний относительно терми- нологии и обозначений для законов композиции, записываемых аддитнвно или мультипликативно: а) Если только определенно не указано противное, + упо- требляется лишь для обозначения коммутативного ассоциатив- ного закона композиции элементов некоторого множества Е.
Дли обозначаемого так закона считают +х, где хбЕ, означающим само х; если при этом х симметризуемо, то элемент, симметричный х, обозначается — х и чаще всего называется противоположным, х, Кроме того, композиция х+( — у) обозначается сокращенно х — у; аналогично такие обозначения, как х -~- у — з, х — у — г, х — у лс -'- г — 1, означают соответственно х+ у+ ( — з), х+ ( — у) -~- ( — г), .с+ ( — у) -~- г н- ( — Е). Наконец, во всех случаях, когда композицию последовательности из и (пб Ха) элементов, каждый из которых равен х, обозначают пх и в Е существует нейтральный элемент, уславливаются понимать под Ох этот нейтральный элемент (а самого его чаще всего обозначать 0 и соответственно именовать нуле.и); если же х обладает противоположным элементом — х, то через ( — п)х обозначают элемент и( — х) = — (пх).
б) Если только определенно не указано противное, мульти- пликативное обозначение употребляется только для ассоциативного закона. При такой записи закона, если существует элемент х', симметричный х, его чаще всего называют обратным к х, а эле- мент х — обратимым; при тех же условиях х", где аб Х, означает а элемент, обозпачавшийся выше для закона Т через Тх; в частно- сти, элемент, обратный х, обозначается х ', о неитРАльныи РеГУлЯР»1ые сизы!етРнчные элементы 51 Если, кроме того, рассматриваемый мультипликативный закон кол!л!Утативен (н только в этом случае), а 1 озпачаетнейтральный элемент (чаще всего называемый в этом случае, соответственно его обозначению, единицей), то иногда уславливаются, если р обратимо, записывать элемент д в виде — н элемент х// '=у 'х. -1 1 у х з ! в виде --; вместо — пишут также х р, если только это не мои<от у' вызвать путаницу.
Элемент, обозначаемый таким способом, называют дробью; при этом х называется числителел«, а р — знамелателем дроби. в) В дальпешпе»1, при общих рассуждениях, относящихся и ассе!/иативлым законам композиции, мы чаще всего будем пользеваться мультиплпкатнвным обозначением (ко если закон, крот ме того, коммутативен, то иногда и аддптивным). У пр аж не н и я. 1) Пусть Т вЂ” вс»оду определенный заков композиции на множестве Е. Обозначая через Е «сумму» (Теор. мн., Рез., 1 4, и' 5) Е и множества (е), состоящего кз одного элементе, н отождествляя Ь' и (е) с соответствующими подмножествами ыиожествэ Г, показать, что на Е можно, и пряток единственным способом, определить закон композиции Т, нпдуцирующий на Е закон Т и имею щий е нейтральным элементоы; если Т ассоцнативен, то и Т ассоциативеп. (Коли в Е пег нейтрального элемента относительно Т, то говорят, что Г получается пз Ь' «путем присоединения нейтрального элемента».) 2) Пусть Т вЂ” всюду определенный закон на Е.
Для его ассоциативности необходимо и достаточно, чтобы каждый левый перенос у, был перестановочен с каждым правым переносом бе (относительно закона / я е множестве всех отображений Е э Е). 3) Для того чтобы в множестве Е всех отображений Е в Е отношение / Е=/» й влекло у = И, необходимо и достаточно, чтобы / было взаимно однозначным отображением Ь' в Е; для того чтобы отношение у /= й / влекло в= й, необходимо и достаточно, чтобы/было отображением Е па Е; для того чтобы / было регулярным (оп!осительно закона .), необходимо и достаточно, чтобы / бь!ло взаимно однозначным отображением Е на Е. 4) В свободном моноиде (1 1, и'3) каждый элемент регуляреп.
5) Определить на множестве Е, состоящем из и элементов, где 2 (л ~(5, эсе всюду определенные законы с нейтральным элементом, относительно которых каждьш элемент из Е регулярен; показать, что пря л=-5 существуют также неассоцизтнвные законы. удовлетворяющие этим условиям. 4" ллгкнвлиписник структуры гл.ц) л Упражнения с Ь по 16 вклвочнтельно относятся к л>улипиплика>пионо обозначаемым ассоциативным законам на множестве Е; о означает нейтральный алемент, если таковой существует, у и Ь вЂ” левый и правый переносы, соответству>оп>не элементу а б Е; если Х Г Е, то, по опредетени>о, у„(Х) = аХ, Ь„(Х) =Ха. 6) Для ассоциативного закона на коном>о.и множестве каждый регулярный зле>гент обратим. [Использовать предложение 4.) 7) Пусть заданы ассоциативныв закон на множестве Е и элемент х б Е, и пусть А — множество всех х", где и б Ь[»; далее, если существует нейтральный элемент, пусть  — множество всех х", где и б Ь[; если, кроме того, х обратимо, то пусть С вЂ” множество всех х', где а б Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
