Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Закон, обозначаемый знаком +, чаще всего нааывают сложением (назызая тогда композицию х+у суммой х н у) и говорят, что для него принято аддитивное обозначение; закон, обозначаемый знаком °, чаще всего называют умножением (называя тогда композицию х.у=ху произведением х и у) и говорят, что для него принято мультипликативное обозначение. В общих рассмотрениях Я х — 5 этой н.
Бурбаяя гл. >,$1 18 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ главы мы будем обычно для обозначения произвольных законов композиции пользоваться символами т и ), В алгебре необходимо уметь»еде»ода>яь каждое предложение, относящееся к какому-либо закону композиции, непосредственно с одних обоаначеннй на другие.
В целях облегчения задачи читателя в этом отношении в конце книги (вклейка 2) помещен словарик терминов н символов, относящихся к основным понятиям, свяванным с законами композиции, в переводе на наиболее употребительные обозначения (а именно на авдитивные н мультипликативные). П р н м е р ы. 1) Отображения (Х, У) — » Х () У и (Х, У) — > Х П У являются (всюду определенными) внутренними законами композиции подмножеств мяожества Е. 2) В множестве 8 натуральных чисел сложение, умножение н возведение в степень являются всюду определенными законами композиции (композиции х б М и у б Д при этих законах обоаначают соответственно к+у.
ху или х у и хз; см. Теор. мн., гл. 1П). 3) В множестве >( натуральных чисел вычитание х — у есть внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (х, у), в которых г >ь у; точно так же деление — определено лишь для тех у пар (х, у), з которых у ='= 0 и х кратно у. 4) Пусть Š— произвольное мко>кество; отображение (Х, У)-+ -»Х У является законом композиции подмножеств произведения ЕХЕ (Теор.
мн., Рез., 13, и' 10); отображение (/, у) — ~-( у есть закон композиции отображений Е в Е (Теор. мн., Рез., $2, и' 11). 5) В множестве всевозможных отображений подмножеств множества Е в Е (Теор. мн., Рез., 13, и'5) отображение (П у) -+ ) е есть внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (П у), которые, если обозначить через А и Е те подмножества множества Е, где определены соответственно ( н е, удовлетворяют условию е (В) С А. 6) Пусть Š— решетка (Теор. мп, !'ез., 1 6, п' 6) и зар (ж у) овна. чает верхшою грань множества ( х,у).
Отображение (х, у) -+ сир (щ у) есть всюду определенный закон композиции элементов множества Е. Аналогична для нижней грани !и1(х,у). Приведенный выше пример 1 подпадает под зто, если считать множество >В(Е) всех подмножеств множества Е упорядоченным по включению.
Пусть (х, у) ь хТу — закон композиции элементов множества Е, определенный на некотором подмножестве А произведения Г Х Е. Каковы бы нн были ХС Е, Ус Е, будем обозначать через ХТУ (воли только это не может повлечь путаницы е)) множество всех *) Вот пример, в котором этот принцип обозначения мог бы повлечь путаницу н потому не должен применяться. Пусть речь идет о законе ком- ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ элементов хТуб Е таких, что х б Х, у б У и (х, у) б А (нными словами — образ следа Х х У на А при отображении (х, у)-эх Ту).
Таким образом, отображеяпе (Х, в') — Р Х Т г' является всюду вяределеннмм законом композиции подмножеств мяожестза Е (есзв (я, у) () А, то (х) Т (у) = .аГ). Пусть (х, у) — +хТу — всюду определенный закон композиции элементов множества Е; отображение (х, у) -+ у Т х также есть всюду определенный закон композиции; он называется противоположным предыдущему. Если закон (х, у) — хТу определен на некотором подмножествеА произведения Е х Е, то, посколькуотноше— ! ние (у, х)бА эквивалентно отношению (х, у)бА (Теор.
мн., Реэн — 1 з 3, и' 4), (х„у) — ьуТх есть отображение А в Е; оио по- прежнему называется законом композиции, противоположным предыдущему. Инымн словами: Опгеделепие 2. Два гаконакомпогициизлементовмножеетваЕ (всюду определенные или нет) называются противоположными, если каждый иг них является композицией канонической симметрии произведения Е Х Е и другого закона. Если один иг них вегоду определен, то всюду определен и другой. Согласно нашим общим определениям (Теор. мн., Рез., т 8, и'2), задание закона композиции элементов множества Е определяет в этом множестве структуру; это — специальный род алгебраической структуры (общее определение которой будет дано в т 4 этой главы).
Мы будем называть ее структурой, определяемой в Е рассматриваемым законом композиции. Пусть Е и Е' — множества, наделенные каждое структурой, определяемой некоторым внутренним законом композиции; будем обозначать оба эти закона композиции знаком Т. Пусть А— позиции А () В подмяожеств множества Е; оя порождает закон компоэяпзв (Ю, Ж) — » Р(М, Е) подмножеств множества 7(Е), где Р(6, Е) оэыачает мыовяестзо всех А () В, в которых А б5, Вбхч нор(й, Ф) нельзя было бы обозначать й () Е, поскоаьяу этому обозяачеязю уже припасав другой смысл (а вменно объедаяеппя М з 5, рассматриваемых кая подмножества мвожестза Ф (Е)). 2» гл.ь$ < АЛГКВРАНЧВСКНВ СТРУКТУРЫ та часть Е х Е и А' — та часть Е' х Е', где соответственно определены эти два закона.
Согласно общим определениям (Теор. мн., Рез., з 8, и'5), изолворфизмолв Е на Е' называется взаимно однозначное отображение 1 Е ка Е', распространение которого на Е >< Е отображает А на А' н для которого ~(хТу) = < (х) Т~(у) (1) всякий раз, когда х Ту определено (т. е. для каждой пары (х, у) ~ А). Если существует изоморфизм Е на Е', то говорят, что Е и Е' изоморфны (или что имеется игоморфигм их структур). Более общим образом, говорят, что отображение 1 Е в Е' есть представление Е в Е', если всякий раз, когда определена композиция хТу, композиция 1 (х)Т1 (у) также определена и удовлетворяот сооткожению (4) (это частный случай понятия, определяемого в $4 для произвольной алгебраической структуры). Гслп заков Т ка Е всюду определея, то ясно, что кзоморфизм л пв Д' есть ке что иное, как вваил<нв вднввначчвв представление Е ка Е', Но это предложение уже кеверво, если заков Т ве всюду определек па к, вбо тогда может случиться, что >(к) Т 1(у), где ( — взаямпо однозначное.представление и па Е', определено, а л Т у — вет.
х. Композиция сериа эле>вентпов Напомним (Теор. мн., Рез., х 2, и'>4), что сел<ейхп>во элементов множества Е определяется заданием множества индексов 1 и его отображения ь — ьх, в Е; семейство (х,),е т называется конечным, если множество индексов конечно. Множество индексов 1 семейства может иногда наделяться стрултиррой (Теор. мн., Рез., з 8); если 1 и К вЂ” множества индексов, наделенные структурами одинакового рода, то говорят, что семейства (х„)в е > и (у„)к г л элементов одного и того лсе множества Е подобны(относительно структур, ааданных в 1иК), если существует млел<орфизм <у 1 па К такой, что х,=.уэ о> для каждого ь б 1. Удобно дать особое наименование семействам, множества индексов которых наделены специальной структурой, особенно когда па множестве индексов одного и того же семейства (х,)>а < рассматриваются различные структуры.
Это как раз имеет место в алгебре, где нам придется рассматривать в особенности случай Внутэкнник 3АкОны кОмпОзиции конечного семейства (х„), е г, множество 1 индексов которого наделено структурой совершенно упорядоченного множества; мы будем говорить, что задание семейства (х,), е г и структуры совершенно упорядоченного множества в 1 определяет серию элементов множества Е; эта серия обозначается по-прежнему (х,),еы но это обозначение определяет серию лишь при дополнительном указании структуры совершенно упорядоченного множества в 1. Задапиаиу КОНЕЧНОМУ СЕМЕйетВу (Х„)агл ЭЛЕМЕНТОВ МНОжЕ- ства Е отвечает столько серий, сколько в А имеется структур совершенно упорядоченного множества (т.
е. р(, если А — множество. состоящее из р элементов); все зти серии должны рассматриватьсз как различные. В частности, всякой конечной последовательноспш (х~)~ел, где Н вЂ” конечное подмножество множества Х натураль. ных чисел, соответствует специальная серия, получающаяся.
если ввести в Н структуру, определяемую отношением порядка т<п между натуральными числами (Теор. Мн., Рез., $6, и'2): рассматривая последовательность как серию без указания отношения порядка в Н, мы всегда будем подразумевать, что Н наделено этим специальным отношением порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
