Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (947357), страница 2
Текст из файла (страница 2)
353 357 Зз8 361 363 363 365 366 ЗГ>9 37! 372 372 375 378 380 382 Оглавлнпин 6. Тенаорная алгебра Упражнения т 5. Внешняя алгебра . 1. Операторы симметрии 2. Знакопеременяые полилянейные фуякцнн . 3. Антнсимметрированные линейные функции 4. Знакопеременные полилинейные функции на свободном модуле 5.
Внешние степени модуля 6. Вншпнне степени свободного модуля......... 7. Внешние степени линейного отображения 8. Внешнее произведение р-вектора и д-вектора....... 9. Внешняя алгебра Упражнения 4 6. Определители 1. Определение определителей . 2. Вычисление определителя . 3. Миноры матрицы 4. Разложения определители 5. Выражение для обратной матрицы. Применение к линейным уравнениям Упражнения, Определители над полем; рааложимые р-векторы над векторным пространством 1.
Свободные системы разложимых р-векторов 2. Применение определителей к решению линейных уравнений над полем . 3. Векторные подпространства и разложимые р-векторы..... Упражнения . Двойственность для внешней алгебры 1. Знакопеременные линейные формы и аптнсиммстрированные ковариантные тензоры , 2. Модуль, сопряженный к вяешпей степени..........
3. Модуль, сопряженный к /~Е.... ' 4. Внутренние произведения р-вектора и д-формы...... 5. Канонические кзоморфизмы р-векторов п (л — р)-форы 6. Истолкование внутренних произведений над зекторнымн пространствами . Упражнения 7 ф 8 Приложение 1 к главе !П. Бесконечные тензорные произведения ... 1. Тензорные произведения', модулей 2. Тензорные произведения алгебр Приложение 11 к главе 11!. Теязорные проивведенин над некоммутативным кольцом 1. Тензорное произведение двух модулей 384 386 "88 о88 392 394 395 398 400 402 404 406 408 412 412 415 417 419 422 425 428 428 429 431 434 436 436 438 441 442 445 448 451 455 455 456 459 459 оглявльник 2.
Теиаорное произведение двух линейных отображений... 3. Операторы на ЕЯаР 4. Тензорное произведение с основным кольцом......, . 5. Свойства ЕЯ тР по отношению к подмодулям и фактормодулям 6. Свойства ЕЯ,~Р по отношению к прямым суммам н произведениям . 7. Дополнении относительно .Жа(Е, Р) ............
8. Два канонических иаоморфиама 9. Коммутатизность и ассоциативность тензорного произведения !О. Изменение основного кольца !!. Применение: размерность модуля .............. Упражнения Исторический очерк к главам П и П1,,............... Библиография Указатель обозначений Указатель терминов Определения и аксиомы главы 1............. Вклейка 1 Словарик осповяьгх обозначений, относящихся к вяутреннему закону композиции............... Вклейка 2 Определения и аксиомы главы П............ Вклейка 3 Определения и аксиомы главы 1П...........
Вклейка 4 462 463 465 466 467 469 47! 473 476 478 480 483 494 497 50! ВВЕДЕШ1Е Заниматься алгеброй — значит, по существу, вы«и«лять, т. е. выполнять пад элементами некоторого множества «алгебраические операции», наиболее известный пример которых доставляют «четыре действия» злементарной арифметики. Здесь не место описывать медленный, по неуклонный процесс абстракции, посредством которой понятие алгебраической операции, первоначально ограниченное натуральными числами и измеряемыми величинами, постепенно расширялось параллельно расширению понятия «числа», покуда не переросло это последнее и не стало применяться к элементам совершенно пе «числового» характера, как, например, перестановки множества (см. Исторический очерк к гл. 1).
Несомненно, именно возможность этих последовательных расширений, при которых форма вычислений оставалась одной ц той же, но природа математических объектов, над которыми производились вычисления, существенно менялась, позволила постепенно выявить руководящий принцип современной математики: математические объекты сами по себе не столь существенны — важны их отношения (см. Книгу 1). Во всяком случае можно определенно утверждать, что алгебра достигла этого уровня абстракции значительно раньше других областей математики, и уже давно стало привычным рассматривать ее как науку об алгебраических операциях, независимую от математических объектов, к которым эти операции могут применяться.
Общепринятое представление, связываемое с обычнымп алгебраическими операциями, если отвлечься от пх конкретного характера, весьма просто: выполнить алгебраическую операцию над двумя элементами а, Ь одного п того же множества Š— значит сопоставить паре (а, Ь) вполне определенный третий элемент с множества Е. Иначе говоря, в этом понятии вет ничего, кроме 14 Введение понятия функции: задать алгебраическую операцию — значит задать функцию, определенную на ЕХЕ и принимающую значения нз Е; единственная особенность сводится к тому, что областью определения функции служит произведение двух множеств, идентичных с множеством, нз которого берутся значения функции; именно такую функцию мы называем внутренним законом композиции. Наряду с этими «внутренними» законами были введены в рассмотрение (главным образом под влиянием геометрии) «законы композиции» другого типа, а именно «внешние» законы, в которых кроме множества Е (остающегося, так сказать, на,первом плане) участвует еще вспомогательное множество Й, элементы которого именуются операторами: на этот раз закон сопоставляет паре (а, а), образованной оператором ссбй и элементом арЕ, некоторый элемент Ь множества Е.
Например, в евклидовом пространстве Е гомотетия с заданным центром относит вещественному числу й («коэффициенту гомотетии», являющемуся здесь оператором) и точке А пространства Е определенную точку А' в Е; это — внешний закон композиции в Е. В соответствии с общими определениями (Теор. мн., Рез.*), з 8) задание на множестве Е одного или нескольких законов композиции (внутренних илн внешних) определяет в Е структуру; структуры, определяемые таким способом, мы и называем алгебраическими стручпурами, изучение их и составляет предмет алгебры.
Ил«еются многочисленные роды (Теор. мн., Рез., $ 8) алгебраических структур, характеризуемые, с одной стороны, определнющими их законами композиции, а с другой — аксиомами, которым эти законы подчинены. Разумеется, эти аксиол«ы не могут выбираться произвольно; они представляют собой не что иное, как свойства, принадлежащие большинству законов композиции, встречающихся в приложениях, таких, как ассоциативность. коммутативность и т. д. Глава ) посвящена главным образом изложению этих аксиом и вытекающих из ннх общих следствий; при этом проведено более подробное исследование двух наиболее *) «Теор. мк., Рез.» — ссылка иа сводку результатов Книги 1 «Теория множестве, перевод которой помещен в виде ириложекия в книге «Общая топология. Основные структуры» (Физмат»из, М., 1958).
ВВЕДЕНИЕ важных родов алгебраических структур, а ил«енно групповых (где участвует лишь один внутренний закон композиция) и кольиевых (с двумя внутренними законами композиции), частным случаем которых является структура тела. В главе 1 определены также группы с операторами и колы1а с операторами, где, наряду с внутренними законами композиции, участвуют один илн несколько внешних законов. Наиболее важными группами с операторами являются модули, к которым относятся, в частности, векторные пространства, играющие определяющую роль как в классической геометрии, так и в современном анализе.
Изучение модульных структур ведет начало от исследования линейных уравнений, откуда и его название — линейнвл алгебра; относящиеся к ней общие результаты будут содержаться в главе П. Точно так же наиболее часто встречающиеся кольца с операторами — это так называемые алгебры (или гиперкомплексные системы). В главах 111 и 1Ч будет проведено подробное исследование двух специальных алгебр: внешней алгебры, являющейся, вместе с содержащейся в ней теорией определителей, ценным вспомогательным средством линейной алгебры, н колы1а полиномов, лежащего в основе теории алгебраических уравнений. В главе Ч изложена общая теория полей и их классификации.
Отправным пунктом этой теории являетсн исследование алгебраических уравнений с одним неизвестным; приведшие к этому вопросы в настоящее время представляют лишь исторический интерес, но сама теория полей продолжает играть фундаментальную роль В алгебре, составляя основу теории алгебраических чисел, с одной стороны, и алгебраической геометрии — с другой. Поскольку множество натуральных чисел наделено двумя внутренними законами композиции — сложением и умножением,— классическая арифметика (кли теория чисел), имеющая своим предметом изучение натуральных чисел, охватывается алгеброй. Однако на почве алгебраической структуры определяемой этими двумя законами, здесь возникает структура, определяемая отношением порядка «а делит Ьэ; сущность же классической арифметвки как раз и состоит в изучении связей между этими двумя выступающими вместе структурами.
И это не единственный пример, когда структура порядка ассоциируется так с некоторой ю>вдннив .алгебраической структурой посредством отношении «делимости«я последнее откол>ение играет отнюдь не менее ва>кнуи> роль в кольцах полиномов. Позтоь>у оно подвергнуто общему рассмотрению в главе Ч1; результаты этого рассмотрения применяются в главе У11 к установлению модульных структур в некоторых особенно простых кольцах и, в частности, к теории <элементарных делптеле11~>. Глава УП1 аакладывает начала неком.яу>вотивной алгебрьц особое внимание в ней уделено исследованию некоторых типов модулей и колец, играющих фундаментальную роль во всех вопросах, относящихся к «инейноз>у представлению групп.
Наконец, глава 1Х посвящена элементарной теории квадратичных форм, армия>овых форм и связанных с ними линейных групп — понятий, встречающихся почти зо всех областях современной математики. ГЛАВА ! АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Е Внутренние законы композиции; ассоциативность; коммутативность у. Внутпренние ваконьс композиции Опгвдклвник 1.
Внутренним законом ком озиции элементов .яножества Е называется отображение у' некоторого подмножества А произведения Е~Е в Е. Значение у (х, у) отображения 1 при (х, у) б А называется композицией х и у относительно этого закона. Допуская вольность речи, говорят, что такой закон задан (или определен) иа Е. Наиболее важны внутренние законы композиции, определенные для всех пар (х, у) бЕхЕ; допуская вольность речи, говорят, что такой закон определен всюду на Е.
Нас будут интересовать главным образом всюду определенные законы. Для записи композиции х и у чаще всего выписывают х и у з определенном порядке, отделяя их характеристическим знаком рассматриваемого закона (а иногда уславливаясь этот знак опускать). Из наиболее часто употребляемых знаков укажем уже теперь + и . и согласимся последний знак прн желании опускать; посредством этих знаков композиция х и у записывается соответственно в виде х+у и х у или ху.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
