Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ю н г [25) получил решение этой задачи с помощью аппарата обобщенных поверхностей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В какой мере изложенные выше результаты оправдывают предположения, высказанные Гильбертом в девятнадцатой и двадцатой проблемаху Для регулярных задач в непараметрической форме берн- штейновского класса мы имеем положительный ответ на обе гипотезы, если известно, что обобщенное решение ограничено. Остаются малоизученными задачи, имеющие особенности не только при р = со; таковы, например, варнационные задачи квантовой механики, о которых говорилось выше. Для задач в параметрической форме все имеющиеся реаультаты подтверждают оба предположения Гильберта. Для завершения результатов, относящихся к выражениям общего вида Ф (х, А), недостает теорем о гладкости и аналитичности решений задач с допустнмымн поверхностями типа круга. Интересные геометрические идеи были высказаны в атом направлении Л.
Ю н г о м [26], однако полного докааательства опубликовано не было. В связи с уже известными реяультатамн по задачам в параметрической форме представляет интерес следующий вопрос. Можно ли утверждать, что для двумерных регулярных задач с одной достаточно гладкой жордановой граничной кривой н аналитическим выражением Ф (х, А) беэ ограничений на топологический твп допустимых поверхностей абсолютный минимум достигается на аналитической поверхности конечного топологнческого тика? ЛИТЕРАТУРА [1] Н 1 1 Ь в г Ф П., ХаЬгвзЬег. Х)зжЬ.
Мя1Ь.-Чвг. 8 (1900), 184— 188. [2) Н 1 1 Ъ е г Ф О. » МагЬ. Апп. 59 (1904), 161 — 186. [3] Б в р н ш т е й н С. Н., Ма»Х». Апп. 59 (1904), 20 — 76. [4] Б е р к ш т в й к С. Н., УМН 8 (1941), 32 — 81. [5] Б е р к ш т е й к С. Н., Апп. Ес. г].
Яир. 29 (1912), 43(в 435; УМН 8 (1941), 32 — 74. [6] Х [сЬ «епзгв(п 1., ВиП де ГАс. Йе Яс. »[е Стасо«(в (А), Пес. 1912, 915 — 941. [7] Н а а г А., Ма»Ь. Азш. 97, № 1/2 (1926), 124 — 158. [8] М о гге у С., Тгапя. Ашвг.
Мя«Ь. Яос. 43(1938), 127— 166. [9] М о г г е у С., Ми1пр]е 1пте3га1 ргоЫешя ш 1Ье Са1си[ия о1 Чагш11опз, ПШю СаШ. РиЫ., 1943. [10] Моггву С., МиИйр1е 1пге3га] РгоЫвшя ш «Ьв Са1си]из о1 Чаьйа11овя, 1966. [11] Ладыженская О. А. к Уральцвва Н. Н., Лвнейвыв к кзазялввейвые зллиптическкв ураакеввя, «Наука», 1964.
Ц2] Е е Ь в з 3 и е Н., Апп. Ма(Ь. риг. арр]. 7 (1902), 231— 359. 214 [13] Т о и е 1 1 1 Б.; Ас(я Ма«Ь. 53 (1929), ЗЖ вЂ” 346. [14) топе111 Ь А д Я-01апогш 61Р 2('933) 89 130. [15] С к г а л о в А. Г., Тр. ТРетьего всесоюякого математи- ческого съезда, т. 1, Изд-во АН СССР, 1956, 293 — 299. 202 — 233, [17] С к г а л о в А. Г., УМН 6, № 2 (1951), 16 — 101.
[18) С к г а л о в А. Г., УМН 12, № 1 (1957), 54 — 98. [19] С к г а л ов А. Г., Матем. сб. 34(76), № 3 (1954), 386— [20] С в г а л о в А. Г., УМН 22, № 2 (1967), 3 — 19. [21] П в т р о в с к в'й И. Г., Матом. сб. 5, № 1 (1939), 3 — 68. [22] Пл от к як ов Б. И., Матем. сб. 47(89), № 3(1959), 355 †3. (23] О а па]«[п Х. М., В]ч(я»а Мах Рагша 3 (1952), 46— [24] С в за г[ 1,, Ашег. Х.
Ма«Ь. 74, № 2 (1952), 265 — 295. 25] Чоипй Ь. С., Меш. Ашзг. Ма(Ь. Яос. 17(1955). 26) У о и и 6 Х. С., С. г. Асаб. ш1. 248, № 8 (1959)", 916 — 919, 1110 — 1112. * [27] Р е ш в тля к Ю., Скб. матом. ж. 3 (1962), 744— — 768. [28] В а 4 б Т., 1вп3»Ь аш] Агва, 1»е»ч Чог)г, 1948. [29] В а Й б Т., Ма(Ь. Е. 32 (1930), 763 — 796, [30] В а 4 б Т., Оп (Ьв ргоЫеш о1 Р1а1еаи, Яргп»3ег-Чапай, Бег]ш,. 1933. [31) О о и 31 аз Х., Тгапя, Ашег. Ма(Ь. Яос. 33 (1931), 283— 321.
32] О о и 3]аз Х., Апп. Ма»Ь. 40(1939), 195 — 218. 33] С о и г а и 1 В., Ма»Ь. Апп. 97 (1927), 711 — 736. [34] К у р а н т Р., Првнцкп Дкркхле, кокфоринмв отобра- жения к минимальные йовврлцостк, ИЛ, 1953. [35] Р в О 1 о г 3 1, Мешог1в йейе Асс. Яс[. Тогшо Яег. 3, 3, № 1 (1957), 25 — 43 (русский перевод: Математкка (сб. перев.) 4, № 6 !960), 25 — 38). [36] М о я е г Х., Сошш. Риге апй Арр1. Ма»Ь. 13, № 3 (1960), 457 — 468.
[37] Я[]чег ша и Е., Рас]йс Х. Ма(Ь, 15 (1965, 299 — 303, [38) Я 1 я ш р а с с Ь 1 а О., Сошш. Риге апб Арр . МатЬ. 16, № 4 (1963), 383 — 422. [39] Плотвккоз В. И., Скгалов А Г. и Ура- л ь и е в а Н. Н, Тр Четвертого всесоюзного матвматвч«ского съезда, т. 1, Изд-во АН СССР, 1963, 199 — 213. дд~ и где ш = (х„..., х„), и = (и„.", ия),Ии = й=(й, ..., й„), ~й~=й, +...
+й„, й;>О, причем в левые части системы входят производные от ид порядка не выше и;. Пусть Р, — аналитические функции своих аргументов в некоторой комплексной области и в атой области определитель матрицы К ДЕВЯТНАДЦАТОИ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА О. А. Омлииз Здесь мы коротко осветим ту сторону девятнадцатой проблемы Гнльберта, которая связана с вопросом о дифференциальных уравнениях, все решения которых аналнтичны. Согласно гипотезе Гильберта этим свойством должны обладать уравнения, являющиеся дифференциальными уравнениями Лагранжа — Эйлера для регулярных вариационных аадач.
В 1903 г. С. Н. Б е р н ш т е й н [11, [21 установил более общее предложение, он доказал аналитичность всех решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, задаваемых аналитическими функциями, с двумя независимыми переменными в предположении существования и ограниченности третьих производных у решений.
Позже атот результат был усилен и пере- доказан другими математиками. Обаор результатов об аналитичности решений эллиптических уравнений, полученных до 1940 г., содержится в статье С. Н. Б е р н ш т е йн а и И. Г. Петровского [31. В 1937 г. в работах И. Г. П е т р о в с к о г о [41, [51 было дано наиболее полное н в определенном смысле исчерпывающее решение этого круга вопросов, связанных с девятнадцатой проблемой Гильберта; речь идет об описании класса дифференциальных уравнений и систем, все достаточно гладкие решения которых аналнтичны. И. Г. Петровский выделил класс систем дифференциальных уравнений, которые теперь принято называть системами, эллиптическими по И.
Г. Петровскому, обладающий этим свойством. Именно, И. Г. Петровский доказал следующую теорему: Пусть дана система Р, (ю, и, .Ои,..., Х) тз) = О, [ = 1,..., Ф, (1) 216 (2) отличен от нуля для всех действительных ($„..., а„), для которых~ ~,~ [ ... [- ~ $„[+ О. При этих условиях все достаточно гладкие решения, лежащие в рассматриваемой области, аналитичны по зс. С другой стороны, им показано, что у системы (1) есть решения, имеющие непрерывные производные какугодно высоких порядков, но не являющиеся аналитическими по м функциями, если: 1) существуют действительные $„..., $„такие, что ) $~ ~ + ...
-[- ( $„~ + 0 и для них определитель матрицы (2) равен нулю; 2) определитель матрицы (2) не равен тождественно нулю по $~, ..., $„; 3) Г, — линейные функции с постоянными коэффициентами от и~ и нх производных, а свободные члены аналитичны по жКак показывают примеры, условие 2) является существенным. Для доказательства теоремы об аналитичности решений И. Г. Петровский продолжает заданное решение на комплексное пространство м, так чтобы для и~ удовлетворялись уравнения Коши — Римана.
Для уравнения второго порядка идея продолжения решения в комплексную область для доказательства аналитичности решения была использована ранее в работе Г. Л е в и [61, В 1957 г. Морри и Ниренберг [71(см.также [81) дали другое доказательство аналитичности достаточно гладких решений эллиптических по И. Г. Петровскому систем, пользуясь априорными оценками производных решений системы и теоремами вложения С. Л.
Соболева. В этой же работе доказана аналитичность 217 ЛИТЕРАТУРА решенийснстем, введенных в работе Д у г л н с а и Н ир е н б е р г а [9) (см. также [10)). Мы не касаемся здесь вопроса об априорной минимальной гладкости решения (в обобщенном или классическом смысле), позволяющей судить о его аналитичности. Этот вопрос освещается в предыдущей статъе.
Заметим в связи с этим, что недавно построены интересные примеры эллиптических уравнений высокого порядка, являющихся уравнениями Лагранжа — Эйлера для регулярных вариацнонных задач, задаваемых аналитическими функциями, обобщенные решения которых, в отличие от решений уравнений второго порядка, не являются аналитическими функциями.
(См. Д е Д ж о р д ж и [11), Б. Г. М а вья [12), Э. Джусти и М. Миранда [13).) Ряд результатов о гладкости обобщенп)ых решений кваэилннейных эллиптических уравнений и систем получен в работах М о рри [14[ и Н еч ас а [15). [1) Б е р и ш те й я С.
Н., Япг 1а ватаге апа!ус!ппе йез зо1п!юпз йе сег!а!пез Йриг!опз апх ййг!чйез рагме11ез йп зесопй огйш, С. г. Асай. вс!. 137 (1903), 778 — 781. [2) Б е р в ш тейп С. Н., Яш' 1а пагпге апа1уск!пе йез зо1пМопз йез йепапопз апх ййг[чйез рагие11ез йез зесопй огйге, Ма(Ь. Апп. 59 (1904), 20 — 76. [3) Б е р й ш т е й и С. Н. и П е т р о в с к и й И. Г., О первой краевой задаче (эадаче Дирихле) для уравнений эллиптического твиа и о свойствах фуикций, удовлетворяющих этим уравкевиям, УМН 8 (1940), 8 — 31. [4) Петровский И. Г., О системах лифферевциалыптх О авиевий, все решения которых аиалвтичиы, ДАН СССР 17 (1937), 9 — 342. [5) П е т р о в с к в й И. Г.; Япг Газа!уме!14 йез зо1ппопз йез зуэГешез й'йрза!!опз й!Негев!!е1!ез, Матем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
