Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Сеа иг!зя. СогзшЗеп, 1905, 307 — Зс8. [7) Н с ! Ъ е г с Р., ()Ъег вше Апиепйппй йег 1пге8га18е!сЬопйеп апЕ е!п РгоЫеш йег РшймопепСЬеоне, УегЬ. 3 !пгевсат. МяСЬ. Копйт. Не!йе1Ъегй, 1904, 233 — 240. 222 К ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ь'. В. Шабат К ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЕЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Л. Э. ЭаьееолыФ Проблема униформнзации аналитических зависимостей, связывающих два переменных, в настоящее время и основном решена '). Кроме указанного Пуанкаре подхода (с которым можно ознакомиться, например, по книге Л.
Р. Ф о рд а, Автоморфные функции, ОНТИ, $936), найдены геометрические подходы (см., например, монографию Р. Н е в а н л и н н а, Униформнзацня, ИЛ, 1955, особенно 7 4 гл. т'1П). Значительно хуже разработана проблеме униформизацни соотношений более чем с двумя переменньппи. По этому поводу си. К. 3 и г е л ь, Автоморфные функцнинескольких комплексных переменных, ИЛ, 1954. Здесь на стр. 89 приведены также некоторые нерешенные вопросы. Об алгебраических вопросах, связанных с проблемой униформизации, см.
тезисы доклада И. И. Пятецкого-Шапиро и И. Р. Шафаревича на Ереванской конференции по теории аналитических функций (сб. «Современные проблемы теории аналитических функций», «Наука», 1966, стр. 262). 9 Проблемы увиформизацпи возникли из теории автоморфных функций, у истоков которой стоят К. Гаусс и Б. Риман. В Х1Х в. значительных успехов в этой области добились Ф. Клейн, А. Пуанкаре и О. Пикар.
Наконец, Пуанкаре доказал воэможность увиформиэации любой алгебраической функции двух переменных йосредством аэтоморфкых фупкций одной переменной. Гнльберт ставит задачу: реппггь проблему унпформиээпии для аналвтичесзих функций. Опираясь па методы, созданные К. Нейманом к Г. Шварцем, П. Кебе (Нас)ь Оез. %Ч»з. Оо«1(пбеп, 1907, стр. 410) и А. Пуанкаре (Оептгез, К !, Раме, 1916) почти одновременно к 1907 г. режплп эту задачу. П.
Кебе разработал данный вопрос в Ма«п. Апп. 67 — 73 (1909 — 1914), УЛ. д. те1пе и. апбеи. МатЬ. 13п, 139 (1910 — 1911) к других работах.— Прим. ред. 224 1. ВВЕДЕНИЕ Эта проблема сформулирована менее определенно, чем остальные проблемы Д. Гильберта. В ней указывается на необходимость дальнейшего развития вариационного исчислении, которому, по мнению Д. Гнльберта, уделяется недостаточное внимание, причем вариационное исчисление понимается в столь широком смысле, что в этом можно усмотреть предвидение развития функционального анализа.
После этого общего замечания Д, Гильберт указывает на возможность получения достаточных условий экстремума многих вариационных задач с помощью построения инварнантных интегралов, совкадающнх на экстремалях с интегралом, исследуемым на экстремум, и называемых теперь инвариантными интегралами Д. Гильберга. Эта идея была развита в работе Д. Гильберта ') и в дальнейшем оказалась весьма плодотворной при исследовании более сложных вариационных задач на условный экстремум.
Итак, основным в двадцать третьей проблеме является указание на большую значимость идей вариационного исчисления. Это указание Д. Гильберта блестяще подтвердилось, причем динамизм идей вариационного исчисления был столь велик, что они в значительной мере явились основой развития функционального анализа, многих разде- т) Ма%. Алп. 62 (1906), 331 — 370. К ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ь'.
В. Шабат Проблема униформнзации аналитических зависимостей, связывающих два переменных, в настоящее время в основном решена '). Кроме указанного Пуанкаре подхода (с которым можно ознакомиться, например, по книге Л. Р. Ф о рд а, Азтоморфные функции, ОНТИ, $936), найдены геометрические подходы (см., например, монографию Р. Н е в а н л и н н а, Униформнзацня, ИЛ, 1955, особенно 7 4 гл.
т'1П). Значительно хуже разработана проблеме униформизацни соотношений более чем с двумя переменньпаи. По этому поводу си. К. 3 и г е л ь, Автоморфные функцнинескольких комплексных переменных, ИЛ, 1954. Здесь на стр. 89 приведены также некоторые нерешенные вопросы. Об алгебраических вопросах, связанных с проблемой унифор»щзации, см. тезисы доклада И. И. Пятецкого-Шапиро и И. Р. Шафаревича на Ереванской конференции по теории аналитических функций (сб.
«Современные проблемы теории аналитических функций», «Наука», 1966, стр. 262). 1) Проблемы увиформизации возникли из теории автоморфных функций, у истоков которой стоят К. Гаусс и Б. Риман. В Х1Х в. значительных успехов в этой области добились Ф. Клейн, А. Пуанкаре и 3. Пикар. Наконец, Пуанкаре доказал воэможность униформиэации любой алгебраической функции двух переменных йосредством аэтоморфиых фуакций одной переменной. Гнльберт ставит задачу: решить проблему униформиээпии для аналвтичесаих функций.
Опираясь на методы, созданные К. Нейманом к Г. Шварцем, П. Кебе (Нас)ь Оез. %Ч»з. Оо«1(вбев, 1907, стр. 410) и А. Пуанкаре (Оеатгез, К !, Раме, 1916) почти одновременно к 1907 г. режклн эту задачу. П. Кебе разработал данный вопрос в Ма«а. Авл. 67 — 73 (1909 — 1914), УЛ. д. те1ве и. апбеи. МагЬ. 13а, 139 (1910 — 1911) н других работах.— Прим. рад. 224 К ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЕЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Л. Э. Эльееольч 1.
ВВЕДЕНИЕ Эта проблема сформулирована менее определенно, чем остальные проблемы Д. Гильберта. В ней указывается на необходимость дальнейшего развития вариационного исчислении, которому, по мнению Д. Гнльберта, уделяется недостаточное внимание, причем вариационное исчисление понимается в столь широком смысле, что в этом можно усмотреть предвидение развития функционального анализа. После этого общего замечания Д, Гильберт указывает на возможность получения достаточных условий экстремума многих вариационных задач с помощью построения инварнантных интегралов, совкадающнх на экстремалях с интегралом, исследуемым на экстремум, и называемых теперь инвариантными интегралами Д. Гильберга.
Эта идея была развита в работе Д. Гильберта ') и в дальнейшем оказалась весьма плодотворной при исследовании более сложных вариационных задач на условный экстремум. Итак, основным в двадцать третьей проблеме является указание на большую значимость идей вариационного исчисления. Это указание Д. Гильберта блестяще подтвердилось, причем динамизм идей вариационного исчисления был столь велик, что они в значительной мере явились основой развития функционального анализа, многих разде- т) Ма%.
Алл. 62 (1906), 331 — 370. лов физики, механики и теории дифференциальныхуравненнй. В этих комментариях мы кратко остановимся лишь на развитии собственно вариацнонного исчисления, не касаясь смежных областей. 2. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ К 1901 г. х) в основном было завершено исследование основных необходимых условий экстремума во многих вариационных задачах с неподвижными и подвижными границами и задачах на условный экстремум. В основном трудами А.
М. Лежандра, К. Якоби и К. Вейерштрасса были получены также достаточные условия экстремума в простейших вариациопных задачах. Исследовались задачи с ломаными экстремалями. Начато исследование полей экстремалей. Были найдены многие вариационные законы механики и физики. Сравнительно слабо были исследованы задачи на экстремум кратных интегралов, но уже четко были сформулированы возражения К. В е й е р ш т р а ос а 181 по поводу принципа Дирихле (впрочем, уже Б. Риман отчетливо понимал необходимость обоснования этого принципа и даже предпринял попытки его доказательства)«). В последутощие годы были получены уточняющие и дополняющие результаты во всех указанных направлениях. Из более значительных результатов следует отметить: 1) Детальное изучение задач на условный экстремум вплоть до получения необходимых и достаточных условий экстремума в весьма общей постановке задачи на услов- «) Истории раавития вариацнопиого исчисления посвящены ра боты: К.
А. Р ы б н и и о в, Первые этапы развития вариациопного исчисления, ИМИ; вып. 2, Гостехпздат, 1949, 355 †4; А. В. Д ор о ф е е в а, Развитие вариацновного исчисления, таи й«е, вып. 14, Фнзиаттнз, 1961, 101 — 180; А. В. Д о р о ф е е в а, Вариациовпое исчисление во второй половюге Х1Х в., тэы же, вьш. 15, Физиатгиз, 1963, 99 — 128.— Прим. рад. ') Об историк првпципа Дирихле сы. работы С. С. П е т р он о й «Принцип Дврихле в работах Римана«, ИМИ, вып. 16, «Науяа«, 1965, 295 — 310 и «О принципе Дирихлеэ, сб. «История и методология естественных иауяэ, Изд-во МГУ, 1966, 200 — 218. — Прим. р«д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
