Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 49
Текст из файла (страница 49)
А. Люстерник получил оценку снизу числа решений многих вариационных задач и, в частности, доказал существование п + 1 замкнутых самонепересекающихся геодезических линий на поверхностях, гомеоморфных и-мерной сфере. Интересные результаты в том же направлении были получены Л. С. Понтрягиным, А. И.
Фетом (см. [22]), С. И. Альбером (см. [1]), Ж. П. Серром, А. С. Ш в а р ц е м (см. [25]). 3. БОЛЕЕ ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Функциональный анализ оформился в самостоятельный отдел математики значительно позже вариационного исчисления. Многие разделы функционального анализа, особенно в СССР, развивались на базе идей вариационного исчисления. В дальнейшем возникло естественное желание включить вариационное исчисление в качестве одной нз глав в уже достаточно развившийся функциональный анализ и придать задачам и методам вариационного исчисления присущую современному функциональному анализу общность, Если раньше на экстремум в основном исследовались определенного вида интегралы, то теперь стали рассматриваться любые функционалы, обладающие лишь некоторыми весьма общими свойствами, заданные на самых разнообразных функциональных пространствах.
Для воэможности обобщения основных понятий теории экстремума функций конечного числа переменных на функциональный случай чаще всего рассматривают линейные или по крайней мере локально линейные пространства и предполагают, что функционал ~(х) обладает дифференциалом в каком-нибудь обобщенном смысле. Например, пусть Š— линейное нормированное пространство, Еэ— сопряженное к Е пространство. Если 1 (х + 1А) — 1 (х) 8 в г (где Й б= Е) является линейным относительно Й функционалом, то естественно считать ф = (Р (х), Ь) и оператор Р (х) называть градиентом )' (х).
Если оператор Р (х) является градиентом~ (х), то Р (х) называется потенциальным оператором, а / (х) называется потенциалом Р (х). Были найдены различные необходимые и достаточные условия потенциальности операторов. Точки, в которых Ы7 = О, называются критическими. Разработаны различ- 232 3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ За последние 10 — 15 лет вариационное исчисление вновь переживало период бурного развития: создавался новый раздел — теория оптимальных процессов.
Хотя основные задачи теории оптимальных процессов формулируются почти так же, как некоторые вариационные задачи на условный экстремум, однако добавочные ограничения, встречающиеся в практических задачах оптимального управления, делают классические метады решения часто неприменимыми или неэффективными. Простейшая оптимальная задача заключается в нахождении функции (или вектор-функции) и (1), называемой управляющей функцией, такой, чтобы функционал ь У [х($), и(Ц] = ~Р(х(1), иЯ)й$ и (2) достигал экстремума, причем и Щ = ~ (2, х' (Г), и (1)) (задаются еще некоторые граничные условия) На первый взгляд эта задача не отличается от обычной задачи на условный экстремум с неголономными связями и может быть решена классическими методами Однако в 233 ные методы доказательства существования критических точек и оценки их числа, причем здесь нередко возникают добавочные трудности иэ-за отсутствия локальной компактности у многих важных классов пространств.
В столь общем виде могут быть сформулированы и различные задачи на условный экстремум, в том числе и некоторые задачи теории оптимальных процессов. При атом удается доказать обобщенное правило множителей Лагранжа и некоторые обобщения принципа максимума Понтрягина (см. стр. 213).
В создание такой абстрактной теории экстремальных задач большой вклад внесли Л. А. Люстерник, М. М. В а й н б е р г (см. [7]), М.А. К р асносельский (см. [9]), ]О. Г. Борисович, а в последнее время В. Ф. Демянов, Е. С. Левитин, И. М. Лаврентьев, Б. Т. Поляк и др. своей практической постановке она содержит ряд специфических особенностей: 1) подынтегральная функция в (2) обычно не содержит х (1) и и (1) и, следовательно, рассматриваемая задача является вырожденной вариационной задачей, которая до недавнего времени была изучена весьма слабо; 2) управляющая функция и (1) обычно является лишь кусочно-непрерывной; 3) допустимые управления обычно расположены з замкнутой области, например, подчинены условию )и (1)) «~М. С каждой из этих трудностей математики уже встречались на различных этапах развития вариационного исчисления.
Действительно, вырожденные задачи уже подвергались, правда, не очень детальному исследованию, кусочно-непрерывными решениями занимался еще в 1920 г. А. М. Р а з м а д з е (см. [18[), замкнутость области определения встречалась в задачах на односторонние вариации, к тому же в последнее время во многих задачах научились переходить от замкнутых областей определения к открытым (возник даже термин «раскрыть область определенияэ). Однако нагромождение этих трудностей в одной задаче настолько ее осложняет, что классические методы часто становятся совершенно неэффективными.
Наиболее значительный вклад в теорию оптимальных процессов сделали Л. С. Понтрягин и Р. Беллман. Л. С. П он т р я гик разработал весьма общий принцип, называемый теперь принципом максимума Понтрягина, позволяющий решать широкие классы оптимальных задач, и вместе с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко (см. [17[) рассмотрел многочисленные приложения и частные случаи этого принципа.
В дальнейшем многие авторы (Н. Н. Красовский, Л. И. Розоноэр, А. М. Летов, А. Г. Бутковский, Т. К. Сиразетдинов, [О. В. Егоров, А. А. Фельдбаум, А. Фридман и др.) еще более расширили границы применимости принципа максимума и детально исследовали некоторые иные постановки задач на оптимальное управление: стохастические задачи, задачи с отклоняющимся аргументом, многомерные задачи, задачи в банаховом пространстве и т. д. Р. Беллман разработал совершенно иной метод решения оптимальных задач — метод динамического програм- 234 пирования, нри котором рассматриваемый процесс разбивается на ряд этапов, при этом управление на й-м этапе выбирается в зависимости от его выбора на (я — 1)-м этапе.
Такой поэтапный выбор управлений часто оказывается весьма удобным, особенно при применении вычислительных машин (см. [2)). Нельзя ке отметить еще один важный класс оптимальных задач — так называемые дифференциальные игры. В этих задачах также надо выбирать управляющую функцию или вектор-функцию и (1) так, чтобы функционал У =- ) гг(х(1), и(1), и(1))Ю ь достигал экстремума при наличии неголономных связей х (1) = У (7.
х (1), и (1), и (1)) но функционал и уравнения связей зависят еще от функции или вектор-функции и (1), которая неизвестна и, более того, она может выбираться наименее выгодным для поставленной задачи способом. Таким задачам и их видоизменениям посвящены, например, работы [16) и [доп.' список, 1[. Мы охватили, конечно, далеко не все постановки задач теории оптимальных процессов, имеющей сейчас исключительное прикладное значение и огромную литературу. Требованием времени, и во многих задачах уже осуществимым требованием, является не только решение какой-нибудь технической или экономической задачи, но и оптимальность этого решения.
В этом — залог бурного развития экстремальних методов в ближайшие годы. ЛИТЕРАТУРА [1) А л ь 5 е р С. И., О периодической задаче варкзпкоккого ксчкслевкя в целом, УМН 12, 36 4 (76) (1957), 135 — 153. [2) Б а л л м а к Р., Двпамкческое программирование, ИЛ, 1960. [3) Б в р к т т е й к С. Н.; 06 уравнениях каркацкапкого ксчкслеккя, УМН 6 (1941), 32 — 74.
[4) Б л к с с Г. А., Лекции по варкацвоякому ксчкслевкюз ИЛ, 1950. [5! Б о л ь ц а О. (Во1ха О.), Чсг)еязпбеп 6Ьег Чаг(аМопягесЬ- пппб, 1909. [6! Б у т к о в с к н й А. Г., Теория оптимального управления системы с распределенными йараметрами, «Наука», 1965. [7! В а й н б е р г М. М., Варияциопные методы исследования нелинейных операторов, Гостахиадат, 1956. [8! В ей яр ш т р а с с К. (Же1вгя«гаях К.), ОЪег бах яобепап(е В[г1сЫеУясЬе Рг1ас)р, Ма«ЬешаИя«Ье %"егйе П, 1895, 49— 54. [9) К р а окосел вский М. А., Топологические методы в теорзм нелинейных ннтегрзльных уравнений, Гостехиэдат 1956.
[10! Ладыженская О.А., Уральцеза Н. Н., Ли- 1964. нейные и квазнлинейиые уравнения эллиптического типа, «Наука», [11! Л е б е г А. (ЬеЪеябие Н.), Япг )е ргоЫешеВ)г(сЫе«, Вепй С(гс. Ма1Ь. й Ра1егшо 24 (1907), 371 — 402. [12! Л ю стер н ик Л. А., а) Топология и взриацпонное исчисление, УМН 1, № 1 (И) (1946), 242 — 247; б) Топология фувнциональных пространств и вариацнонное исчи.— сление в целом, Тр. Матем. ни-та АН СССР им. В.
А. Стеклова, т. 19, Изд-во АН СССР„1947. [13) Люстерйик Л. А. н Шннрельман Л. Г., Топологические методы в вариациокных задачах, Госиздат, 1930. [14! М и х л н н С. Г., Варкационные методы в математвческой физике, Гостехиздат, 1957. [15), М о р с М. (Могяе М.), а) ТЬе са)сп)пя о1 чаг)аМопя ш 6»з )агйе, Ашек ша«Ь. Вес. со)оп. рпЫ. 18 (1934); б) Р»шсМопз1 «оро[ойу аш1 аЪяхгас« ча»йаВопа1 1Ьеогу, МешоПа1 Йея яс!евсея ша«Ь., 1938. [16! П опт р я г ип Л. С., К теории дифференциальных игр, УМН 21, № 4 (1966), 219 — 274. [17! Понтрягин Л. С., Болтянский В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
