Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 48
Текст из файла (страница 48)
226 ный экстремум — в задаче О. Больца: среди всех кусочно- гладких вектор-функций найти ту, на которой достигает экстремума функционал ы и (у(х)) = $ Р(хг у, у')«Ь+у(хо, у(х«),хы у(хг)) при связях 1р„(х, у,у')=0 (й=1, 2, ..., т, лт~п) и условиях на границах Ф,(х„у (х,), х„у (х,)) = 0 (г=1, 2, ..., р; р~(2п+2) (работы О.
Больца, К, Каратеодори, Г. Блисса, М. Хестенса, Макштейна и др.). 2) Большое продвижение в исследовании экстремумов кратных интегралов (задачи с подвижныьщ границами, достаточные условия, задачи на условный экстремум и, особенно, теоремы существования решений варнационных задач), в частности работы Д. Гильберта и А. Лебега по обоснованию принципа Дирихле, работы С. Н. Б е р нш т е й н а ~3), А. Хаара, Л. Тонелли, Р.
Куранта, А. Г. Сигалова, О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой. Многие из этих авторов применяли прямые методы вариацнонного исчисления; см. стр. 204 — 215. 3) Исследование преобразований, оставляющих функционал инвариантным, и их приложение к варнациовным принципам (работы Э. Нетер). 4) Теория поля, в частности геометрическая теория поля (продолжекие работ А. Кнезера и Дарбу). 5) Отметим также создание теории вариационных задач на пространствах кусочно-непрерывных функций (А. М. Размадзе 1181). 3. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ Значительным шагом в развитии вариационного.исчисления следует считать создание новых прямых методов и реабилитацию старого конечноразностяого прямого метода Л.
Эйлера. Прямыми методами в вариационных задачах называют методы, в которых вариационная задача рассматривается 227 как предельная при и — со для задачи об зкстремуме функций конечного числа п переменных. Если предельный переход не совершается, то получаем приближенное решение, если п — э ос, то при некоторых условиях в пределе можно получить точное решение. Прямой метод был применен в работе Д. Гильберта '), посвященной принципу Дирихле. В 1909 г.
В. Ритц 1191 опубликовал статью, в которой был разработан новый, весьма аффективный, прямой метод, получивший название метода Ритца. В атом методе при исследовании на экстремум функционала и 1у (х)1 выбирается некоторая последовательность функций юг (х), же (х),..., м„(х),... (1) Решение вариационной задачи вначале ищется лишь на линейных комбинациях с произвольными постоянными коэффициентами из п первых функций атой последовательности: а ув = Хагша (х). е г При этом функционал з (У„(х)1 = Ф (а„аю ..., а„) превращается в функцию коэффициентов а„, и зта функция исследуется на зкстремум обычными методами.
Найденное таким методом у„(х) является приближенным решением вариационной задачи. Если функционал и 1у (х)1, последовательностй функций(1) и пространство, на котором задан функционал з, удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, то у„(х) прип — ~-сс стремится кточному решению вариационной задачи. Совершенно аналогично решаются вариационные задачи, в которых у (х) или х являются вектор- функциями. В практических вопросах прямые методы обычно применяются для приближенного нахождения решений вариационных задач, причем для наиболее часто встречающихся в приложениях функционалов и для часто примепя- г) Ма15. Авв. 59 (1904), 161 — 186.— Прим.
реа. 228 ющихся последовательностей функций (1) найдены весьма точные оценки погрешностей, если в методе Ритца ограничиться небольшим числом п (работы Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова). После 1909 г. была разработана теория различных прямых методов, большинство из которых являются модификациями метода Рктца (работы Л. В. Канторовича, Э.
Трефтца, С. Г. М и х л и н а (14) и др.). В 1936 г. в работе Л. А. Люстерпика и И. Г. Петровского с успехом был применен прямой конечно-разностный метод Эйлера, весьма редко применявшийся со времени разработки Лагранжем метода вариаций в 1755 г. Этот метод заключается в том, что функции, на которых задан функционал, определяются вначале лишь в точках некоторой сетки, а вне сетки продолжаются линейно. При этом функционал превращается в функцию значений линейной функции в узлах сетки.
Эту функцию исследуют на экстремум и, сгущая сетку предельным переходом, при некоторых условиях получают точное решение. В дальнейшем этот метод часто применялся с большим успехом. Прямые методы оказались совершенно незаменимыми при доказательстве существования решений многомерных вариационных задач. При этом уже не требовалось решать вспомогательную задачу на экстремум функции и затем совершать обычно весьма сложный предельный переход, а достаточно было лишь доказывать существование решения задачи на экстремум функции, допустимость предельного перехода и существование предельной функции. На зтом пути были достигнуты в последние годы исключительные успехи в доказательстве существования решений многомерных регулярных вариационных задач (см.
стр. 204 — 215) и их обобщений; особенно следует отметить работы А. Г. Сигалова (см. [20)) и О.А. Ладыженской, а также Н. Н. У р а л ь ц е в о й (см. (10)). 4. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ Новым этапом развития вариационного исчисления явились качественные топологические методы исследования' вариационных задач. Основным вопросом явилась оценка снизу числа решений вариационной задачи в зависимости от свойств функционального пространства, на котором функционал определен.
Естественно, что вначале надо было решить аналогичную, по более простую задачу об оценке снизу числа критических точек функции конечного числа переменных (т. е. точек, в которых ф = О) в зависимости от свойств ее области определения. Из теоремы Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своей точной верхней и точной нижней границ следует, что дифференцируемая функция, заданная на любом замкнутом многообразии, имеет по крайней мере две критические точки — точку максимума и точку минимума.
Но если топологическая структура многообразия сложна, то эта оценка очень неточна, например, на и-мерной нроективной плоскости каждая дважды непрерывно дифферекцируемая функция имеет по крайней мере п + 1 критических точек, В работах 1925 и 1931 гг. М. Морс (см. [15[) с по- помощью чисел ВеИ1 шой 2 дал оценку числа аналитически различных критических точек функции, заданной на замкнутом многообразии, а также при некоторых ограничениях и на областях евклидова пространства.
Оказалось, что число критических точек функции, заданной на замкнутом многообразии, не меньше суммы чисел Ве~й шой 2. При этом предполагалось, что критические точки не вырождены (гессиан отличен от нуля). Результат раскространялся и на вырожденные критические точки, но тогда им приписывалась некоторая кратность.
В дальнейшем М. Морс перенес зти результаты на функциональный случай и дал оценку числа аналитически различных решений многих вариационных задач. В СССР работа в основном велась в ином направлении— оценивалась не сумма кратностей критических точек, а число геометрически различных критических точек. Основополагающие результаты в этом направлении были получены Л. А.
Люстерником и Л. Г. Шнирельманом (1927 г.). Для оценки снизу числа геометрически различных критических точек они ввели новый топологический инвариант — гомотопическую категорию множества. Гомотопической категорией са1мА замкнутого множества А относительно содержащего это множество многообразия М называется наименъшее число замкнутых множеств из 230 М, сумма которых содержит А, а каждое множество может быть стянуто в точку с помощью непрерывной деформации в М. Удалось доказать, что саСмЛХ оценивает снизу минимальное число критических точек функции, заданной на многообразии М.
Эта теорема была обобщена Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом на функциональный случай и дала им возможность оценивать число решений различных вариационных задач и, в частности, в 1928 г. решить известную проблему о трех геодезических линиях на поверхностях рода О. Они доказали (см. [13)), что на всякой трижды дифференцируемой гомеоморфной сфере поверхности существуют по крайней мере трп замкнутые самонепересекающиеся геодезические линии различной длины, совпадение длин которых возможно лишь при появлекии коптинуума геодезических линий той же длины. Идеи Л. А. Люстерника и Л.
Г. Шнирельмана получили раавитие в работах многих математиков, причем в одной из этих работ [23[ был введен новый, связанный с кольцом пересечений, сравнительно легко вычисляемый топологический инвариант — длина множества относительно многообразия. Этот инвариант оценивает снизу гомотопическую категорию, а следовательно, оценивает снизу и число критических точек.
В 1941 — 1943 гг. Л. А. Люстерник (см. [12)) с помощью созданной А. Н. Колмогоровым и Александером теории верхних гомологий построил теорию пересечений в бесконечноме рных пространствах и определил в этих пространствах понятие длины множества. В то время как в конечномерном случае группы гомологий верхних циклов (Р-циклов) могут быть выражены через группы гомологий нижних циклов (А-циклов), в бесконечномерных пространствах группы верхних гомологий дают существенно новые топологические инварианты, позволяющие изучать, так сказать, (со — Й)-мерные циклы — циклы дополнительной размерности Й. Вычислив длину некоторых функциональных пространств, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
