Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ЛИТЕРАТУРА [1) Р г о Ь е и ! п в О., ()ейег Йе ппхемебЪагеп ЙвЬге(вп Веиебппбвбторреп, 8!1хЬ. ргепвв. А)шй %!ш., РЬув.-Ма!Ь. К1., 1911, 654 — 655. [2) Я с Ь о и 1 ! ! е в в, Кг!в!а1)аув!вше ппй КгЬпа))в!лпЬ1пг, 1~с!рх)6 1891. [3) 2 а в в е и Ь а в в, Сьев е!пеп а!6оМФЬашв впх Вовс!шшвпз бег йапвщспрреп, Сошшепь МасЬ. Не!иепса 21, № 2 (1948), 117 — 141. [4) В ! е Ь е г Ь а сЬ 1., ()еЬег Йе Веиебппбвбгорреп дев в-Йпхепмопа)еп ЕпЫ!ЙвсЬвп Напшев ап1 етеш еп61!сЬеп Рппйашеп!а!Ьеге!сЬ, 06!С.
ХасЬп, 1910, 75 — 84. [51 В ! е Ь е г Ь а с Ь Ь., ))еЬег Йе Веиелшщвзтврреп бег ЕпЫ!ЙвсЬеп Ваоше 1, Ма!Ь. Апп. 70 (1911), 207 — 336, [6) В 1е Ь е г Ь а с Ь 1., ()еЬех Йе Веиебппбщгорреп бег ЕпИ!ЙвсЬеп Бапше Н, МасЬ. Апп. 72 (1912), 400 — 412.
[7) К е ! и Ь а г 6 1 К., Епг 2ейщшщ дев ЕпЫЫ1всЬеп Бапше !в Копбтпеп!е Ро!усоре, 8!1хЬ. рсепвв. АЬай %!яв., 1928, 150 — 155. [8) Д е л о в е Б. Н., Доиавательство основной теоремы тсорпв стереоэдров, ДАН СССР 138, № 6 (1961), 1270 — 1272. )91 Д е л о н е Б. Н., С а н д а и о в а Н. Н., Теория стереоедпов, Тр. Матем. ин-тв АН СССР пм. В. А.
Стеклова, т. 64. Ивд-во АН СССР, 1961, 28 — 51. [1О) За поревев А. М., О ненормальных правильных Разбиениях евклидова пространства, ДАН СССР 161, № 1 (1965), 3'.~ — 31. К ДЕВЯТНАДЦАТОЙ И ДВАДЦАТОИ ПРОБЛЕМАМ ГИЛЬБЕРТА А. Г. Сигалое Девятнадцатая и двадцатая проблемы Гильберта, взятые вместе, составляют основу широкой программы исследований, завершение которой и сейчас нельзя предвидеть. В девятнадцатой проблеме дается понятие регулярной вариационной задачи, как задачи на отыскание минимума интеграла где Р— аналитическая функция, удовлетворяющая неравенству а»Р а»Р а»Р — — — — >О. ар* аз» араэ В двадцатой проблеме ставится вопрос, не допускает ли каждая такая задача решение, если понятие решения разумно расширено.
В то же время в девятнадцатой проблеме предлагается выяснить, будут ли решения регулярной задачи всегда аналнтичны, независимо от свойств гладкости нли аналитичности граничных условий. В качестве примеров указываются кринцнп Дирнхле (Р = р' + д') и задача на определение поверхности наименьшей площади, ограниченной заданной кривой (Р' = р'1 +р' + «)л). Формулируя двадцатую проблему, Гильберт высказывает убежденна, что доказательства существования можно провести с помощью некоторого общего основного положения, на которое указывает принцип Дирихле, 11о-видиме- 204 му, здесь имеется в виду получение решения как предела построенной определенным образом минимизирующей последовательности. Именно на этом пути Гильбертом (1), (2], были даны решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа и доказательство существования кратчайшей линии на поверхности, соединяющей две фиксированные точки, Пример Р = р'1+ р*+д» показывает, что не каждая регулярная задача имеет решение, независимо от гладкости граничных условий.
Такая возможность возникает, когда область «' не является выпуклой. Для решения таких задач поверхность з = ~ (х, у) следует задавать в параметрической форме и считать, что функционал У зависит от трех неизвестных функций. Решение может иметь несколько участков, проектнрующихся на одну и ту же часть плоскости (х, у). Такие примеры были известны задолго до доклада Гнльберта.
Чтобы исключить связанные с ними затруднения, вводят егильбертово условие трех точек»: угол наклона плоскости, проходящей через любые три точки граничной кривой, к плоскости (х, у) ограничен постоянной, меньшей я/2 '). Можно допустить, гго Гнльберт имел в виду возможные ограничения такого типа, не указав на них. Но задачи, связанные с выраженис «, г, 4 «««- ~' «- с, д ры несуществования решения, которые нельзя исключить никаким ограничением на граничные значения.
Эти примеры имеют природу, не зависящую от размерности задачи. Для пояснения приведем функционал геометрической оптики: 1 (Г) = ~ ф (х, у) у«1 + у«э «(х = ~ «р (х, у) )~ Х» + а» «1г. г г Коэффициент преломления ф может быть задан так, чтобы минимум не достигался нн на одной кривой у = ~ (х). Но решение этой задачи в параметрической форме существует для любой неирерменой ф > О. Доказательство существования легко провести, следуя работам Глльберта, предшествующим его докладу.
Отправляясь от аналитичности выражения Р, предписанного Гильбертом, «.'. Н. Бернштейн предполагал, что Р ') Условие трех точек Гзльберт ввел, решая м«дачу иа мвавмум автегриаа Ц (р» + З») ««е««з- 205 разлагается в ряд однородных относительно (р, д) функций для достаточно больших р, д. Такой класс выражений Р мы будем называть берпштейновским. Оказалось, что для того, чтобы существовало решение соответствующего дифференциального уравнения при любых достаточно гладких граничных данных, необходимо, чтобы порядок роста а функции Р относительно 3~р'+ 4з при 1р 1, ]д ~ — оо был больше 1. Для выражения р = <р (х, у, з) у 1+ р'+ д порядок роста а равен $.
Возвращаясь к формулировке девятнадцатой и двадцатой проблем, можно предположить, что имел в виду Гильберт, предлагая расширить понятие решения в соответствии со смыслом задачи. Нам представляется маловероятным, чтобы Гильберт предлагал отказываться от гладкости решения, надеясь, что позднее будет доказана его гладкость и аналитичность. Он знал, что регулярные задачи могут потребовать введения в качестве решений объектов, геометрически более сложных, чем поверхности вида з = ~ (х, у); но при этом надеялся, что для аналитических задач и решения должны быть аналитичны. Но существует и другая точка зрения, по которой Гильберт, раабивая всю проблему отыскания аналитических решений для аналитических задач на две части, угадывал последующее развитие втой проблематики и предлагал в двадцатой проблеме искать доказательства существования обобщенных решений,не заботясь об их гладкости.
Р. К у р а н т (ЗЗ] считал, что для задачи Плато в некараметрической форме Гильберт допускал рассмотрение поверхностей, которые на некоторых участках не задаются уравнением з = ~ (х, у). Это равносильно переходу к параметрической форме. Именно такому направлению следовал Р. К у р а н т в своей книге (34]. В девятнадцатой проблеме Гнльберт, формулируя понятие регулярной задачи для двух независимых переменных, говорит, что вариационные задачи, которые играют роль в геометрии, механике и математической физике, являются преимущественно регулярными.
Но в математической физике естественная постановка задачи требует трех н более независимых переменных. Когда Гильберт формулировал свои проблемы, трудности перехода от двух к большему числу переменных не были известны так хорошо, как сейчас; считалось, что достаточно получить решение 30В двумерной задачи, перенесение же результатов на л-мерный случай не представляет интереса для математика. Для математической физики и геометрии естественны вариационные задачи с несколькими неизвестными функциями.
Соответствующие функционалы можно задавать выражениями вида Х (х) = ~ р (х11 . ° ° ~ хп х1 '~1 ~ ° ° - ~ ут) дх~ где х — вектор-функция аргументов х, х„а Хз — некоторые величины, зависящие от дз/дхь например якобяаны вектор-функции х, определяющей поверхности в параметрической форме, или компоненты тенэора деформации, если х — вектор смещения упруго деформированного тела. В этих случаях выпуклость р относительно (ХД играет ту же роль в доказательствах существования минимума, что и гильбертово условие регулярности для функционалов, содержащих одну неизвестную функцию.
Чтобы не отдаляться от проблем, сформулированных Гильбертом, мы ограничимся в этом кратком обзоре задачами с одной неизвестной функцией от я неэависвмых переменных и двумерными регулярными задачами в параметрической форме. В математических работах и приложениях регулярные задачи с неаналитическими подынтегральными выражениями не менее важны, чем задачи с аналитическими виражениями. Имея в виду, что в формулировках девятнадцатой и двадцатой проблем ясно выражено требование аналитичностиг,мы включили в обзор неаналитические постановки лишь в той мере, в какой они имеют значение для решения задач с аналитическими выражениюзи. ЗАДАЧИ В ИЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Работы С. Н.
Бернштейна я А. Лебега определили главные направления, по которым развивалась программа, намеченная Гнльбертом. В работах Бернштейна аналитические проблемы Гиль- берта трактовались чисто аналитическими средствами. Прн п = 2 было доказано, что решение з регулярной зот задачи аналитично, если г~=: 'С»» ') (Б е р н ш т е й н (3!)»). Это требование было ослаблено Л н х т е н ш т е йн о м ]6] до х Е:- С,',, О я" у ( 1, А. Х а а р о м (7! до 1 и б= С„и М о Р Р и (Я] до з ~ Сиы Но даже этот РезУльтат не дал решения девятнадцатой проблемы при и = 2, нбо для регулярных яадач общего вида все известные способы построения миннмивирующих последовательностей дают решения, принадлежность которых классу С,' установить в то время не удавалось.
Все ати реиультаты сводят девятнадцатую проблему к доказательству гладкости решения вариационной задачи. Но вместе с тем они ставят решение двадцатой проблемы в иавнсимость от решения девятнадцатой проблемы, ябо нельяя утверждать, что обобщенное решение отвечает смысчу задачи, если неиэвестно, не будет ли всякое обобщенное решение гладким. Для решения двадцатой проблемы С. Н. Б е р н шт е й н (5] развил метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру, входящему в уравнение. Этот метод дает решение вариационной задачи только в тех случаях, когда функционал выпуклый, например для выражений вида Р (р, д). Для таких выражений условие выпуклости функционала 6»У (г, бх) > О равносильно условию регулярности. Диссертация Л е б е г а (12] содержала расширение класса допустимых функций и граничных условий вариационных еадач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
