Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Иустьпри данном гкривая С степени с[ проходит черее точки (а»[, а»и а»«), 1 = 1, ... ..., г, с краткостями в )о Тогда д [ + - . + 1» у' г Нагата доказывает эту лемму при г = г', е > 4, польэуясь алгебро-геометрическими соображениями. Ввиду того, что дальнейшие детали изложения являются достаточно техническими, мы их опускаем, отсылая читателя к оригинальной работе [5).
ЛИТЕРАТУРА [1) 2 а г 1 в Ь 1 О., Ев«вгргдш«|овв в|ЗЪЪго-Здошв«»|савв да «огывшв ргоЫвшв дв ННЪвг«, Ва)). З«1. Мв«Ь. 78 (1954) „ 55 — 168. [2) Х в 3 а 1 в М., А «гвамвв оа ФЬв 14-ФЬ огоЪ|вш оЕ Н|1Ъвг|, Мвш. Со)[. Ьд. Ов|г. Куо«о, »вг. А 30, )ч 1 (1956) „57 — 70. [3) Ха Зв «а М., Адд|11ов аш| воггвеповз «о шу рврвг «А Фгвамвв ов «Ьв 14-«Ъ ргоЫвш о| Н1|Ъвг»», Мвш. Со||. Зв|. Ошш Еуо«о, зег. А 30, М 2 (1956), 197 — 200. [4) )Ч в 3 а ь а М., Ов «Ъе Еоог«ввв«Ь ргоЫвш оЕ НШшг«, Ргос. 1зй. Соабгвш оЕ Мв«Ь. (Ед|аЪвгЗЬ 1958), СашЪг|63в, 1960, 459 — 462.
[5) )Ч а Зв «а М., Ов «Ьв 14-«Ъ ргоЪ|вш оЕ Н|)Ьвг«, Ашвг. Х. Ма«Ь. 81 (1959), 766 — 772. К ПЯТНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю.Н. Манон Эта проблема Гильберта, в отличие от предыдущей,не является четко поставленной математической аадачей, допускающей ответ, который можно сформулировать в виде теоремы. Речь идет скорее о необходимости построения ряда технических средств, с помощью которых вычисления Шуберта могли бы быть проведены на твердой основе в достаточно формализованной системе.
Ниже мы по необходнмости очень кратко опишем результаты современной алгебраической геомегрии, которые служат фундаментом для ее «исчислительной» части. Но прежде всего процитируем начало второйглавышестоготома книгиБ е й к е р а [1[, в котором даны краткие и неформальные комментарии к исчислению Шубертш «Это исчисление основано ка том, что каждому условию, которому подчинен некоторый алгебраический объект, ставится в соответствие определенный алгебраический символ. Тогда наложение хотя бы одного иэ двух неэависимых условий удобно представлять суммой символов этих условий в любом порядке. Одновременное наложение двух условий представляется произведением символов этих условий в любом порядке.
Умножение подчиняется дистрибутивному закону; сложение и умножение коммутативны... ...Всегда подрааумевается, что геометрические объекты, рассматриваемые в теории, определяются значениями некоторого числа параметров и что условия, накладываемые ка эти объекты, алгебраичны. Класс объектов, описываемых данной системой из т параметров, имеет размерность (Егеедош) т... Если на параметры наложено[(неэависимых) условий, то множество объектов класса, удовлетворяющих этим условиям, образует подкласс раэмвр- 175 ности ш — ~.
В частности, при ~ = т этот подкласс состоит, вообще говоря, из конечного числа объектов». «Геометрические объекты» современной теории — это алгебраические многообразия нли схемы Гротендика. В затянувшемся периоде перестройки основ, который переживает сейчас алгебраическая геометрия, отсутствие устоявшихся книг и курсов исключает возможность отослать читателя к какому-нибудь стандартному изложению. Мы будем считать в дальнейшем, что мы работаем в одной из следующих трех категорий: а. Алгебраические многообразия над полем комплексных чисел («классический случай»).
б. Алгебраические многообразия над проиавольным аолем (скажем, в смысле В е й л я [131). в. Схемы Гротенднка (для справедливости ряда результатов нужно ограничиться рассмотрением нетеровых или алгебраических нли только проективных алгебраических схем). (Литература: [41, [5[.) Возможность определить геометрический объект из данного класса конечным числом параметров возникает в большом классе задач. Вот простейший пример: кривая степени п на проективной плоскости над полем я задается своим уравнением, которое является формой степени н от трех переменных с коэффициентами в я. Можно считать поэтому, что множество таких кривых параметризуется точками ~ ~ (а + $) (в + 2) 2 — 11мерного проективного пространства коэффициентов таких форм.
«Условие», налагаемое на такую кривую, означает, что соответствующая ей точка принадлежит некоторому алгебраическому подмногообразию пространства коэффициентов. Наложение двух условий такого типа одновременно соответствует рассмотрению пересечения двух многообразий в пространстве коэффициентов, а наложение «хотя бы одного нз двух условий»вЂ” объединению многообразий. В этом неформальном описании смешаны две существенно разные идеи: вопрос о возможности введения «естественных параметров», с одной стороны,ивопросо построении «теории пересечений» внутри этого пространства, которое априори может быть любым многообразием (или схемой). Начнем с первого и самого простого случая: с параметриаации алгебраических подмиогообразий в данном проективном пространстве Р".
Дискретные инварианты, которые 176 следует здесь зафиксировать, — это размерность и степень парзметризуемых подмногообразий. Пример кривых на плоскости показывает, впрочем, что вместо подмногообразий следует рассматривать более общие объекты: например, естественно считать, что уравнение л«х = О на плоскости задает объединение двух прямых: х = О и х1 = О, из которых первая берется «с кратностью два», из-за чего вся «кривая» и имеет степень три. Обобщением этого в многомерном случае служит понятие «цикла»: цикл в Р" есть элемент свободной абелевой группы, порожденной (неприводимыми) подмногообразиями в Р"; цикл эффективен, если коэффициенты при многообразиях не- отрицательны, однороден, если его компоненты имеют одинаковую размерность.
Степень цикла определяется по линейности, размерность — очевидным образом. В классической теории параметрнзуются эффективные однородные циклы данной степени и размерности в Р"; конструкция пространства параметров («координаты Чжоу») принадлежит Чжоу и ваи-дер-Вардену; см. ее изложение в книге Х о д ж а и П и д о [121. Нужно, впрочем, отметить, что эффективное вычисление многообразий Чжоу представляет собой исключительно трудкую задачу; например, классический вопрос об описании всех неприводимых компонентмногообразий Чжоу для кривых в трехмерном пространстве до сих пор ке имеет полного решения.
В теории Гротендика рассмотрение циклов в Р" заменяется рассмотрением замкнутых подсхем. Замкнутые подсхемы в Р" находятся во взаимно однозначном соответствии с классами однородных идеалов в кольце многочленов й Ь„..., х,! относительно следующего отношения эквивалентности: два идеала определяют одну и ту же подсхему, если их однородные компоненты совпадают для всех достаточно больших степеней. Дискретный инвариант подсхемы, заменяющий степень и размерность цикла, — многочлен Гильберта соответствующего идеала, измеряющий линейную размерность однородной компоненты идеала в функции степени атой компоненты. (Впрочем, степень и размерность подмногообразия в Р" также удобнее всего вычислять через многочлен Гильберта этого многообразия, т.
е. соответствующей ему подсхемы.) Утверждение о том, что подсхемы в Р" с фиксированным многочленом Гильберта могут быть естественно параметризованы, приобретает в теории Гротендика совершенно точный смысл и является «77 о тень сильным. Рассмотрим произвольную «систему» подсхем в Р", параметризованную некоторой схемой Ю, т. е. произвольную подсхему в Р" х Я. Допустим, что эта система является «плоской», — это свойство означает, грубо говоря, что в слоях не происходит скачков, — и что ка всех слоях над точками Я индуцируютсяподсхемы с данным многочленом Гильберта й. Утверждается, что в классе таких систем существует единственная «универсальная» система, иэ которой все остальные получаются отображениями базы.
База атой универсальной системы называется «схемой Гильберта» для Р" (точнее, ее частью, соответствующей многочлену Ь). Мамфорд обнаружил поразительное обстоятельство, что даже над полем С в Р* схемы Гильберта для кривых могут не быть многообразиями: в слое структурного пучка общей точки такой схемы могут быть нильпотентные элементы По-видимому, неизвестно, можно ли описать многообразия Чжоу с помощью какого-либо универсального свойства; во всяком случае, изучение связи между многообразиями Чжоу и схемами Гильберта представляет существенный интерес. Обе этн конструкции обобщаются на случай, когда Р™ ' заменяется произвольным проективным многообразием (соответственно проективнойалгебраической схемой).(Литература: 161, 191.) Перейдем теперь к теории пересечений.
Ей естественно предшествуют рудименты теории размерности, на которой мы не будем останавливаться подробно: ограничимся указанием, что размерность определяется как максимум длин цепочек неприводимых замкнутых подмногообраэнй (подсхем). Один иэ первых результатов теории пересечений состоит в оправдании представления о том, что «наложение Г независимых условий» понижает размерность на ~. Точная формулировка в контексте алгебраических многообразий: пусть РУ вЂ” алгебраическое многообразие, П, У вЂ” его подмногообраэия размерностей ит, и, э соответственно. Допустим, что П П Унепусто,тогдачереэкаждую точкуиересечения, неособую на»У, проходят компоненты, П П У', и все они имеют размерность ь и + э — и. Важным дополненном служит теорема о размерности слоев отображени»п если П вЂ” У вЂ” собственное отображение многообразия П на У, то и = э + «, где Ф вЂ” размерность общего слоя отображения; на отдельных подмиогообраэиях У размерность слоя может повышаться; точнее говоря, размерность слоя как функция на У полунепрерывна сверху в топологии Эарнского.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
