Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Г. н Х е н к н и Г. М. ~ Лннейные суперпсвнцпн фупкцпй, УМН 22, сй 1 (1967), 77 — 124. К ЧЕТЫРНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. Л'. Макин Совокупность задач, поставленных Гильбертом в этой части его доклада, обязана своим возникновением следующему вопросу в теории инвариантов. Пусть й [ха, ..., х„1— кольцо многочленов над полем й, 6 — некоторая группа )г-автоморфиэмов этого кольца. Имеет ли конечное число образующих над л подкольцо 6-инвариантных многочленов Ь [х, ..., х„10? (В первоначальной постановке й является полем комплексных чисел, а 6 — некоторая подгруппа проективной группы.) Обозначая через .Г поле инвариантных элементов, имеем )г [ха, ..., ха]0 = г.
П Ег [хы ... ..., х„]; естественное обобщение задачи, которое предлагает Гильберт, состоит в том, чтобы ваять в качестве Г произвольное подполе в )г (х„..., х„), содержащее й. Вариант этого вопроса получается, если заменить поле Ег кольцом целых чисел 2. Для представлений ряда классических групп 6 вопрос решен положительно '); тем более неожиданным был ре» зультат Н а г а т ы [31, объявленный на Эдинбургском международном математическом конгрессе, согласно которому над «достаточно большнмз полем )г (например, над полем комплексных чисел С) существует представление прямой суммы 6 конечного числа аддитивных групп )г+ в кольце многочленов )г [х, ..., х„] такое, что )г [хы ..., х„10 не имеет конечного числа образующих.
Прежде чем описывать пример Нагаты более подробно, укажем на важную алгебро-геометрическую интерпретацию и обобщение задачи, принадлежащие Э а р и с- г) Длп преектпзнсй группы зто было сделано Гнльбертом.— Лрим. рсд. 171 е(с») = с», з(х») = х»+Ь»с», е = (Ь», ..., Ьг). где Т е о р е и а. г»'ель»)о х [х„..., х„8„"., »,)о не имеет венечного числа образующих над Й. Набросок доказательства. Положим г и = », ...
»„з» = иг»», ю» = з»х»» у» =,>~ а;»и». Непа»=» средственный подсчет показывает, что н(х»». ° х- »»», »„) =7»(у,, у, у»; Г г„). »7г к о м у [1[. Зариский заменяет кольцо многочленов произвольным целозамкнутым кольцом конечного типа над полем и замечает, что з этом варианте проблема допускает следующую геометрическую формулировку. Пусть нормальное алгебраическое многообразие над полем 7», Р с= » — некоторый дивизор. Обозначим через .г» [Р) кольцо функций на У, не имеющих полюсов вне.0.
Является ли В [Р) кольцом конечного типа? В работе [1) 3 ар и с к и й анализирует алгебро-геометрические трудности задачи и решает ее положительно в случае б[ш »г = =»», 2. В статьях [2) и [3) Н а г а т а обобщает зтутеорему Зариского,заменивВ [Р[произвольнымнормальным кольцом, поле частных которого имеет размерность 2. Опишем теперь вкратце пример Нагаты, дающий отрицательное решение четырнадцатой проблемы Гиль- берта в ее первоначальной постановке. Пусть г ) Π— некоторое целое число (оно будет выбрано позже), 7» — основное поле любой характеристики, степень трансцендентности которого над простым подполем неменьше 3г.
Пусть а»»»." — а,1=1,2,3;7 =1, ...,г,— злементы из й, алгебраически независимые над простым подполем, г — г-мерное линейное пространство над А с фиксированным базисом, Р»» г — (г — 3)-мерное подпрог странство, состоящее из векторов (Ь») таких, что~ апЬ; = = О при 1 = 1, 2, 3. Обозначим через»" аддитивную группу»ге. 6 действует в кольце многочленов Й [х„..., х„' с„..., »г) следующим образом: Позтому ,7' = 7» [х»,... » х ' »», ° »г) 6 = Ь [хы °, х»» Г», ° ° °, 1г) й )с[ум У»ь у»» 1ы ° ' » ~г[ Любой элемент из .г' поэтому можно записать в виде Хсц,...,»„(у», Ую У») 6. * Г, г, (1) где»з б— : Я» с;„.„, », Е= й [ую ую у»[. Мы сейчас опишем условия, которые накладывает на коэффициенты с»„., », принадлежность злемента (1) к Х. Обозначим через р, С 7» [у„ую у») однородный простой идеал, соответствующий точке(а„, а»», а»»)на проективной плоскости.
Идеал р» порожден многочленами а»у»вЂ” — а»»у», ад»у» — а»»у». Положим т»» — р»» П... П р»г. Л е м м а. Элаиент (1) принадлежит Х е том и л»олька томслучае, вседа дллесех»„..., »„»:= е' с»», ...,» ~= т»»,...,», '""' г (Доказательство мы опускаем.) Предположим теперь, что кольцо Х порождено конечным числом злементов. Можно считать, что все ови имеют вид с»„... », (У„у, у») ~-' ... г;»г. Легко видеть, что тогда выражение Йеу е» Ь(с;„...,;) = . + +"., где ся,....
», б= ть...,. »„принимает нижнюю грань своих значений, когда с и Уы ..., 7'„менкютсЯ. ГеометРическаЯ интерпретация условия сь ..., », 6= т;„..„»„состоит в том, что кривая с = О в проективной плоскости проходит через точки (а»», а», а»») с кратностями,> у;.
Если <»»+ 1) (»»+ г) > ~ »» (»» +») »» то такая кривая степени»1 существует; при !» = ". = 7 г = 7 это неравенство превращается в Ю + 3»» «ь г) (у + 1). 173 Выбирая д и у' достаточно большими, атому неравенству можно удовлетворить, сделав отношение —.= а а «! (г+- "+ 1« сколь угодно близким к —. Поэтому у'7 1п15(с)ч' = .
г«« Сравнивая этот результат с предыдущим, мы получаем, что основная теорема вытекает из следующего утверждения: О с н о в н а я л е и м а. Пусть при даииоз» г кривая С стеиени д ироходитчерез точки (а ~,' а «, аз»), 1 = 1, ... ...„г, с кратностяз»и»)о Тозда а А+ . +1'« Нагата доказывает эту лемму при г = зз, г ' 4, пользуясь алгебре-геометрическими соображениями.
Ввиду того, что дальнейшие детали изложения являются достаточно техническими, мы их опускаем, отсылая читателя к оригинальной работе [5). ЛИТЕРАТУРА [1) 2 а г 1 з 1с 1 О., 1в«згр»4Ш1(ооа а)64Ьго-84ошеьгщзез дц аза(ог«15ше ргоЫ4ше 6е НШшг«, ВоП. 8«1. Ма«Ь. 78 (1954), 155 — 168. (2) Н а 6 а 1 а М„А «гза«(зз ов «Ье 14-й ргоЫеш о1 НПЬег1, Меш. СоП. 8с(. 1)а(г. Куо«о, ззг. А Зо, «4 1 (1956), 57 — 70. (3) Ха За «а М., А46111оа еай соггзсйоаз (о шу рарег «А Ге««паз яь 1Ье 14-1Ь ргоЫеш о1 Н1)Ь«г«», Меш. СоП. БсЬ 1)в(г.
Куого, . А 80, И 2 (1956), 197 — 200. (4) 1ч а 6 а 1 а М., Оа йе аозт«ееа«Ь ргоЫвш о1 НШег1, Ргос. 1ак Соаагззз о1 Ма«Ь, (Е4шЬигЗЬ 1958), СашЪг(66«, 1960, 459 — 462. (5) г( а 6 а Ф а М., Оа «Ье 144Ь ргоЫеш о1 Н(1Ьег«, Ашзг. Х. Ма«Ь. 81 (1959), 766 — 772. К ПЯТНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. К. Манин Эта проблема Гнльберта, в отличие от предыдущей, не является четко поставленной математической задачей, допускающей ответ, который можно сформулировать в виде теоремы.
Речь идет скорее о необходимости построения ряда технических средств, с помощью которых вычисления Шуберта могли бы быть проведены на твердой основе в достаточно формализованной системе. Ниже мы по необходимости очень кратко опишем реаультаты современной алгебраической геометрии, которые служат фундаментом для ее «исчислительной» части. Но прежде всего процитируем начало второй главы шестого тома книги Б е й к е р а (1), в котором даны краткие и неформальные комментарии к исчислению Шуберта." «Это исчисление основано на том, что каждому условию, которому подчинен некоторый алгебраический объект, ставится в соответствие определенный алгебраический символ. Тогда наложение хотя бы одного из двух неаависимых условий удобно представлять суммой символов этих условий в любом порядке. Одновременное наложение двух условий представляется произведением символов этих условий в любом порядке.
Умножение подчиняется дистрибутивному закону; сложение и умножение коммутативны... ...Всегда подразумевается, что геометрические объекты, рассматриваемые в теории, определяются значениями некоторого числа параметров и что условия, накладываемые на эти объекты, алгебраичны. Класс объектов, описываемых данной системой из т параметров, имеет размерность (1геейош) т... Если на параметры наложено 1 (независимых) условий, то множество объектов класса, удовлетворяющих этим условиям, образует подкласс размер- 175 Выбирая 3 и у' достаточно большими, этому неравенству можно удовлетворить, сделав отношение —.= д А+" +7» сколь угодно блиэким к — Поэтому У'г |пЕ 6 (с) «~~— Сравнивая этот результат с предыдущим, мы получаем, что основная теорема вытекает из следующего утверждения: О сн ов н а я лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
