Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эта теорема является обоснованием классического приема «счета констант». В теории Гротендика этот результат получил далекое развитие в серии теорем о полунепрерывности различных когомологическнх иивариантов слоя. Вторая, более тонкая часть теории пересечений связана с конструкцией «кратностей»: если в ситуации Е7, У <= )У имеем для некоторой непризодвмой компоненты Х с=. с= УП У равенство Й$шХ = ЖшУ + 61шУ вЂ” йш»У, то многообразию Х можно приписать некоторое целое число — кратность, с которой он входит в пересечение Е7ПУ; Первую последовательную теорию кратностей пересечений в алгебраической геометрии развил В е й л ь в классической книге [$31; последующие работы его и его школы позволили восстановить на атой основе ббльшую часть результатов классической алгебраической геометрии и — в силу того, что теория годна для любого поля констант,— значительно их обобщить.
Самым эффектным результатом теории Вейля было, несомненно, доказательство им гипотезы Римана для дэета-функции кривых над конечными полями (см. В е й л ь 1'«4!). В этой теории кратностей существенно требование, чтобы У и У были в «достаточно общем положении», т. е. чтобы пересечение П П У имело должную размерность. В случае, когда это не так, воаможный выход подсказывается топологией: нужно «сдвинуть» многообразия Ю', У так, чтобы они оказались уже в общем положении.
Естественно, не ограничиваясь подмногообраэиями, рассматривать циклы; тогда описание «допустимых сдвигов» формально означает выделение подгруппы циклов, эквивалентных нулю, а теория пересечений должна строиться уже для классов эквивалентности. В алгебраической геометрии есть несколько естественных вариантов введения такой эквивалентности; самый тонкий иэ известных способов — рациональная эквивалентность — является алгебраическим аналогом гомотопни (вместо 10, 11 следует брать проективную прямую). Во всех получающихся теориях пересечения алгебраическому многообразию Х ставится в соответствненекотороеградуированное кольцо А (Х): оно состоит нэ классов эквивалентности циклов (илн по крайней мере содержит такие классы); степень градунровки определяется кораэмерностью; 179 умножение индуцировано пересечением.
В случае рациональной эквивалентности А (Х) называется кольцом Чжоу; конструкция А (Х) содержится в записках семинара Ш евалле [10). Последний доклад Гротендика на этом семинаре содержит новую точку зрения на теорию пересечений, весьма характерную для всего круга его идей. Он дает аксиоматическое описание А (Х) как функтора на категории алгебраических многообразий. Система аксиом Гротендика не определяет А (Х) однозначно, но содержит все свойства, достаточные для формального построения, например, теории классов Чженя алгебраических расслоений и, вероятно, для проведения большей части вычислений «исчислительной геометрии».
Конструкции Вайля, а также С е р р а [11), давшего чрезвычайно удачный и поддающийся далекому обобщению когомологпческпй метод введения кратностей пересечения, представляются п этом свете как теоремы существования для некоторых функторов типа А (Х). Другие примеры таких функторов доставляют кольца «когомологий Ходжа» ®Н"(Х, 1«'), где 1«« — пучок дифферен- У.« циалоп на Х или — в классическом случае — кольца когомологий(скажем, сингулярных) в обычной хаусдорфовой топологии Х, или, наконец, накрывающие когомологии Гротендика и М.
Артина. Таким образом, «исчислительные» методы в современной алгебраической геометрии получают обоснование, превращаясь в алгебраическую теорию колец А (Х). Практические вычисления Шуберта и многих других классиков относятся к случаю разнообразных специальных многообразий Х: грассманианов многообразий флагов, касательных расслоений и т. д. Часть результатов в модернизированной форме изложена в статье Х о р р о к с а [8), см. также библиографию.
Теория классов Чженя в современных вариантах этих вычислений играет фундаментальную роль; объяснение атому состоит з том, что для расслоений с проектнвным слоем У -~ Х (или со слоем— многообразяемфлагов) кольцо А (У) вычисляется в терминах А(Х) и классов Чжепя этого расслоения [10!. Методы теории когомологий когерентных пучков проникли в теорию пересечений сначала с идеей Серра вычислять кратности пересечения с помощью функторов Тогб обобщение этой конструкции, с одной стороны, и исследований Хир- 130 цебруха, с другой, привели Гротендика к его «теореме Римана-Ро ха» [2), лишь немногие следствия из которой еще реально попользовались в литературе и которая представляет собой сейчас один из самых мощных общих результатов «исчислительной геометрии».
Л ИТЕРАТ УРА [1) В а Ь в г Н. Р., Ргшо(р1«з о( Сэовш«гу, гоЬ 6, СзшЬ«146э, 1933. [2) В о р о л ь А., С з р р Ж. П., Теорема Рвмзпз — Рота, Мзтематзпз (сб. порез.) 5, И 5 (И61), 17 — 54. [3) СЬ ом %. Ь., чаи 4 ог «Г а от 4 оп В. 1., Епгз)йеЬ- ш1««Ь»п Соошв«пе 1Х: ОЬог гвЗ«огйпо«о Рогш«п опй а)З«Ъ«а(воЬв ЗУз«ошо чов з)З«Ь«з(««Ь«в Мапп(ЗЫ«(ЗЬв1«оп 113, »4 5 (1937), 692 — 704. [4) Д ь од олив Ж., Алгебраическая гоометрпп, М«томзтака (об. перев.) Э, И 1 (1965), 54-126.
[5) С г о «Ь о и 4 1 о о Ь А., Е14шегш йв )з ЗйошоЫ« а)айЬпчпв гв4164» зч«о )а ооЫаЬ. йо Ю. В1ечйаппй, РэЫ, Ма«Ь. 1НЕЗ, 4, 8, 11. [6) С г о «Ь оп 41«сЬ А., Без гсЬошаз йо ННЪег«» Иш)й«иэ ВошЬ«Ы, 1960/61, М 221. [7) Н 1 г г о Ь г и оЬ Р., Торо1ой(оз1 Мв«Ьойз 1п а)ЗеЬ«аш Соошз«гу, Зрг(пйог Уог)айд 1966. [8! Н о г г о с Ь з С., Оп ФЬ« го)айова о1 3-ЙшеЫопз «о З«ЬпЬ«г« чзг(вмоз, Ргоо. 7 апйоп Ма«Ь.
Зоо. 26 (И57), 265 — 280. [9! М и ш1 о г 4 В., Ьео«эг«е оп опгчоз оп ап «16эЬ«а(о зш (асо, Ргшое«оп, 1966 (русоппй перевод: Ловавп о прзвмх пз алгобрапчеокой позортвоотп, «Мар» 1968). 10) Иш(па)гэ Аппо«от йо Йав; Рагзв. 1958. 11) С о р р Ж,»Лопзльвпполг«бра и прзтпоотк перо«очеппй, Маток«тэка (об. пор«в.) 7, М 5 (1963), 3 — 93. [12! Х оды В.,Ппдо Д.,М«тодмзлг«брзпческойгоометрпп, т. 2, ИЛ, 1954; т. 3, ИЛ, 1955. [131 «««11 А., роппйзмопз о1 з)йэЬшш Зэошеьгу, Изм Уо«Ь, 1946. [14) % в 1 1 А., Уапй«йз зЬ«Наш«в вг соэгЬ«з э)64ЬпЧэ«з, Рзпз, Но«пап, 1948.
[15! У оп й от % а ог 4 оп В. 1., Торо)ойи«Ь« В«З«5пйопЗ йоз Кз)ЬЯз йог аЬп9йопйо Соошо«йо, Ма«Ь. Апп. 162 (1930), 337 — 362. К ШЕСТНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА О. А. Олейник Вопрос об изучении взаимного расположения ветвей действительной алгебраической кривой на плоскости, а также вопрос о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве, поставленные Д. Гильбертом в его шестнадцатой проблеме, открыли новый раадел математики — топологию действительных алгебраических многообразий. Отправным пунктом для этих вопросов послужила знаменитая теорема А. Х а р н а к а [1) о максимальном числе компонент действительной плоской алгебраической кривой.
Изучению алгебраических кривых и поверхностей было посвящено несколько работ самого Д. Г и л ь б е р т а [2), [3! и его учеников. Позже замечательные результаты по топологии алгебраических кривых были получены в работах И. Г. П е т р о в с к о г о [4), [5); вопросы топологии действительных алгебраических поверхностей рассматривались в работах И.Г.Петровского и О.А. Олейник [6), Дж. Мнлнора [7), Р. Тома[8[и другихматематиков. Все этн работы, по-видимому, можно рассматривать как начало большой теории — топологии действительных алгебраических многообразий, которая будет создана в будущем и которая должна явиться полным решением шестнадцатой проблемы Гильберта >).
Проблема Гильберта о топологии алгебраических многообразий выдвигает большое множество вопросов, часто просто формулируемых, но решение которых вызывает >) Говоря о шестнадпатой проблеме Гнльберта, мы подразумеваем всюду з статье ту ее часть, которая относится н топологнн алгебранчвслнх кривых н поверхностей. 182 большие трудности. Примеры таких простых конкретных вопросов были указаны Гильбертом прн формулировке шестнадцатой проблемы: каково взаимное расположение 11 овалов алгебраической кривой шестого порядка, каково максимальное число компонент (аамкнутых кусков) алгебраической поверхности четвертого порядка. Решение таких частных вопросов требует привлечения глубоких фактов топологии, алгебры, анализа и часто приводит к открытию общих закономерностей для алгебраических кривых или поверхностей (см., например, [4[, [6[).
Замечу, что вопрос о максимальном числе кусков алгебраической поверхности четвертого порядка до сих пор еще полностью не решен. Многие результаты по топологии алгебраических кривых и поверхностей получены с привлечением тео- рииМ. М о р с а [9[о критических точках функций, заданных на многообразии. Впервые это было сделано в работе И. Г. П е т р о в с к о г о [4[. До сих пор имеется лишь небольшое число работ, посвященных топологии действительных алгебраических многообразий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
