Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 42
Текст из файла (страница 42)
См. Д. Г и л ъ б е р т, Осип»алии геометрии, Гост»хи»дат, 19«8, $87 188.— Прим. рве. упорядочении), которое обладает следующими свойствами: а) Р аамкнуто относительно сложения и умножеб) Для всякого элемента а ~= й, а+ О, либо а ~ Р, либо — а б= Р. в) О тг= Р. Естественно писать а ) Ь, если а — Ь Е- :Р. Доказывается, что у всякого вещественно замкнутого поля существует единственное упорядочение (Р состоит нз квадратов ненулевых элементов поля) и что всякое формалько вещественное поле й вкладывается в вещественно замкнутое поле К, определенное одиоаначно с точностью до изоморфизма.
(Более точно: любой автоморфизм упорядоченного поля й с К продолжается до автоморфиэма К.) Вещественно замкнутые поля обладают очень многими свойствами обычного поля вещественных чисел, которые доказываются несложным видоизменением классических рассуждений. Вот наиболее существенные иэ них: 1. «Основная теорема алгебры»: Если поле й вещественно замкнуто, то у' — 1 ф й и й (Г' — 1) алгебраически замкнуто.
2. Обращение предыдущей теоремы: Если у — 1 ~Е й и й (у' — 1) алгебраически замкнуто, то й вещественно замкнуто. 3. Теорема Штурма в классической формулировке. Первый результат этой изящной теории в направлении проблемы Гильберта состоит в доказательстве следующей теоремы: Суммы квадратов в (бормальна вещественном пале й — вта в точности те авененты, которые при любам упорядочении й остаются положительными. (Если поле й не является формально вещественным и характеристика й отлична от 2,то любой его элемент есть сумма квадратов а = ( — „, ) +( — 1)( —.1, н — 1 является суммои квадратов, ибо существует 197 тождество ~, 'а,.
О 1=! где не все а, нулевые.) Вот набросок основного момента в доказательстве: ссяи элемент а повохситвяен при всех упорядочениях Й, то он есть сумма квадрагпов. Пусть ато не так. В алгебраическом замыкании Й рассмотрим максимальное подполе К, в котором а не есть сумма квадратов (оно существует по лемме Цорна). Легко видеть, что оно формально вещественное.
В нем — а является квадратом: иначе в К ()/ — а) должно существовать представление вида а = 'у) (х, + у; (~ — а)', х„у, б= К, откуда легко следует, что Последнее утверждение относится к совместимости упорядочения со специализациями и устанавливается нндукцней по числу переменных и. Основную роль в этой индукции играет теорема Штурма для формально вещественных полей.
Мы опускаем дальнейшие детали доказательства, отсылая читателя к оригинальным работам Артина и Шрейвра илн к главе 6 книги Джекобсона [3). ЛИТЕРАТУРА [1[ А г 11 э Е., 8 с Ь г в 1 е г О., А18еЬга(всЬе Косе(гой((ов геейег Когрег, НашЬ. АЬЬ. 5 (1926), 85 — 99. [2) А г Ф1 е Е., ОЬег й(е Хег[еновн йе1(э((ег Рза)гГ[оаев ш Осайгаге, НашЬ. АЬЬ. 5 (1927), 100 — 115, [3[ 1 а с о Ьво в М., 1ес(огее 1в аЬвггас$ а1кеЬш, чо1. 111, ТЬеогу о1 йе1йв авй Оа1о(в (Ьвогу, Ргшсегов, Х. 1., 1964.
является суммой квадратов уже в К, — противоречие. Значит, а = — Ь', Ь б= К, так что а С О в любом упо= рядочении К, что невозможно, так как любое упорядочение Й продолжается до некоторого упорядочения К. Теорема доказана. Для вывода гипотезы Гильберта из этого результата рассмотрим некоторое подполе Й С Л поля вещественных чисел; предположим, что Й допускает единственное упорядочение (примеры. 'Й О, Й = В, Й вЂ” поле всех вещественных алгебраических чисел). Пусть / бс Й (х„..., х„); назовем / опредазенной функцией, если 1 (а„..., а„) ~ О при любых а, 6= Й, для которых у существует. Теорема (Артин). Если/опредсвена, то ~ = ~~ уг, Ф-1 у; бс Й (х„..., х„).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Без труда проверяется, что поле Й (х„..., х„) формально вещественно. Из вышеизложенного ясно, что для доказательства теоремы Артина следует проверить следующий факт: ссяи ~ опредсвена, то > О при всех упорядочениях иола Й (х, ..., х„) илн, иначе, что если у ~- О прн каком-нибудь упорядочении поля Й (х,, ..., х„), то 1 принимает отрицательные значения [в смысле единственной структуры порядка в Й). 198 К ВОСЕМНАДЦАТОЯ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА В. Н. Делона Почти всякое вещество в твердой своей фазе (кроме животных и растительных тканей, стекол н т. д.) кристаллично, т. е. либо является монокристаллом (например, один кристалл горного хрусталя, одна песчинка сахарного песка и т. д.), либо имеет микрокристаллическую структуру, т.
е. как бы склеено из мельчайших монокристалликов (кусок сахара, сталь кожа ит. д.). Всякий монокристалл получается выращиванием из малой затравки. Если его мысленно вырастить до бесконечности, получим моно- кристаллическую, нли просто кристаллическую, структуру. Сейчас определены структуры около 8000 кристаллических веществ, т. е. исследовано, как именно, в геометры» ческом смысле, каждое из них сложено из атомов.
Оказывается, что всякая кристаллическая структура «правильна», т. е. группа 6 всех тех движений пространства как жесткого целого, которые совмещают эту структуру саму с собой, дискретна и имеет конечную фундаментальную область. Группа 6 движений называется дискретной, если существуют такая точка А и такое положительное число г, что всякая точка, отличная от А и эквивалентная точке А относительно 6 (т. е. такая, в которую переходит точка А движением из 6), лежит от А не ближе, чем на расстоянии г. Фундаментальной областью групш« 6 называется такое множество точек пространства, что: 1) все точки его не эквивалентны друг другу относительно 6 и 2) любая точка пространства эквивалентна некоторой точке этой области относительно 6. Всякая дискретная группа движений я-мерного евклидова пространства с конечной фундаментальной областью называется (и-мерной) пространственной кристаллографической группой, Две такие группы называются (крпсталлографически) одинаковыми, если для них можно так подобрать декартовы реперы одинаковых ориентаций, что все их движения в этих реперах описываются одними и теми же линейными выражениями.
Если можно найти такие реперы только разной ориентации, то группы нааываются энантиоморфными. Выло установлено, что на плоскости имеется 17 в этом смысле различных пространственных кристаллографических групп, а в пространстве — 230, иэ которых 11 имеют эиантиоморфные парные им группы. Таким образом, если не различать энантиоморфных групп, то в пространстве существует 219 разных групп. В силу одной, совсем не тривиальной, теоремы Бибербаха все кристаллографически разные пространственные группы, если они ие энантиоморфны, абстрактно не изоморфны. Вывод 230 трехмерных пространственных кристаллографических групп был независимо друг от друга и одновременно сделан в 1890 — 1891 гг.
Е. С. Федоровым и Шенфлисом. Если к условиям дискретности н конечности фундаментальной области прибавить еще третье, а именно требование, чтобы в группе 6 существовала п-мерная (если 6 и-мерна) подгруппа Т параллельных переносов (как зто делал Федоров при своем выводе), то доказательство конечности числа таких групп при заданном я непосредственно вытекает из одного совсем простого соображения Ф р о б ен и у с а (1). Тогда остается кропотливым только сам вывод, потому что групп 6 много. Существование подгруппы Т для я = 2 устанавливается тривиально. Но для и = 3 доказательство (Шбнфлис (2), Цассенгауэ (3)) уже трудное. В 1900 г., когда Гильберт предлагал свои задачи, не было известно доказательство существования подгруппы Т для в) 3.
Это и сделал Б и б е р б а х (4), (б), [б), обобщив доказательство Шбнфлиса, и тем самым решил первую иэ задач, сформулированных Гильбертом в тексте проблемы. Очень жалко, что даже для и = 3 доказательство существования подгруппы Т трудно. Было бы весьма желательно найти, хотя бы для и = 3, простое доказательство, так как эта теорема, несомненно, является основной теоремой всей геометрической кристаллографии. Все дальнейшие теоремы геометрической кристаллографии уже совсем просто следуют из нее. Однако пока такого простого доказательства не найдено, Вычислительный алгорифм для разыскания всех и-мерных кристаллографических групп дал в 1947 г. Ц а со е н г а у з [31. Но ок предполагает, что уже известны все незквнвалентные конечные группы и-мерных целочисленных матриц.
Для и = 2 и и = 3 все такие группы были давно известны, но удобного алгорифма для их нахождения для и ) 3 пока нет. Было бы очень желательно найти такой алгорнфм. Тот же Ц а с с е н г а у з [3] дал абстрактную характеристику и-мерных пространственных кристаллографических групп. А именно, группа изоморфна такой группе тогда и только тогда, когда она есть такое конечное рас« шнрение свободной абелевой группы с и образующими, при котором единичный автоморфизм нормального делителя соответствует только единичному элементу фактор- группы. На второй вопрос восемнадцатой проблемы Гильберта дал отрицательный 'ответ К. Р е й н г а р д т 171: оказывается, существуют такие многогранники, которые не являются фундаментальными областями групп движений и с помощью которых, соответствующим образом укладывая конгрузнтные друг другу их зкземпляры, можно занолннть пространство.
Каковы те выпуклые многогранники, которые могут быть фундаментальными областями групп движений даже для трехмерного евклидова пространства, до последнего времени не было известно. В 1961 г. Б. Д е л о н е [81 доказал, что если еще требовать, чтобы они давали так называемое нормальное разбиение, т. е. были бы смежными целыми [в — 2)-мерными гранями, то для любого и существует только конечное число топологически равных таких разбиений.
Если взять группу С и повторить ею некоторую точку А, то получится правильная система точек [Ао). Области Дирнхле ее точек образуют некоторое правильное разбиение Дирихле, связанное с группой О. Оно нормально. Б. Д ел о н е и Н. С а н д а к о в а [91 дали конечный алгорнфм, позволяющий найти все такие разбиения для данного и.
Если не требовать нормальности разбиения на выпуклые фундаментальные области группы(7, то, как зто показал нв примере 3 а и о р з а е в [101, таких топологически разных разбиений может быть бесконечно много. Однако нз метода Делоне все же следует, что сами стереоздры (многогранники) зтнх разбиений для фнксн- рованного и могут быть (в отношении топологии сетки их ребер) лишь конечного числа топологически разных типов. Топологкчески разных разбиений Дирихле для центров атомов мококристаллнческой структуры, у которой на основной параллелепипед повторяемости приходится )в атомов, ие больше, чем некоторое число, зависящее только от Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
