Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Некоторые результаты атой теории нашли применения при решении аадач, относящихся к другим областям математики (см., например, [10)). Ниже мы приводим обзор работ, относящихся к топологии действительных алгебраических многообразий, т. е. алгебраических кривых и поверхностей беа действительных особых точек. Каждая из них является 'определенным вкладом в решение той общей проблемы изучения топологии действительных алгебраических кривых и поверхностей, которая поставлена Гильбертом в его шестнадцатой проблеме. Возможно, что некоторые нз работ по топологии действительных алгебраических кривых и поверхностей без особых точек остались неизвестными автору и поэтому не нашли отражения в этом обзоре.
В 1876 г. А, Х а р н а к [1[ показал, что число замкнутых ветвей алгебраической кривой порядка 1 и на проективной плоскости не превосходит —.(и — 1) х 'Ъ х(и — 2) +1,ипостроилалгебраические кривые с этны максимальным числом компонент. (Алгебраической кривой порядка и на действительной нроектнвной плоскости (х, у, г) называется множество точек (х, у, г) Ртой плоскости, для которых г"Р ~ —, ~ ) =О,гдег (х,у) — многочлен 183 степени и относительно переменных х, у с действительными коэффициентами.) Алгебраическую кривую порядка и, состоящую из максимального числа компонент, будем называть М-кривой; А.
Харнак показал также, что М-кривая не имеет действительных особых точек. Это означает, что для М-кривой система г' = О, г„= О, Р„= 0 не имеет действительных конечных или бесконечных решений. Будем рассматривать проективную плоскость как сферу в трехмерном пространстве, у которой отождествлены диаметрально противоположные точки. Алгебраическая М-кривая состоит из овалов (четных компонент) и нечетных компонент. Овалом называется такая компонента алгебраической кривой на проективной плоскости, которой на сфере соответствуют две замкнутые кривые.
Если компоненте алгебраической кривой соответствует на сфере только одна замкнутая кривая, то такая компонента называется нечетной нли непарным куском. В шестнадцатой проблеме Гильберта ставится, в частности, задача об исследованнивзаимногорасположення компонент алгебраической М-кривой порядка и на проективной плоскости. При этом, естественно, предполагается п~ 6, так как для алгебраических М=кривых не выше пятого порядка эта задача решается без труда.
Очевидно, что М-кривая четвертого порядка состоит из четырех овалов, расположенных вне друг друга, а М-кривая пятого порядка состоит из одного непарного куска и шести овалов, расположенных вне друг друга. В1891г. Д. Гильбертом в работе 121 была высказана гипотеза, которую он затем повторил на Международном математическом конгрессе в 1900 г. при формулировке своей шестнадцатой проблемы, что алгебраическая М-кривая шестого порядка не может состоять из И овалов, расположенных вне друг друга.
В первом и втором десятилетии нашего века было несколько попыток доказать это предложение (см. [И1 — И81), идо последнего времени считалось, что первое доказательство было дано швейцарским математиком К. Р о о н о м в работе И61, однако это доказательство, как указано в работе ИЭ1, неполное. И. Г. Петровскому принадлежит глубокое исследование топологии алгебраических кривых на проективной плоскости (работы [41, 151). Из его результатов, как весьма частный случай, следует утверждение Гильберта о М-'кривой И4 шестого порядка, о котором мы говорили выше. И.
Г. Петровским установлено, что алгебраическая кривая четного порядка и не может состоять более чем из — (Зп' — бп) + 8 -1- 1 овалов, расположенных вне друг друга. Таким образом, гипотеза Гнльберта о том, что не существует кривой шестого порядка, состоящей из 11 овалов, расположенных вне друг друга, была впервые доказана в работе И. Г.
Петровского 141. А. Х а р н а к И1 построил алгебраическую кривую шестого порядка, имеющую один овал, расположенный внутри некоторого другого овала а, и девять овалов вне друг друга и вне овала а. Д. Г и л ь б е р т в работе [21 построил алгебраическую кривую шестого порядка, содержащую девять овалов внутри некоторого овала а и один овал вне а. Обобщения методов Харнака и Гильб арта для построения М-крнвых указаны в. работе 1201. Вопрос о взаимном расположении кривых шестого порядка, не имеющих действительных особых точек, изучался также в работе Д.
А. Г у д к о в а И91. Как сообщил нам автор, в этой работе имеются неверные утверждения. Их исправление и подробные доказательства результатов о кривых шестого порядка будут опубликованы в «Ученых записках Горьковского- государственного университета», вьш. 89. В частности, там приводится построение М-кривой шестого порядка, состоящей из пяти овалов, расположенныхвнутрн одного овала а, ипяти овалов внеаивнедруг друга. Будем называть овал положительным (отрицательным), если для точек некоторой окрестности этого овала, лежащих внутри него, г' (х, у) ) 0 (г" (х, у) ( 0). Теорему И.
Г. П от р о в с к о г о [41, [51 относительно алгебраических кривых четного порядка п можно сформулировать следующим образом: пусть р означает число положительных овалов и ш — число отрицательных овалов алгебраической кривой четного порядка п.
Тогда ~р — т~ ч" — (Зп~ — бп) +1 $ н существуют кривые, для которых эта граница достигается. Такие алгебраические кривые построены в [51 методом, предложенным А. Харнаком для построения М-кривых. Из этой теоремы И. Г. Петровского следует целый ряд пред- кривой порядка п не превосходит 4 (п — 2)' + 1, если п 1 четное, н — (п — 1) (и — 3) + 1, если п нечетное, н построил пространственные алгебраические кривые с этим максимальнымчислом компонент. Вопрос о взаимном расположении ка алгебраической поверхности компонент действительной алгебраическойпространственной кривой, заданной пересечением двух алгебраических поверхностей, рассмотрен О. А.
Олейник в работе [21[. Обозначим через Г алгебраическую поверхность э действительном проективном пространстве (х, у, з, 1), определяемую уравнением 1эр( — *,, — ",,;) =О, где Р (х, у, г) — многочлен степени р с действительными коэффициентами, и через у обозначим поверхность, определяемую уравнением ( и ) О где 1' (х, у, з) — многочлен степени д с действительными коэффициентами.
Предположим, что Г и у не имеют действительных особых точек, а также что действительная алгебраическая пространственная кривая К, определенная пересечением Г и у, не имеет действительных особых точек, т. е. что ранг матрицы хт ю раэен2во всех точках К. Обозначим через М замыкание в проективном пространстве множества конечных точек на поверхности Г, для которых выполняется неравенство 7' (х, у з) ~ О, при В работе [21) доказано, что если д четное, то ~К(МИ-;, р'+ „РЧ +, Р у Р Ру+, Р+[,' П (5) Для Е (Г) имеет место оценка (1). Прк ш = 3 кз неравенства (1) получаем ~я~г>~<~р — с +.ср — +'=.~+~.
))(ы ужэ говорили, что зти оценки не могут быть улучшены. В случ".е р = 2 соотношения (5) и (6) имеют вид К(М)~( 4 д — я+1+ 3, если д четное, (7) 3 ~л(Г) ~ К(М) [ ~ ~ у 2 Д+ 4 + 2, если Я нечетное. 3 э 1 3 [Е(Г) — а[ (8) При р = 2 величина Е (Г) может равняться нулю или двум. В работе [21[ доказано,что оценки (7), (8) также являются точными. В случае, когда à — однополоствый гиперболоид, построены пространственные алгебраические кривые К, для которых (7) и (8) выполнены со знаком равенства. В случае, когда à — алгебраическая поверхность произвольного порядка р, построены алгебраические кривые К, для которых Е(М)=-'„И +С(Р), (9) где С (р) зависит только от р.
Заметим, что в оценках (5) н (6) коэффициент при старшей степени у такой же, как и в равенстве (9). Из оценок (5) и (6), как и в случае плоских кривых, можно получить ряд геометрических следствий для пространственных алгебраических кривых. Одним из наиболее интересных вопросов, поставленных Гилъбертом в его шестнадцатой проблеме, является запрос о числе компонент алгебраической поверхности в 139 Если д — нечетное число и 7, Г и 1 = О пересекаются в конечном числе точек, равном о, то [К(М)!~(3Р +ЗРЯ + 4РЯ 4Р лру+ 3, 1, 3, 3 13 [Е(Г) — а~ +МР+ 3 Легко видеть, что при р = 1 и любом у, т.
е. в случае плоских алгебраических кривых К, соотношения (5) и (6) совпадают с оценками. полученными И. Г. П е т р о вс к и м в работах [4[, [5). Эти оценки имеют вид 3д — Ед ~,Е(М) [~~ — + 1 при д четном, зч* — 3 ! Я(МН~ 3 при д нечетном. нием изменения топологии множества уровня при переходе функции черве критические значения, а также формулы Эйлера — Якоби [23). Теория М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
