Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 35
Текст из файла (страница 35)
[8) ЯЬ[ш ига О., Тап1уа ша г., Сошр1ех ши)С[в[[сапов е[ аЬе11ап таненсз апб 1Сз аррИсапопз Со пишЪег СЬеогу, РиЫ. МасЬ. Яос. Тараи 6 (1961). [9) Ш а ф а р е в в ч И. Р., Новое доказательство теоремы Кропекера — Вебера, Тр. Матем. пп-та АН СССР вм. В. А. Стеклова, т. 38, Изд-во АН СССР, 1951, 382-387. [10] Ш а ф а р е в и ч И. Р., ОбпСвй заков взавмвостп, Матам. сб. 26 (68), )и 1 (1950), 113 — 146. К ТРИНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА А. Г.
Витумлим Тринадцатая проблема связана с одной из наиболее древних задач математики (разрешимость алгебраических уравнений), и одновременно она удачно переплетается с современной проблематикой. В связи с этой проблемой получен ряд крупных реаультатов в алгебре и анализе.
Высказанная Д. Гнльбертом конкретная гипотеза, как показали А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, оказалась ошибочной. Однако алгебраическое ядро этой задачи по существу осталось неаатронутым. С помощью преобразования Чнрнгаузена с) общее алгебраическое уравнение и-й степени приводится к виду 1" + а 1 л + .... + а„с 1 + 1 = О. 'В частности, уравнение седьмой степени приобретает внд 7' + х)з + р[' + г7" + 1 = О. (1) Дальнейшие попытки алгебраистов привести это уравкекие к более простому виду по настоящее время остаются безуспешными. В своих «Математических проблемах» Д. Г и л ь б е р т [1) по-новому подошел к этой задаче, сформулировав ее под № 13 как проблему о невозможности решения общего уравнения седьмой степени при помощи функций только двух переменных.
Для доказательства этого предложения Д. Гильберт считал нужным показать, что функция 7 = 7 (х, р, г), являю1цаяся решением уравнения (1), не представима суперпозицней непрерывных функций двух переменных. г) АсСа Егиб[Сегиш, 1683.— )урал. рею. ЛИТЕРАТУРА [(] А г $|п Е., Та Фе Х., С1авз Йе]6 йеету, Хват«тате о( АЗ- тапсв4 Ятпсу, Ртшсвтоп, 1961. [2] В о г е 1 А., С Ь о и | а Я.
ап«] ойегз, Яеш]пат оп Сошр1ех Мп1ир1|саноп, Ъвстзтв Ко«аз ш Майешапсз 21(1966), ЗргшЗег Чег]вЗ (русский керезод: Математвка, сб. перез. 12, М 1 (1968), 55 — 96). [3] Н в з в е Н., Вет|сЬФ ЗЬег пепегв (Хп(егвпсЬппйепппб РгоЪ|ешв агав Зет ТЬеопв Звг а]ЗеЪга]всЬеп2вЫйогрег, Твй 1 — 2, ХапрыЗ вЂ” Вег|й, 1930. [4] Н е с Ь е Е., ОЪег вИв КопвтвйИеп гв1айв АЪе|всЬвг ЕвЫЬогрвг ЗетсЬ МойпКшйс11опвп топ х«те| ЧатМЪ|еп, Май. Апп. 74 (1913, 465 — 510.
5] Ъ и Ь 1 п Х., Т а $ е Х., Рогша1 сошэ]вх шп]йрйсаг]оп ]п |оса1 ЙеЫз, Аш1. Май. зег. 2, 81, М 2 (1963), 380 — 387 (Русский перевод: Математика, сб. перев. 12, М 1 (1968), 48 — 54). [6] 3 ет г е Х. Р., Сотрз 1осаох, Аса Зс!. Хпб., по. 1296, Раг]в, 1962. [7] Я в г г в Х. Р., СоЬопю|оЗ|е ба]о]в|впав, Гас«эгв Котез |п Майвшансз 5 (1965), ЯрппЗег Чег|аЗ (русский перевод: Котомопотии Галуа, «Мир«, 1968). [8] Я Ь т ш и г а О., Т а и 1 у а ш в У., Сошр1вх шп]мэЬсаИоп о( аЪеКап чамепсз апй 1(в арРИсайопв $о ппвйег йеоту, РиЫ. Май. Зос. Харви 6(1961).
[9] Ш а ф а р в в и ч И. Р., Новое доказательство теоремы Кропекера — Вебера, Тр. Матем. ип-та АН СССР им. В. А. Стекзова, т. 38, Изд-зо АН СССР, 1951, 382-387. [10] Ш а 4) а р е в и ч И. Р., Обп(вй закон ввапмпости, Матем. сб. 26 (68), М 1 (1950), 113 — 146. К ТРИНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА А. Г. Вив«у«вкпм Тринадцатая проблема связака с одной нэ наиболее древних задач математики (разрешимость алгебраических уравнений), и одновременно она удачно переплетается с современной проблематикой..
В связи с этой проблемой получен ряд крупных результатов в алгебре н анализе. Высказанная Д. Гильбертом конкретная гипотеза, как показали А. Н. Колмогоров н В. И. Арнольд, оказалась ошибочной, Однако алгебраическое ядро этой задачи по существу осталось незатронутым. С помощью преобрааования Чирнгауаена ') общее алгебраическое уравнение и-й степени приводится к виду 1" +аат «+ +а тт+1 О В частности, уравнение седьмой степени приобретает вид Хт+ х)в+ уХв+ гХ+ 1 = О. (1) Дальнейшие попытки алгебраистов привести это уравнение к более простому виду по настоящее время остаются безуспешными.
В своих «Математических проблемахэ Д. Г и л ь б е р т (1] по-новому подошел к атой задаче, сформулировав ее под Ж 13 как проблему о невозможности решения общего уравнения седьмой степени при помощи функций только двух переменных. Для доказательства этого предложения Д. Гильберт считал нужным похавать, что функция Х = Х (х, у, г), являющаяся решением уравнения (1), не представнма суперпозицией непрерывных функций двух переменных. т) Ас|а Етпб[тотпш, ЫЗЗ.— ХХрим. ]мд. Естественной целью является нли с помощью алгебраических подстановок свести решение уравнения (1) к решению алгебраических уравнений с двумя параметрами, т.
е. доказать, что функция 7'(х, у, з) является суперпозицией алгебраических функций двух переменных, или же доказать, что решение уравнения (1) не является суперпозицией алгебраических функций двух переменных. Гильберт ожидал, что уравнение седьмой степени не разрешимо даже в непрерывных функциях двух переменных. Работы А. Н. К о л и о г о р о в а [6], [8) и В; И. А рн о л ь д а [7) опровергают сформулированную гипотезу Д.
Гнльберта, Однако рассматриваемая проблема по существу остается открытой, так как остается возможность доказывать неразрешимость уравнения седьмой степени в каком-либо другом классе функций двух переменных, содержащем все алгебраические функции двух переменных. Сформулируем теперь основные результаты, полученные в связи с тринадцатой проблемой Д.
Гильберта. 1. СУПЕРПОЗИЦИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Доказательство существования аналитических функций л переменных (и ~ 2), не представимых в виде суперпоэиции аналитических функций меньшего числа переменных, может быть получено различными способами. Формулируя тринадцатую проблему, Д. Г и л ь б е р т [1) прибавляет, что он «располагает строгим доказательством того, что существует аналити"юская функция трех переменных, которая не может быть получена конечной суперпозицией функций только двух аргументов».
Не указывая точно, о каких функциях двух аргументов идет речь, Д. Гильберт здесьимел в видуаналитические функции двух переменных. Более сильные результаты в атом направлении получил в 1920 г. А. О с т р о в с к и й [2), который, в частности, доказал, что аналитическая функция двух аргументов Ь(х, у) =,~~ — не является конечной суперпозицией бесконечно дифференцнруемых функций одного переменного и алгебраических функций любого числа переменных. 11. ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ Алгебраические уравнения до четвертой степени включительно разрешимы в радикалах, т. е.
корни этих уравнений как функции коэффициентов представляются в виде суперпозиции арифметических операций и функций одного в переменного вида у'» (в = 2, 3). Общее уравнение пятой степени в радикалах неразрешимо. Но поскольку общее уравнение пятой степени алгебраическими подстановками приводится к виду х' + гх + 1 = О, содержащему один параметр 1, то мы можем сказать, что корень общего уравнения пятой степени как функция коэффициентов также представляется в виде суперпозиции арифметических операций и алгебраических функций одного переменного.
Проблема резольвент в терминах суперпозиций может быть сформулирована следующим образом: указать для любого я такое наименьшее число х, что корень общего уравнения п-й степени как функция коэффициентов представляется в виде суперпозиции алгебраических функций я переменных. В работе [3) Д. Гильберт высказал предположенив, что для и, равных 6, 7, 8, число Ь соответственно равно 2, 3, 4. Тем более неожиданным оказался результат Д.
Г и л ь б е р т а [3) (1926 г.), полученный для уравнения девятой степени: корень общего уравнения девятой степени представляется в виде суперпозиции алгебраических функций четырех переменных. А. В и м а н [12], обобщая результат Д. Гильберта, доказал, что при всяком и,'> 9 имеет место неравенство х «~ и — 5. Как заметил Н. Г. Ч е б о та р йв [13), тем же методом можно доказать, что для к ~ 21 я < и — 6, а для я ~121 й ч,' и —.7. Проблеме резольвент был посвящен также цикл работ Н. Г. Ч е б о т а р б в а И4).
Однако доказательство основного результата оказалось ошибочным (см. [15]). Ш. СУПЕРПОЗИЦИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ В работе [4] было доказано, п.о в классе всех р раз непрерывно дифференцируемых функций я переменных существуют такие, которые не могут быть представлены в виде конечной суперпозиция функций, для которых отноШение числа аргументов к числу имеющихся у них дифференциалов строго меньше, чем —. Эта теорема, по существу, покаэывает, что характеристикой сложности р раэ дифференцируемых функций и в переменных может служить отношение —. ПервоначальР' ное докаэательство этой теоремы испольэовало теорию многомерных вариаций множеств (см. [16)). А. Н.
К о лм о г о р о в [5) покаэал, что тот же реэультат можно получить, основываясь лишь на оценках числа элементов е сетей функциональных компактов. Эти работы имеют ивтересные продолжения в работах различных авторов по оценкам сложности алгорифмов, 1Ч. СУПЕРПОЗИЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Крайне неожиданной была относящаяся к 1956 г. работа А.
Н. К о л м о г о р о в а [6), в которой докаэывалось, что всякая непрерывная функция я переменных представима в видв суперпоэицни непрерывных функций трехи переменных. В 1957 г. в студенческой работе В. И. А р н о л ь д у [7) удалось сниаить число переменных в этой теореме до двух. Завершает этот цикл теорема А. Н; К о л м о г о р о в а [8) о представлении непрерывных функций и переменных в виде эВ+1 ФВ Ф /(х,„х„..., х„) =,~~ <Р,Д а~,~(х;)~, (2) где все функции непрерывны, а внутренние функции а~„. (х;) заранее фиксированы, т. е. не эавнсят от раэлагаемой функции 7'. По теореме В. И. Арнольда решение уравнения седьмой степени представляется суперпоэицией непрерывных функций двух переменных.
Как уже упоминалось, это"г реаультат опровергает гипотезу Д. Гильберта. Следует отметить, однако, что участвующие в этом представлении функции заведомо не являются алгебраическими, поскольку онн даже недифференцяруемы В 1930 г. в свяэи с проблематикой рядов Фурье Н. К.
Б а р и [17) доказала, что всякая непрерывная функция одного переменного 7' (г) может быть представлена в виде У (1) = 71 (4Р1 (~)) + Уэ (~Рз (Г)) + Уз (~Рз(1)) где все функции (Л) и (у,) абсолютно непрерывны. 186 ИзтеоремыА. Н. Колмогорова и теоремы Н. К. Бари вытекает, что каждую непрерывную функцию л переменных можно представить в виде суперпоаиции абсолютно непрерывных функций одного переменного и операции сложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
