Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Результаты в этой области еще весьма отрывочны, но ряд точных и глубоких гипотез был высказан Берчем, Суипнертоном-Дайером и Тэйтом; их внутренняя согласованность и подтверждающий их проведенный на вычислительных машинах просчет большого числа частных случаев делают эти гипотезы весьма заманчивой целью исследований. Литература по этому вопросу — статьи [2), [3), [4). ЛИТЕРАТУРА П ) В о т е 1 А., Ат(1Ьшот)о ргорсгг(ов о1 а1деЬта[с атопра, Ртоо. 1»а МатЬ. Сопдгоаа, ЯтосЬЬо1ш, 1962 (руссккй кероаод: Математика сб. перса.
8, ХЭ 2 (1964), 3-17). [2) В 1 г с Ь В. Х., Соп)се»паз сопсог»шд сШрме еоттса, ТЬаогу о1 ппшЬсгз, Са)Иота)а, 1965, 106 — ИЗ. [3) В 1 г е Ь В. Х.- Я и 1 и и о г Ф о и - Х) у о г Н. Р., ХЧоФез оп о111рмс спттсз П, Х. 1. ге[по и. авдею. МагЬ. 218 (1965), 79 — 108. [4) С а в а о 1з Х.
тт. Я.т ШорЬаптшо счпа11опа тг11Ь аосс1а1 гс1етспсо то сШрмс сш тоат Х. Х опй. МаФЬ. Яос. 41, р. 2г Х4 162 (1966), 193 — 291 (русский перевод: Матоматвка, сб. корав. 12, Хч) 1 (1968), И4 — 160; 12, Хэ 2 (1968), 3 — 48). [5) Е 1 с Ь 1о г М., Опайтат[зсЬе рогшоп ппй огйодопа1а Отэрров, ВвгИ», 1952. [6[ К и с ч о г М., )Хашгс!1»пда»мазо 1пйойштог ЧпайгамасЬеп Ропвсп, Ма$Ь. Е. 77 (1961), 188 — 194.
[7 [ О и о Т., ТЬс Ташадатга ппшЬог о( а1доЬта1е Фот1, Апп. МатЬ. 78 (1965), 47 —.73. [8[ О и о Т., Оп 1Ьс го1аЫто 1Ьсоту о[ Тапшдака ппшЬога, Впй. Ашвк Ма1Ь. Яос. 70 (1964), 325 — 326. [9) 81е до1 С. 1., ()Ьсг й[а апа1у$1асЬс ТЬсоае йог оаайга11- асЬсп рогшоп 1, П, Ш, Апп. МаГЬ. 36 (1935), 527 — 606; 37 (1936), 230 — 263; 38 (1937), 212 — 291, Ие)'Я оде)'С. 1.,1'йс(шалее йгат)всЬо Рогша»1шйр а11опепйеопо.
1, П, Ма%. Атш. 124 (1951), 17 — 54, 366 — 387. [И) % о 11 А-т Ай4[оа апй а)доЬга(с Зтопра Ртшсстоп, 1961 (руссквй перевод: Математвка, сб. персе. 8, ХА 4 (1964), 3 — 74). [12[ "гг о[1 А., Япг )а Хогшо1о йс Я[ода1 йапз 1а 1Ь4ог)с йоа дгопроа с1ааащиса, Асса МатЬ. ИЗ (1965), 1 — 87. (13[ %~1 11 е., тьоомойог чпайшЙасьеп рогшсп ш ьс11ой[до» Когрсг», Х.
1. геше п, а»доя, Май, 176 (1937), 31 — 44, К ДВЕНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. И. Манин Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что максимальное абелево расширение 4о поля рациональных чисел О порождено всеми корнями из единицы (идейко прозрачное и элементарное доказательство принадлежит И. Р. Ш а ф а р е в и ч у [10)).
Из этого реаультата немедленно получается описание группы Галуа А 9 / 1/; она изоморфна Ц У„, где Х/р — группа р-адвческих едиртарсо ниц. Действительно, если Ь вЂ” примитивный корень из 1 степени ш, то группа Галуа расширения ()(~) / Д изоморфна (Я / тЕ) о, и [[ш (Ж / т»Я) о = Ц У . Более детальрФраа нос исследование этого изоморфизма позволяет придать явную форму закону взаимности и получить подробные сведения об арифметике полей, соответствующих различным подгруппам группы Галуа. Группа Ц П изоморфна рФраа фактор-группе классов нделей Хо / До по ее связной компоненте. В атой формулировке результат переносится на произвольные поля /г, (/г: Ч) а:.
со: для любого такого ноля группа Галуа максимального абелева расширения 4 г поля /г иэоморфиа фактор-группе классов иделей Хт //г поля /г по ее связной компоненте. Подгруппа, соответствующая абелеву полю /Г ~ й, порождена классами норм иделей поля К. Приведенная формулировка основного результата современной теории полей классов выкристаллизовалась постепенно в результате работ самого Гиль- берта, Такаги, Чеботарева, Артина, Хассе, Шевалле, Накаяма, Хохшильда, А.
Бейля, Тэйта и ряда других 159 исследователей. Список литературы слишком длинен, чтобы приводить его здесь. Итоги подводят две книги: Х а с с е [31и запискисемипараА р т и н а и Т з й т а [11; в обзоре Хассе есть подробная библиография работ, выполненных до 30-х годов. Разумеется, теория полей классов содержит гораздо больше, чем доказательство этой теоремы; в частности, ее когомологическая формулировка позволяет получить весьма точные сведения о когомологяях групп Галуа пе обязательно абелевых расширений (ср. С е р р [71).
Локальная теория полей классов подробно изложена в книге С е р р а [61 '). При всем том вопрос о явном описании поля Аю как в теореме Кронекера — Вебера, до сих пор до конца не решен. Моделью для последующих работ в этой области служит предугаданная Кронекером и завершенная Вебером, Такаги, а затем Хассе и Дойриигом теория, относящаяся к случаю мнимого квадратичного поля й. Рассмотрим порядки такого поля; любой идеал такого порядка является решеткой в комплексной плоскости и фактор по нему есть комплексный тор, т.
е. эллиптическая кривая. Две кривые изоморфиы, если их решетки принадлежат одному и тому же классу идеалов (относительно порядка, который является общим кольцом зндоморфизмов таких кривых). Ограничимся, в частности, кривыми, которые соответствуют максимальному йорядку. Тогда абсолютный инвариант 1х любой такой кривой Х порождает максимальное абелево неразветвленное расширение поля Ь. Для того чтобы получить все поле А»., нужно рассмотреть кривую Х' = Х ~ Ап«Х и добавить к й(у'х) координаты образов всех точек конечного порядка ка Х.
Аналитическая теория эллиптических кривых позволяет переформулировать этот результат в терминах деления аргумента специальных функций. (Более подробные формулировки, доказательства и библиографию можно найти в записках семинара [21.) дта старая теория комплексного умножения и работа Г е к к е [41 до последнего времени составляли все, что ') См. также ебарннк А16еЪга!е пижЪег ТЬаагу, Ъапйап, 1967 (пад ред. 1. %.
6. Сага»1»'а н А. гвйИ«Ь'е), русский перевод ната- рого скоро выйдет в свет. Оп содержит теорию полей плаееав, локальную н глобальную теорию камвдекенага умпажапня, нетарнчеекнй ачери, написанный Хасае н др.— 2Трим. ред. 160 было известно о второй части проблемы Гильберта. В 1955 г. появились работы А. Вейля, Г. Шимуры и И. Таниямы, в которых теория комплексного умножения обобщалась на многомерный случай абелевых многообразий с «большим» кольцом эндоморфизмов. Точнее говоря, пусть К— вполне мнимое квадратичное расширение некоторого вполне вещественного поля алгебраических чисел.
Можно построить абелево многообразие А, кольцо эндоморфизмов которого изоморфно некоторому порядку поля К. Поля, полученные присоединением значений «модулей» многообразия А и координат точек конечного порядка, вообще говоря, являются абелевыми ненадК, анад некоторым конечным расширением К ~; лишь в одномерном случае всегда К ~ = К. Кроме того, так получаемые поля не исчерпывают всех абелевых расширений поля Ка, и, как отмечалось выше, сам класс полей К довольно узок. Тем не менее эта теория весьма интересна и имеет важные связи с теорией ~-функций абелевых многообразий к алгебраических кривых. Она изложена в книге Ш и м у р ы и Таниямы [81. В зтойсвязннужноотметитьещестатьюЛ ю б и н а и Т э й т а [51, где показано, что для локальных полей й совершенно общая теория комплексного умножения получается, если заменить абелевы многообразия одномерными формальными труппами.
Всегда существуют такие группы, кольцо эндоморфизмов которых изоморфно кольцу целых чисел в й, и присоединение точек конечного порядка к максимальному неразветвленному расширению поля й доставляет его максимальное абелево расширение. Закон взаимности з этой иаящной модели имеет обычный вид: элементы группы Галуа действуют на точки конечного порядка через эндоморфизмы.
Гильберт придает исключительное значение аналогии между алгебраическимичислами и алгебраическими функциями и предлагает искать на атом пути общую формулировку закона взаимности для 1-х степеней. Зта задача была решена И. Р. Ш а ф а р е в и ч е м в работе [101. Он обнаружил, в частности, что для символа норменного вычета существует удивительная явная конструкция, аналогичная конструкции вычета дифференциала на римановой поверхности. Мы еще далеки от понимания истинного механизма этого явления. Некоторые указания см.
также в книге С е р р а 16!. 161 ЛИТЕРАТУРА [1) А г С 1 п Е., Т а С е Х., С1азз Ие)6 СЬеогу, 1пзС[СиСе е[ Абгапсей ЯСибу, РгшсеСеп, 1961. [2) В с ге1 А., СЬ о а 1а Я. аш[ оСЬегз, Яеш(иаг оп Сошр1ех Ми1С[рИсанеп, ЬесСйге КеСез ш МаСЬешапсз 21(1966), Ярпп8ег Уег)а2 (русский перевод: Математика, сб. перев. 12, М 1 (1968), 55 — 96). [3) Н а зле Н., Вег[сЬс 6Ьег пеиеге Цп(егзисЬипйеиипбРгоЫеше аиз бег ТЬеоне бег а18еЬш[зсЬеп 2аЫйогрег, Те11 1 — 2, )е[рз[2 — Вейш, 1930. [4] Н е с )с е Е., ОЬег Ше КопзСгиЬС1оп ге)амг АЬе)зсЬег ЕаЫЬогрег бигсЬ МобидйпЬС1опеп топ лпе1 Уаг[зЪ|еп, МаСЬ. Апв.
74 (19™13, 465-510. 5) Х и Ь 1 и Х., Т а с е у„регпш1 сошр1ех ши)с[пЬсаС[оп ш 1еса1 йе16з, Апп. МасЬ. зег. 2, 81, Ж 2 (1965), 380 — 337 (руссквй перевод: Математика, сб. перев. 12, )и 1 (1968), 48 — 54). [6] Я е г г е Ю. Р., Согрз 1осаих, Аег. Яс[. 1пб., ло. 1296, Раг[з, 1962. [7) Я е г г е 7. Р., СоЬошс1е81е Са1о[з[еппе, ХесСиге Иогез ш МаСЬешаС[сз 5 (1965). Ярг[илег Уег)а8 (руссввй перезод: Кегомологик Галуа, «Мвр», 1968).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
