Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в'1 томе «Аналитических свчвкввяйэ) я звзазксвмв вт явго А. М. Лвжавдром в 1785 г. (озубяякввзв п Мдт. Ас. Раг!з, 1785 (1788) я в «Опыт« теории чвсвлэ (1 797 — 1798). Лежандр приводил доказательство закона, иоторов являлось ввпалкым. Впервые полное доказательство квадратичного закова взвиэшостк было пвяучвво К. Гауссом. Два двззззтзльства опубликованы им в 1801 г. в 4-м отделе «Арзфмвтвчвеиих мвслвдвзвввйэ (всвгв вм было найдено семь таких доказательств).
— Прим. Р«д. /е, Ы определение символа ~ — ') через инвариант алгебры ~з) Й(А, В) с таблицей умножения А" = а, В" = Ь, ВА = АВ ~, где ь — примитивный корень и-й степени из 1. Зто определение эквивалентно более современному определению в терминах теории когомологий в группах. При таком определении формула (в) оказалась верной беа всяких ограничений. Зги способы определения символа ( — ') не дают lа, Ы Ф однако, явных формул для вычисления его зйачений, так что проблема Гнльберта о явной форме закона взаимности в виде выражений типа формул Гаусса и Куммера оставалась открытой.
4'. Валом езаимностпи Шафаревича. Для построения явкой формулы для закона взаимности степенных вычетов степени и достаточно ограничиться случаем и =р», р /», Ы простое, и дать явную формулу ~ — ') для простых дивизоров й, делящих р. Такая формула была получена И. Р. Ш а ф а р е в и ч в м в 1948 г. 1131 и опубликована в работах (141 и 1151.
При описании формулы Шафаревича мы должны пользоваться простейшими фактами теории локальных полей. Пусть Ж вЂ” степень локального поля Й„ над полем Р-аДических чисел (~р, Л~ = е7, где 7' — степень инеРЦии, е — степень разветвления поля Йр. Всякий элемент а доля Йр допускает разложение а = я"'ш*ц, где я — простой элемент поля, е — примитивный корень степени р~ — 1 из 1, ц: — 1 (шоа 3).
Числа ц называются главными единицами. И. Р. Шафаревич исходит из полученного им канонического разложения главных единиц: Ч=Е(я)ПЕ(ат, '). 1 Здесь я и а~ — целые числа максимального неразветвленногоподполя 3 поля йр, 'его степень относительно ~р равна 7. Число1 меняется от 1 до — р с пропуском всех р-1 чисел этого интервала, делящихся на р. Числа Е(я,я') являются значениями ' специальной функции Е(а,4 = = ехр(ах+ а'р) р 'хр + а(р'~р»хр'+ ...), определенной для всех целых а ~=- й и х ~ Й„, х:— О (Ц.
Символом а<р~ обозначен результат применения автоморфиа- 138 ма Фробениуса к числу а ~ й. Число Е(а) имеет вще более сложное описание. Важно подчеркнуть, что Е(а) р» всегда примарно, т. в. такое, что поле Й»(»'Е(а)) неразветвлено над Й». Примарные числа, рассматриваемые с точностью до ~»-х степеней, образуют циклическую группу порядка р . Запись примарного числа 6 в виде Е (я) зависит от выбора в поле Йрпримитивного корня р»-й степени из 1, однако число тЕ(а) = ьзэ'.) зависит только от самого првмарного числа 6. Множитель Е(я) в канонкческом разложении главной единицы ц может быть назван примарной проекцией числа ц.
Каждой паре объектов Х = я в'Е(я) ПЕ (я,, я') и а = я в'Е(Р) Ц Е (Р;, я') сопоставляется пркмарпов число (Х, и) Е(ар — Ьа + ч) = (Е(Р))» (Е(а))-» Е(т), гдв Е(р) — примарная проекция числа ПЕ(й»,Р;, я+). Сим- »1 вол норменного вычета ~ — ') оказывается равен Т(Х,Р). г л,~~ Формула для (Х,и) аналогична формуле вычисления вычета абелева дифференциала РАЙ. Исследование свойств символа (Х, и) н установление его связи с символом нормвнного вычета дано И. Р. Шафаревичем (при Й = 1) прямо из определения его символа, бвз использования известных ранее свойств символов норменных вычетов.
Зто открыло возможность для нового обоснования локальной теории поля классов. Основную трудность в исследовании представило доказательство независимости символа (Х, а) от выбора простого элемента я. Для я = р" при любом Й доказательства были проведены А. И. Л а п и н ы м 1161 прямо из определения символа Шафаревича и М. К н е з в р о и 1171 с использованием свойств символа норменного вычета. А. И. Л а п ин (18), (19) осуществил также обоснование теории поля классов на основе закона взаимности Шафаревича. ЛИТЕРАТУРА (1) 0 а а в е С.
У., О»»аз1аповез апИппвдсае, %егйв 1, 66Ф ащев, та. м (2) С а а з з С. Р., Тьеояе швЫаогош »16задхапсогаш, сошшевшпо риша е» шсзвба, %вайо 2, Сбышйев, 1863, 65 и 93. [3) Е 1 з е п з 1 е 1 и О„Вечеа!з Йез Вез!ргог!М!збезе1хсз Шг Й!е КсЪ!зсЬеп Вези !п йег ТЬеог!е йег апз йг!!Ип чевгхе1п йег Е!пЬе!1 зсзашшевиезе!хгеп Ьошр1ехеп ЕаЫеп, Х. Ма!Ь.
27 (1844). [4) Е (зепзге!п О., Ветче1з йег аПбешейишп Вех!эгоз!!а««безо«зе зм!зсЬеп гееПеп ипй Ьошр)ехеп ЕаЫеп, Вег. К, Ахай. гчиз., Вег1ш, 1850. [5[ К п ш ш е г Е., ХХ«Ьег аПиешеше Вез!ргох[йИбезе«хе ббг ЬеПеМ6 ЬоЬе Роша«велш, Вег. К. А)шй. %1вэ., Вег1ш, 1850. [6[ Т а Ь а б ! Т., Оп «Ье Ьпч тес!ргос!«у ш ГЬе сус!о!оввс согрев, Ргос. о1 !Ье РЬуз.-ша!Ь. 8ос. о1 Харак, 1922. [7[ Н ! 1 Ъ е г «1)., РЛе ТЬеопе Йег а16еЬга!«сЬеп ЕаЫЬогрег, ХаЬгезЬег. 1!ИсЬ.
Ма1Ь.-чег. 4 (1897). [8[ Н ! 1 Ь е г 1 О., ОЬег й!е ТЬеог!е йег ге!а«1чоиайш!!зсЬеп ЕаЫЬогрег, ХаЬгезЬег. 1[«зсЬ. Ма«Ь;чег. 6 (1899). [9[ Т а 1с а б ! Т., ОЬег еше ТЬеоне йез ге[а!!ч-АЪе1зсЬеп ЕаЬ1- 1согрег, Х. СоП. Вс!епсе, Тойуо, 41, 9 (1920). ПО) Н а з з е Н„ВепсЬ! 6Ь«г песете !Хп!егзисЬопбев ппй РгсЫеше авз йег !Ьеог1е Йег а16еЬга1«сЬеп ЕаЬП«бгрег, ХаЬгезьег. ХХ!зсЬ. Ма(Ь.-«ег. 35 (1926); 36 (1927); 39 (1930). [11[ А г 11 и Е., Вечее!з йез,аПбешешеп Вез!ргох!«аш9езеиез, АЬЬ. Ма!Ь. 8еш!и. Нашьигб. !Хп!ч. 5 (1928).
[12[ Н а з з е Н., ХХ!е 8!гаЬ!пг Йег В. Вгаоегз«Ьеп А16еЬгепЫаззеп9тирре 6Ьег е!йеш а18еьга!зсЬеп ЕаЫЬбгрег, Ма«Ь. Апа. 107 (1935, 731 — 760. 13[ Ш а фа р ев яч И.Р.,Общвй заковвзавмкоопг, УМН 3, ХН 3 (25) (1948), стр. 165. [14[ Ш а фа равич И. Р., Общий закон взавмиостя, ДАН СССР 64 (1949), 25 — 28. [15) Ш аф ар ее ич И. Р., Общей закон взаимности, Матом. сб.
26 (68) (1950), 1!3 — !46. Пб) Л а и в н А. И. Теория символа Шафаревича, ИАН СССР, сер. матом. 17 (1953), 31 — 50. [17) К и е з е г М., Евш ехрП«!«еп Вех(ргох!М[Ибезе«з чоп Ва1агечМ, Ма(Ь. ХчасЬг. 6, Х4 2 (1951), 89 — 96. П8) Л а и к н А..И. К теорви символа Шафаревича, ИАН СССР, сер. матам., 18 (1954), 145 — 158, [19) Л а п и и А. И., Общий заков взаимности н новое обосвававие теории полей классов, ИАН СССР, сер. матом. 18 (1954), 335 — 378. К ДЕСЯТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. ХХ.
Хмеле«елин Десятая проблема Гильберта относится к одной из самых древних областей математики — решению алгебраических уравнений с целыми коэффициентами в целых числах. Такие уравнения называют диофаитовыми в память греческого математика Диофанта, рассмотревшего некоторые из них. Гильберт следующим образом формулирует эту проблему. «10. Решение проблемы разрешимости для произвольного диофантова уравнения.
Пусть дано произвольное диофантово уравнение с проиавольным числом ненавестных н с целыми рациональными коэффициентами; требуется указать общий метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет данное уравнение решение в целых рациональных числах нли нет».
Фундаментальный труд 1, Е. П ! с )г 3 о и, «Н!з1огу о1 1Ье ТЬеогу о[ 1[пшЬегз» т. 2, «Диофантовы уравнения», дает представление о том, какой интерес испытывали математики всех времен к решению диофантовых уравнений. Целочисленными решениями алгебраических уравнений интересовались еще античные математики; например, в связи с теоремой Пифагора они рассматривали уравнение ха + уз = з', Евклид (П[ в. до н. з.) приводит формулы, позволяющие найти все целочисленные решения этого уравнения. Отдельные виды уравнений и систем уравнений второй степени с двумя неизвестными рассматривал Диофант (П[ в.
н. э.). Например, он рассмотрел уравнение азз + бх+ с = у' и решил его для !41 [3) е 1 ее в з хе 1 в О., Вене(з йез Вег)ргох[Я(«безо(воз В)г й1е КиМзсЬеи Вез«с ш йег ТЬеопе йег аиз йг)ыеи %иге«1в йег Е)вЬе1х еихашшеийезехх(ев Ьошр1ехев ЕзЫеи, Х. М«ХЬ. 27 (1844). [4) Е (хе вахе (п С., Вене(з йег аИяешешзхев Вег(ргох(газ«Захе«хе хч[есЬев гееИев иий Ьошр1ехеи ЕаЫеи, Вег. К.
Айай. %Ч«з., Вег)ш, 1850. [5] К и ш ш е г Е., (Х«Ьег аИЗешеше Кех(ргсх1(л)лйезезхе Йг ЬеИеЫб ЬоЬе Рсгевхзезге, Вег. К. АЬай. ее[во., Вег!ш, 1850. [6) Т а Ь а 81 Т., Ов 1Ь« )ач тес)ргсс(гу ш «Ье сус1охопис согриз, Ргос. о1 «Ье РЬуз.-ша«Ь. Зос. с1 Харак, 1922. [7] Н 1 1 Ь е г $ ХХ. „ХХ(е ТЬеог(е йег а)йеЬга[зсЬеи ЕзЫЬбгрег, ХаЬгезЬег. В«зсЬ. МаХЬ.-Уег. 4 (1897). [8] Н 1 1 Ь е г 1 Р., ОЬег йе ТЬеоме йег ге)аг[чииайгамзсЬеи ЕаЬИсбгрег, ХаЪге«Ьег. )ХхзсЬ. Ма«Ь.-Уег.
6(1899). [9] Т а Ь а 9 1 Т., ОЬег еше ТЬесг(е йез ге[а((ч-АЬе)зсЬев ЕаЫЬсгрег, Х. СоИ. Вс(«все, Тойуо, 41, 9 (1920). [10) Н а з з е Н., ВемсЫ йЬ«г веиеге Овгегзи«Ьивбеи ивй РгсЫеше аиз йег хЬеог1е йег а19еЬга1«сЬев Е»ЬЯсогрег, ХаЬгезЬег. ЭгзсЬ. МаХЬ.-Уег. 35 (1926); ЗБ (1927); 39 (1930). [11] А г 11 и Е., Вене(з йез аИЗешешеи Вех)ргох[Я«зле«ах«ее, АЬЬ. Ма(Ь. Веш(в. НашЬиг6. Сыч. 5 (1928). [12[ Н а з з е Н., В)е Я(гиМиг йег Е.
ВгаиегзсЬеи А)йеЬгеиЫаззеибгирре 6Ьег ешеш а19еЬга1«сЬев ЕаЫЬогрег, Ма«Ь, Аив. 107 (1935, 731 — 760. 13) 'Ш а ф а р е в и ч И. Р., Общий закон взаимности, УМН 3, Хй 3 (25) (1948), стр. 165. [14) Ш а ф а р е в к ч И. Р., Общий зеков взаимности, ДАН СССР 64 (1949), 25 — 28. П5) Шафаревич И. Р, Общий закон взаимности, Матем. сб. 26 (68) (1950), 113 — 146.
[16] Л а я н н А. И. Теорвя символа Шафаревича, ИАН СССР, сер. матам. 17 (1953), 31-50. [17) К и е з е г М., Еиш ехрИхмеа Вех(ргох(сагзйеве«х чои Ва(агеч(с, Ма(Ь. ИасЬг. 6, Ж 2 (1951), 89 — 96. [18) Л а и и я А..И., К теории символа Шафаревича, ИАН СССР, сер. матам., 18 (1954), 145 — 158. [19) Л а п к и А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
