Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Малеру, 126 ~8~1па+ ~е 1п~3( > е-же~, 9)3 гДе Е, и 8з — Целые числа, (1, ~ - г,! (е ~ ~ Г, а а н а алгебраические числа, логарифмы которых линекно независимы в рациональном поле. Такое неравенство может быть получено, если в доказательство чисто качественного утверждения трансцендентности — ввести элемент 1а а !ар оценки приближения таких чисел рациональными дробями. Это неравенство было использовано в ряде теорем «налнтической теории чисел и в некоторых задачах теории диофантовых уравнений.
Б самом конце 1966 г, Бейкер с помощью весьма остроумного усиления метода А. Гель- фонда доказал общее неравенство ~,~~ ~1,!па,. ~) е-"'", В 1 Ч)е+1, ~г,.|~г, где и„— алгебраические числа, их логарифмы линейно независимы в РаЦиональномполеи 1ь — Целые,~~те( > О. В самое последнее время Н.
И. Фельдманом неравенство Бейкера было весьма существенно усилено. Он доказал, что имеет место неравенство в ~ ~~ Ц„1п ае ~ ) Н ', где г7 — максимальная высота алгебраических чисел ~», а„— алгебраические, с линейно независимыми логарифмами, а у от Н не зависит. Неравенство Бейкера, в котором, так же как и в частном его случае неравенства А. Гельфонда, при заданных ам...,а, и д можно эффективно установить, с какого ~ оно будет верно, позволяет указать эффективную границу 126 И. Поикену, Н. Фельдману, А. Шидловскому, А. Гель- фонду, А.
Бейкеру и другим авторам. Общие методы оценки и многие результаты Н. И. Фельдмана были в дальнейшем использованы в ряде работ этого направления. Мы остановимся здесь только на двух результатах, имеющих прямое отношение к проблеме Д. Гильберта. Более тридцати лет назад А. Гельфонд доказал нера- венство для величин решений уравнения А.
Туз, именно Р(х,у) = = е, где Р(х,у) — однородный многочлен степени и ) 2 с целыми коэффициентами, а с — целое число. Эта проблема стояла много лет и считалась одной из труднейших. Все сведения о литературе по вопросам трансцендентности можно найти встатье Н. И. Фельдмана и А. Б. Ш и д л о в с к о г о «Развитие н современное состояние теории трансцендентных чисел», УМН 22, № 3 (1967). Если направление в области теории трансцендентных чисел, начатое работами Эрмита и Линдеманна, обогатилось в работах А. Б.
Шидловского очень обпрми результатами, то направление, начатое высказываниями Эйлера и Гильберта, пока обладает теоремами с не слишком широкими формулировками. Например, ничего не известно даже о линейной независимости чисел зид» в е,я=1,... ..., я, где а„— различные иррациональные алгебраические числа, а ю+ О, 1 — алгебраическое число, в поле рациональных чисел, кроме случая ат = 1, аз= а, ае = = ае, где а — кубическая иррациональность (случай квадратической иррациональности а есть следствие трансцендентности в"),и,наконец, трансцендентности числа П в„'» =а е=1 при алгебраических вг и ае (Бейкер).
Числа 1шо„ линейно независимы в рациональном поле. Аналогичная задача не решена к для логарифмов алгебраических чисел — задача об их алгебраической независимости, кроме случая невозможности однородной связи двух логарифмов. Далее ничего пока не известно об арифметической природе постоянной Эйлера и чисел $(2л + 1), где $(е) — функция Римана — Эйлера, а л; 1 — целые числа. Наконец, по-видимому, должна иметь место теорема о том, что если неполные частные разложения числа в непрерывную дробь ограничены и если дробь бесконечна, то это число является либо квадратической иррациональностью, либо числом трансцендентным.
К ВОСЬМОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. З. Лиаэик Исследования по гипотезе Римана продолжались к продолжаются по сне время, но пока получены результаты, весьма далекие от ожидаемого. Между тем убежденность математиков в том, что гипотеза верна, возрастает, особенно за последнее время, когда с помощью быстродейст-' вующей счетной техники обнаружено, что комплексные (так называемые критические) нули, мнимая часть которых не превосходит по абсолютной величине довольно 1 большои константы, лежат на прямой о = †. Последние 2' результаты в этом направлении получены Н. А. М е лл е р оп Щ на быстродействующей машине »Стрела» в Вычислительном центре АН СССР; иэ ннх, в частности, следует, что нули с положительной мнимой частью и номерами от15000до35337лежат на прямойп ='1/2.
Подтверждением гипотезы Рвыана служит также важная теорема, доказцнная в 1942 г. норвежским ученым Атле С е л б е р г о и ~21. Если обозначим Ф(Т) число критических нулей р = о + 1г при условии ~ ~~ ««Т, а Ф,(Т) — число тех нз них, которые лежат на прямой а = 1/2, то гйпотеза Римана может быть сформулирована так: Ф,(Т)/ /т(Т) = 1, если Ф(Т) ) О. А.
Селберг доказал, что Ф,(Т) / Ф(Т) «б» ) О при У(Т)) О, где б, — некоторая (довольно малая) константа. Гипотеза о том, что для нулей р = а + И имеем о(а, < 1, где и,< 1 — какая- либо константа с 1, называется ослабленной гипотезой Римана. Эту гипотезу также не удалось доказать, но некоторое продвижение в етом направлении имеется. Оказалось, что оценка действительной части о нулей р = о + 1Г зависит от оценки величины ~ Ц1 + й) ~. Последняя задача 128 сводится к оценкам тригонометрических сумм.
После изобретения И. М. Виноградовым способа оценки нужных сумм(И.М. Виноградов [3]), в 1936 г. Н.Г. Чуд а к о в 141 получил на основе метода И. М. Виноградова сильную оценку ~ ь(1 + И) ~, в результате чего ему удалось указать оценку сверху для о: о «( о,(Ю) = 1 — ц(ю), где ц(») хотя и медленно, яо все же стремится к О при ~ ~ ~ со. Впоследствии этк ццеи развивались многими авторами.
Наилучшие результаты вэтом направлении получены в 1958г. И. М, Виноградовым (51 и Н. М. Коробов ы м (61: т~(») ~» 4(1п ~) *~*. ь -функции алгебраических полей изучались н изучаются; положение с аналогами гипотезы Римана здесь не лучше, чем для Дз). Однако для некоторых аналогов Ь(г) — так называемых конгрузнц- Ь -функций — Андре В е й л ю (71 в 1941 г. удалось добиться решительного успеха — доказать аналог гипотезы Римана. Приведем простейший пример конгруэш~- Ь-функции и аналога гипотезы Римана. Рассматриваем целочисленный полипом ((л) по простому модулю р, неприводимый и с первым коэффициентом 1; пусть а„= = Х х Я, у)) — сумма, распространенная по всем полиномам у степени т по модулю р со старшим коэффициентом 1„ здесь Ц, г) — результант / и 4", Х вЂ” характер (шод р).
/.(/, х, г) = ~ а„р-"' (Не г ) 0) будет конгруэнц-Х-функ- м=Ф цией (частного вида). Все ее нули (кроме, может быть, а=О) лежат на прямойо = 1/2, т. е. длянееверен аналог гипотезы Римана. Изучение связи между конгруэнц- Х ффункциями и обычной дзета-функцией является одним из плодотворнейших и многообещающих нанравленнй в этой области.
Д. Гильберт высказал мнение, что после исчерпывающего изучения формулы Римана будет найден подход к решению проблемы Гольдбаха и вообще уравнения ах + +Ьу + с = Овпростыхчислаххиу. Последнее уравнение не решено и в настоящее время; условное решение его, если принять гипотезу Римана, также не удается. Наиболее далеко идущие результаты в направлении этой проблемы были получены Вигго Вруном по методу решета Эратосфена. Этот метод разрабатывался многими авторами; один из последних результатов в этом направлении 429 получен А И.
Виноградовым (81: все большие четные числа представляют собой суммы двух слагаемых, имеющих каждое не более трех простых множителей. Тернарпая проблема Гольдбаха, т. е. уравнение л + + у + х — й=О в простых числах х, у, ив случае нечетного достаточно большого й полностью решена в 1937 г.
И. М. В и н о г р а д о в ы м ') 131; уравнение ал + Ьу + + сз — с[= 0 в простых числах решается аналогично. ЛИТЕРАТУРА [1) М э л л э р Н. А, О вычислениях„связанных с проверкой ппмиеэп Римана, ДАН СССР 129, дй 2 (1958), 245 — 247. [2) 8 в 1Ь о г П А., Ов»Ьэ ээгоэ оЕ В(эшвлп'э эе»а-Еввс»1ов, йьг. И Ьэ У(й. АЬ а. О )о, дй 10, 1942. [3[ Виноградов И. М., Иэбравинэ труды, Иэд-во АН СССР, 1952. [4) Ч у д в к о в ' Н.
Г., О нулях фуикцви ъ (е), ДАН СССР 1, дй 1 (1936), 187 — ЗИ. [5) В им о градов И. М., Новая оценка функции б (1+ + Н, ИАН СССР, сэр. матом. 22,,М 2 (1958), 161 — 169. ..;* 6[ Короб ов Н. М., Новые теоретико-числовые оценки, ДАН СССР Йй, дй 3 (1958), 433 — 439. [7[ % э 1 1 А., В(эшавк Ьуво»Ьеаэ Ев Еовс»вш Вэ14э, Ргос. Ечай Асай. Эс(. СЭА 27 (1941), 345-347. [8) В и к о г р а лов А. И., Примэиэииэ Ъ(е) к решету Эратосфена, Матом. сб. 41 (83), М 1 (1957), 49 — 80. ») Проблема, постэвлэвнэя петербургским экэдэмвком Х.
Гольдбвхом в висьмэк Эйлеру от 7 кювя 1742 г., формулировэлвсь слодувкши обрвэовк докээать, что всякое целое число~6 есть сумма трех вростъш. История вопроса изложена в работах: Е. Е. О 1 с Ь э оп, НЕ»1огу оЕ »Ьэ ТЬэогу оЕ Икшьшв, т. 1, »уээЫвйэои, 1934, 421 — 425(до1923 г.) и Н. Г. Чудак о в, О проблеме Гольдбвха, УМН 4 (1938), 14 — ЗЗ. Теорема, доквээшшя Вииогрвдовмм в 1937 г., давала решение проблемы Гольдбвхэ для достаточно больших вэчэтимх чисел. В 1946 г. Ю. В. Ливвпк (Матэн.
сб. (и. с.) 19 (61), И 1 (4) (1946), 3 — 8) получил другое доказательство теоремы Виноградова с прввлечэвиэм методов тэорвп виэлятачэсиих фушщий. К проблематике »сдачи Голъдбэхв тежо примыкает результат, колучэквмйв 1930г. Л. Г. Шикрельмвиом (Иэв. Домок. политехн.
ип-та 14, дй 2 — 3 (1930), 3 — 28): каждое иэтурэльиоэ число )7, кроме эдюпщм, эсть сумм» кэ болев чем С простых чисел, где С от Ф ко эависвт. У самого Шлирэльмввв С = 800 000, трудами многих математиков вовичикв этой константы иовюкэвв до 20 (Г. Шапиро и Д. Варев, 1950).— ЕЕрив. ред, К ДЕВЯТОИ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Д'. )Г. Фаддеее 1'. Закон взаимности Гаусса. Самым простым проявлением закона взаимности является следующий факт, бывший цзвестным еще П. Ферма. Среди простых множителей чисел ээ + 1 при целых х появляются все простые числа, лежащие ев прогрессии 4)е+ 1, и отсутствуют простые вида4й+3. Так,2»+1=5;8'+1=513; 4 +1= = 17; 12» + 1 = 5 29 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
