Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Отсюда легко вытекает, что всякая локально евклидова коммутативная группа есть группа Ли. Однако такое решение проблемы Гильберта для коммутативных групп совершенно не вскрывает специфику их структуры. Решение этой проблемы, данное Л. С. П о н тр я г и н ы м Щ не зависит от достижений в области бикомнактных групп и является счедствием построенной им теории коммутативных локально бикомпактных групп.
Прежде всего, оказывается, что в коммутативном случае можно ограничиться лишь представлениями в группу вращений плоскости ЯО(2), которые образуют полную систему. Так как ЯО(2) — коммутативная группа, то множество 6« всех таких представлений также является (коммутативной) группой. Более того, 6е — топологическая локально бикомпактная группа по отношению к компактно открытой топологии на множестве 6*. Представления группы 6 в ЮО(2) называются характерами группы 6, а группа 6» — группой характеров группы6. Оказывается, что естественное отображение 6-~ 6»е есть (топологический) изоморфиэм.
Таким образом, группы 6 и 6* являются двойственными друг к другу — группа 6 не только определяет 6», но и, в свою очередь, полностью определяется группой 6*. Отсюда следует, что различного рода условиям, накладываемым на 6, соответствуют «двойственные» условия для группы 6* и что в тех случаях, когда это целесообразно, те или иные задачи, отяосззциеся к иоммутативным локально бикомпактным группам,' можно подменять «двойственными» задачами.
Одним из самых существенных фактов, относящихся'к этой теории двойственности, является следующий результат: дискретные и бикомпактные группы двойственны друг другу (т. е. группа характеров любой бикомпактной группы дискретна и, наоборот, группа характеров дискретной группы всегда бикомпактна). При этом многим тогологическии свойствам группы 6 (таким как связность, вполне несвязность, ~бз локальна» связность, конечномерность, свойство иметь данный топологнческий вес и др.) соответствуют двойственные алгебраические свойства группы 6«. Например, размерность 6 совпадает с рангом группы 6о, а локальная связность 6 эквивалентна тому, что каждое конечное подмножество в 6о можно включить в подгруппу Н с конечным числом образующих, для которой фактор-группа 6о / Н не имеет отличных от нуля элементов конечного порядка.
Опираясь на эти результаты, уже нетрудно показать, что для коммутативной локально евклидовой компак ной Ф т группы 6 группа 6 имеет конечное число образующих. Представим теперь 6* в виде прямой суммы свободной и конечной групп. Учитывая, что разложению 6* в конечную прямую сумму соответствуют двойственное разложекие в прямую сумму группы 6 = 6«ч, а также что для любой конечной абелевой группы Н группа Но изоморфна Н и что оО(2) двойственна бесконечной циклической группе, придем к следующему заключению: компактная коммутативная локально евклидова ') группа изоморфна прямому произведению конечного числа экземпляров группы ЮО(2) и некоторой конечной группы. Выше уже отмечалась связь, существующая между локально бикомпактными и бнкомпактнымн коммутативными группами. Используя эту связь, Л.
С. Понтрягин показал, что всякая локально связная конечномерная коммутативная локально бикомпактная друппа бикомпактного происхождения распадается в конечное произведение элементарных групп, т. е. групп типа ЮО(2), Н' (аддитивная группа действительных чисел), 2 (аддитивная группа целых чисел)и 2 (циклическая группа конечного порядка). Как видно из только что приведенных рассуждений, методы, с помощью которых проблема Гильберта была решена для компактных и коммутативных групп, существенно зависят от специфики структуры этих групп в каждом из рассматриваемых частных случаев. Уже вскоре после работ фон Неймана и Понтрягина стало ясно, что для окончательного решения пятой проблемы Гнльберта необходимо искать новые пути.
Это связано прежде всего с тем, что, как выяснилось, существуют локально бикомпактные топологнческне группы (и среди них даже связные группы Ли), не обладающие полной системой линейных представлений (см., например, [11]). И хотя один из наиболее принципиальных результатов, с помощью которого вскрывается локальная структура бикомпактных групп,— утверждение о том, что в любой окрестности единицы группы 6 существует бикомпактный нормальный делитель У, фактор-группа по которому 6/ У есть группа Ли,— остается справедливым практически для любых локально бикомпактных групп' ), в случае произвольных локально бикомпактных групп этот результат скорее можно отнести к следствиям всего аппарата, с помощью которого была решена пятая проблема, чем к средствам для ее решения. Топологическая группа, у которой имеются подгруппы в каждой окрестности ее единицы, называется группой с малыми подгруппами. Хорошо известно, что всякая группа Ли — это группа без малых подгрупп.
Общая идея решения проблемы, данного А. Глисоком, Д. Монтгомери и Л. Циапином, состоит в следующем. Сначала показывается, что всякая локально компактная группа без малых подгрупп есть группа Ли (этот результат был получен А. Г л и с о н о и [241 для конечномерных групп, после чего Я м а б е [26], !271, развивая идеи А. Глисона, доказал это утверждение без предположения конечномерности). Затем исследуются локально бикомпактные группы, обладающие малыми подгруппами. В работе [251 Д.
Монтгомери и Л. Циппин доказывают, что во всякой конечномерной локально бикомпактной группе с малыми подгруппами имеется открытая подгруппа Н, удовлетворяющая следующему условию: в любой окрестности единицы группы Н имеется такой бикомпактный нормальный делитель Х, что группа Н/Х не имеет малых подгрупп и, следовательно, является группой Ли (в работах [26], [271 Я м а б е показывает, что это справедливо также и для бесконечномерных групп). Локально бикомпактные группы, у которых в каждой окрестности единицы имеется нормальный делитель, фактор-группа по которому есть группа Лн, известны под названием 1 « ) ~".оэа «локально евкяядоэээ, как обычно, можно заявлять ва «вокочкомеркэя ловэлъко свяэкэяэ.
ээО ') Во всякой локально бикомпаяткой груввс ямостся открытая яодгрупэа, дяя которой это утверждение вор»о. проективно-лнезых групп (илн обобщенных групп Ли); эти группы были исследованы незадолго до работ [241 н [251-К. Ивасава [191 и А. Глисоном .[221, иэ реэультатоз которых, в частности, вытекает, что эти группы не являются локально евклидовымн (а также, что в конечномерном случае эти группы не являются даже локально связными). Таким образом, решение проблемы Гильберта есть следствие всех перечисленных выше утверждений. Остановимся вкратце на основных моментах доказательства этих утверждений. Решение проблемы Гильберта для групп без малых подгрупп основывается на следующей идее. Пусть Š— пространство касательных векторов в единице группы Ли 6; легко видеть, что 6 обладает каноническим линейным представлением в группе преобразований пространства Е" — это представление индуцируется внутренними автоморфизмамн группы 6.
Как известно, в группе Ли 6 однопараметрическне (локальные) подгруппы (т. е. подгруппы, локально нзоморфные. аддитивной группе действительных чисел) целиком заполняют некоторую окрестность единицы; прн этом нетрудно установить взаимно однозначное соответствие между всеми однопараметрическнми подгруппами н векторами из Е', при котором умножению векторов на числа будет соответствовать подходящее линейное преобразование параметра на соответствующих подгруппах. Оказывается (и это легко показать для подгрупп линейных групп), что для любых двух одн опар аметрическ их подгрупп х(1), у(1) посредством перехода к пределу Иш [х ~ — 1 ° у ~ — ~ ) определяется операция, соответствующая операции сложения векторов в Е", Таким образом, вместо Е" можно рассматривать линейное пространство однопараметрических подгрупп.
В своей работе [241 А. Г л и с о н строит такое представление для локально компактной группы без малых подгрупп и с помощью этого представления доказывает, что 6 есть группа Ли. Отметим, что уже сам факт существования однопараметрических подгрупп в произвольной локально бикомпактной группе (см. А. Г л и с о н [201) доказывается довольно сложно (для бикомпактных н коммутативных локально бикомпактных групп существование однопараметрических подгрупп вытекает из соответствующих структур- И2 ных теорем), Еще ббльшие трудности встают при исследовании возможности предельного перехода с помощью последовательности~х~ — ~ ° у( — Й . Тем не менее оказывается, что если 6 — 'группа без малых подгрупп, то для любых двух однопараметрических подгрупп х(г), р(г) и любых значений параметра 1, для которых х(Г), р(1) находятся в достаточно малой окрестности единицы, существует такая подпоследовательность чисел т, что предел Бш (х~-~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
