Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Остающиеся нерешеннымн вопросы граничат с обоснованием законности таких модально-семиотических приемов рассуждения, которыми явно нли неявно были пронизаны, по существу,, все известные доказательства. К ТРЕТЬЕЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА В. « . Во.иккнокка Учение о площадях в элементарной геометрии основывается на следующих четырех положениях: 1) Площади конгруэнтных фигур равны. 2) Если фигура разбита г) на две части, то ее площадь равна сумме площадей обеих частей. 3) Если фигура Х целиком размещается в фигуре А, то площадь фигуры Х не превосходит площади фигуры А. 4) Площадь квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице. Положение 3), или равносильное ему утверждение о том, что площадь любой фигуры неотрицательна, и лежит в основе метода исчерпывания, который в одном из своих вариантов может быть сформулирован следующим образом: если Х„Хю...— такая последовательность фигур, расположенных в 'одной и той же фигуре А, что часть фигуры А, не заполненная фигурой Х„, делается по площади все меньше и меньше'), то))ш Я(Х„) = Я(А), где Я означает площадь.
Метод этот, будучи связан с понятием предельного перехода, неэлег«енгнарен Пользование методом исчерпывания (или каким-либо эквивалентньпв ему методом) неизбежно при строгом построении г) Мы здесь не уточняем, что такое «фнгура» н что такое «реебненне» фигуры на части, тап нак нюке речь вдет только о мко«»- у«е«ьеиквк.
») Длп того чтобы убеднться, что плошадь этой части дела«тел есе меньше н меныпе, н поль»умнел сформулированным выше положе- каем 3); заключают эту часть в узкую полосну простой формы, площадь которой легко найти. В качестве теней «полоски» обычно б«- рут часть каоснастн меж)гу «епнсакной» н «опнсаннон» фигурами простой формы. 92 учения о площадях.
Достаточно сказать, что этот метод необходим уже для вывода форвгулы площади прямоугольника (при переходе от прямоугольников с рациональными сторонами к произвольным прямоугольникам). Однако если формула площади прямоугольника уже установлена, то площади любил многоугольников уже находятся без применения метода исчерпывания. Такое нахождение площадей проводится с помощью м е т о д о в разбиения и дополнения, основанных на укаэанных выше положениях 1) и 2): если два многоугольника равносоставлены, т. е. если их можно разбить на соответственно конгрузнтные треугольники, то они имеют одинаковую площадь (равновелики); если два многоугольника можно дополнить соответственно конгруэнтными треугольниками до двух равносоставленных многоугольников, то исходные многоугольники равновелики.
Примерами применения этих методов могут служить теоремы о площади параллелограмма, треугольника, трапеции и т. п. в курсах элементарной геометрии. Итак, если принять формулу площади прямоугольника известной, то все учение о площадях многоугольников строится на основе элементарно-геометрических методов разбиения и дополнения, без применения неэлементарного метода нсчерпывания (который вновь оказывается необходимым лишь при вычислении площадей криволинейных фигур, например площади круга и его частей). Этот факт со всей полнотой устанавливается следующей теоремой Бойяи — Гервина: два г«ногоугольнила тогда и только тогда равновелики, когда они равносоставлены (см. Щ, [21). Обращаясь к геометрии в пространстве, естественно поставить следующий вопрос: можно ли, имея в своем распоряжении формулу объема прямоугольного параллелепипеда (или даже только куба), определить объем любого многогранника с помощью только метода разбиения (или дополнения), беэ использования метода исчерпывания? Как известно, учебная литература всегда использует либо метод исчерпывания («чертова лестница»), либо какой-нибудь эквивалентный ему метод (например, принцип Кзвальери нли какое-либо иное завуалированное интегрирование).
По существу ли зто? Так как эти неэлементарные методы используются в курсе элементарной геометрии при вычислении объемов многогранников ли«иь один раз, а именно для доказательства того, что два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами равновелики, то становится понятной проблема Гильберта: любые ли два тетраздра такого вида равносоставлены или дополняемы равными частями до равносоставленных многогранников7 Как отмечает Гильберт в своем примечании, отрицательное решение этой проблемы было дано Деном, который показал, что существуют многогранники, имеющие равные объемы, но не равносоставленные.
В частности, куб н правильный тетраэдр одинакового объема неравно- составлены (и не дополняются равными частями до равно- составленных многогранников). Существуют также неравносоставленные тетраэдры с равными основаниями и высотами. Тем самым была строго установлена необходимость привлечения неэлементарных методов в теории объемов. Доказательства Дена, очень сложные н, надо сказать, довольно путаные, были существенно усовершенствованы В.
Ф. Каганом '). По-видимому, наиболее простое доказательство теоремы Дена, основывающееся на идеях современной швейцарской геометрической школы (Хадвигер и др.), приведено в книге 121. Там же изложены некоторые дальнейшие результаты, относящиеся к рассматриваемому кругу вопросов. ЛИТЕРАТУРА (1) К а г а п В. Ф., 0 прсобразозаиии мпогограиивков, ГТТИ, 1933. (2) В о л т я п с к и й В. Г., Разиозслизие и разиосостазлеккые фигуры, Гостехиздат, 1956. ») Ма«)». А . 5У (1993), 431 — ~34.
К ЧЕТВЕРТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Я. АГ. Н«вол Четвертая проблема Гильберта, тесно связанная с его исследованиями по основаниям геометрии, ставит задачу об изучения геометрий, «близких» (в известном смысле) к обыкновенной евклидовой '). В этих геометриях должны выполняться все евллидовы аксиомы соединения и порядка, а также ослабленные аксиомы конгруэнтности, не включающие сильную аксиому 1П«гильбертовой аксиоматики «) Здесь «близость»геометрии к евклидовой определяется сходством ее аксиоматяки с аксиоматикой Гильберта е з к л и д о з о й г а о и в т р и и; с этой точки зрения исслсдоваиия, связанные с четвертой проблемой,продоажаютпуть,прквсдшвй к открытиюп ее в к л ид ов ой геометрииЛ обачсвск ого, аксиоматяяа которой отличается от аксиоматиаи Гильберта лишь о д п о й аксиомой.
К совсем иным геометриям можно прийти, ви-" доизмепяя другив системы аксиоматического обоснования евклидовой геометрии. Так, например, «ак с и о мати к а В вйл я» евклидовой геометрии определяет езилидозу плоскость как двум«рисе векторное простражтзо, з котором связь между точками и вектора»ш определяется возможиостью откладызаикк зсктора от точки (каждым двум точкам А и В отвечает едвкстзаввый вектор А«»; каждому вектору а и точке А отвечает сдккствавиая точка В такая, что АВ = и) и тем, что АВ + ВС = АС для любых трех точек А, В п С; кроме того, здесь должно существовать скаляркое прои»зад«кис аб с обычными свойствами. С точки аравия этой аксиоматики геометрией, «ближайшей» к евклвдовой, будет так пазызаемая «п с е в д о з з к л и д о з а г с о м с т р и я М и пи о з с к о г о» (ие путать с совсем другой геометрией Минковского, о которой пойдет речь ниже!), аксиоматииа которой отличаатся ст аксиоматики гсомстрви Евклида заменой тр«боваиия «положительной определенности» скалярного проваведеиия (а»,з О для любого а) трсбозаиисм существования зактороз а», для которых а» > О, и векторов ««,, для которых а» « ' О.
95 лишь один раг, а именно для доказательства того, что два тетраэдра с равными основаниями н равными высотами равновелики, то становится понятной проблема Гильберта: любые ли два тетравдра такого вида равносостпавлены или дополняемы равными часп»ями до равносостаеленных многогран нилов» Как отмечает Гильберт в своем примечании, отрицательное решение этой проблемы было дано Деном, который показал, что существуют многогранники, имеющие равные объемы, но не равносоставленные.
Б частности, куб и правильный тетраэдр одинакового объема неравно- составлены (н не дополняются равными частями до равно- составленных многогранников). Существуют также неравносоставленные тетраэдры с равными основаниями и высотами. Тем самым была строго установлена необходимость привлечения незлементарных методов в теории объемов. Доказательства Дена, очень сложные и, надо сказать, довольно путаные, были существенно усовершенствованы Б. Ф. Каганом ').По-видимому, наиболее простое доказательство теоремы Дена, основывающееся на идеях современной швейцарской геометрической школы (Хадвнгер н др.), приведено в книге (2). Там же изложены некоторые дальнейшие результаты, относящиеся к рассматриваемому кругу вопросов.
ЛИТЕРАТУРА 1933. (1) К а г а н В. Ф., 0 преобразовавнн многограннвков ГТТИ ° » (2) Б о я т я н с к к й В. Г., Раввовелнкне к равносоставленные фигуры, Гостехкздат, 1956. ') МагЬ. Аив. 57 (1903), 421 †4. К ЧЕТБЕРТОИ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Я. М. Я»лом Четвертая проблема Гкльберта, тесно связанная с его исследованиями по основаниям геометрии, ставит задачу об изучении геометрий, еблизкнхг (в известном смысле) к обыкновенной евклидовой '). Б этих геометриях должны выполняться все евпаидовы аксиомы соединении и порядка, а также ослабленные аксиомы конгруэнтности, не вклюумуи1~«» '>» «» ю»»»~ я.
ством ее аксяоматвкк с аксноматккой Гнльберта евка вдов ой ге о метр к н;сзтойточкн зревня последования, связаввые с четвертой пробвемой, продолжают путь, приведший к открытвюн е евклид ов о й геометрнкЛ обачев аког о, акскоматкка которой отличается от аксноматккк Гявьберта лишь о д н о й аксиомой. К совсем иным геометриям можно прийти, вндовзменяя другие сястемы аксноматвческого обоснованна евкяндовой геометрии. Так, папрнмер, «а к с к онат яка В е йя я» евкхндовой геометрии опрея«г»яет евкккдову плоскость как двумерное векторное пространство, в котором связь между точкамн н векторами определяется воююжностью откяедыеанвя вектора ст точки (каждым двум точкам А к В отвечает едкнствевньп$ вектор .Й~; каждому вектору а н точке .4 отвечает едвнствеввая точка В такая, что АВ = а) к тем,что АВ+ ВС = АС для любых трех точек А, В н С; кроме того, здесь должно существовать скалярное прокзведенне аЬ с обычными свойствамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
