Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

же мере., в какой этот принцип локальности всегда подразумевался принятым в логико-математических теориях. Здесь снова налицо порочный круг, побуждающий меня отказаться как от ТЗ, так и от Т4 (разумеется, речь идет лишь об отказе от этих принципов в качестве априорных; прн наличии достаточного основания их надлежит принять, но не шире, чем в тех пределах, на которые это основание будет распространяться). Этот отказ означает неприемлемость аксиоматического метода при исследовании тех глубоких вопросов, с иоторыми имеет дело ультраинтуиционистская критика. Пытаясь ее преодолеть, я строю позитивную программу, которую называю тоже «ультраинтуиционистскойэ. Важная и трудная проблема состоит в установлении ультраинтуиционистского понятия доказательства, пригодного для целей обоснования математики.

Ввиду отказа от Т4 я при 87 этом отказываюсь и от аксиоматического метода, но это не означает отказа от аксиом и правил вывода как таковых. Конечно, прежние обоснования атпх «постулатов» будут заменены новыми, учитывающими потребности описываемой критики (по отиошешпо к обычным постулатам иитуицнонистского исчисления предикатов, но не к ТЗ, это удается).

Но главное будет состоять в ревизии самого понятия «доказательства». Прежние логические аксиомы и правила по существу сохранятся, хотя и будут надлежащим образом уточнены. Но в силу отказа от Т4 фигура, полученная из аксиом по правилам вывода, уже не будет называться доказательством, Я называю такую фигуру «демонстроидой», а в более общем случае, когда наряду с аксиомами в выводе могут участвовать произвольные исходные формулы, я называю ее не выводом, а «дедукциоидой» (иэ этих исходных формул).

Для получения из дедукциоиды (демонстроиды) «настоящего» вывода (доказательства) требуется (и считается достаточным) наличие некоторой «констатацни убедительности», представляющей собой доказательство того, что данная дедукциоида корректна не только «локально», т. е. в каждом узле той древовидной фигуры, которую она собой представляет, но и «интегрально», т. е. в целом. Эта констатация убедительности может в свою очередь быть демонстроидой с констатацией убедительности,— но для того, чтобы этот процесс обрывался, нужны некоторые первоначальные приемы доказательств, именуемые «протодемонстрациями».

Эти приемы черпаются иэ области тех, которые предшествуют знакомству с началами традиционной математической логики. Важнейшим из этих приемов является (непосредственное) применение определений, т. е. переход от определения «А обозначает В» к «А есть В» кли к «В есть А» (где связка «есть» толкуется в терминах обозначений). При рассмотрении существенно различных натуральных рядов сразу возникают некоторые проблемы, незнакомые традиционной математической логике только потому, что она перескочила через них путем неявного принятия некоторых допущений в своих основах.

К числу этих допущений, помимо Т1 — Т4, следует отнести допушение Т5 об объективном характере тождества и различия рассматриваемых объектов. Считается, что отношение тождества как бы имеет смысл, не зависящий от выполняемых отояс- дествлений, хотя со времен Гераклита известно, с какими трудностями было свяаано понятие «тождества» в теории познания. Эти трудности оживают при отказе от Т1.

Например, если Ж~ есть натуральный ряд, содержащий число 20, а Ф» — ряд, не содержащий етого числа (вовсе кет надобности в том, чтобы число, ие входящее в некоторый ряд, было столь велико, как 10"), то при наивном отождествлении «равновеликих» чисел У, и Х» ряд )у, окажется погруженным в конечный отрезок М, и в некотором смысле Х» утратит при этом свою бесконечность или же эти отождествления «вносят» бесконечность в некоторый вполне конечный объект, а именно в перечень чисел 0,1,..., 20 из Ф~. Никакого «противоречия» в строгом смысле слова здесь иет, так как не обязательно считать каждый раз выполненными эти отождествления и, кроме того, объект, конечный в одном своем вхождении, не обязательно должен считаться конечным и во всяком другом. («Конечность» означает «возможность окончания», а «бесконечность» — «невозможность окончания» или, в другом смысле, «воэможность ненаступления конца», но вовсе не наличие любого «огромного» числа частей или элементов ) Если попытаться выполнить простейшую математическую конструкцию — рассмотреть последовательность Л Фд, полученную из Л, и Л~» путем чередования ее членов: Ь„а„Ьм а„Ь», а„..., где а„ам...

и Ь„Ь„... представляют собой Х» и Ф» соответственно и в У«нет и не будет Ь«« — и попытаться укааать вхождение а»«в У,Ф„то очевидно, что это задание неосуществимо (даже при наличии а»«в Ф») нэ-за лреплшсл»вил, состоящего в «зацеплении» Х~ за Х«(и даже отрезка Ф, порожденного элементом а „за Ф,). Многие отождествления (если требуется, чтобы их выполняли «структурно», т. е. сложные объекты отождествлялись только после того, как выполнены все отождествления соответствующих частей, и это обстоятельство «констатировано») оказываются невозможными из-аа зацеплений. Ультраинтуиционистская программа требует явного изучения более широкой части естественного языка, чем традиционная математическая логика, и, сверх того, более глубокого, чем эта последняя, проникновения в сеэ«иоп»иву, т.

е. науку о знаках вообще. Приходится явно изучать законы теории модальноаи«й (в том числе и «деонтических» модальностей «раарешается» и «требуется», на которых основано само понятие правила) и глагольных еремен. Нельзя серьезно изучать бесконечные процессы, игнорируя различие между будущими и уже наступившими событинмн. Поскольку обычные предложения языка математической логики не содержат знака для будущего времени, они могут считаться осмысленными только в предположении о наступлении в изучаемых процессах всех тех событий, которые обозначаются именами, входящими в этн предложения. Только в этом предположении они н могутвходитьв состав дедукционд.

Нельзяотождествлять— беэ опасности путаницы и противоречий — наступившее с ненаступнвшкм, так что сами отождествления этих событий (н их имен) можно выполнять лишь по мере их наступления. Отказ от ТЗ вынуждает вернутъся к общему правилу бесконечной индукции, позволяющему принять ~»'хА(х) в предноложенвгг об истинности каждого А(г») (где п,— произвольное значение х), а «истинность» толкуется прн этом как «воэможность» (т. е.

наличие способа) доказательства. Таким образом, в анализ дедукциоид н констатапии убедительности входят проблемы, связанные с зацеплениями, возникающими прн отождествлениях. Так как в принципе можно искусственно вводить в рассмотрение некоторые зацепления, не связанные с анализом дедукционд, возникает проблема уточнения тех правил, по которым должны прослеживаться связи, и разрешается пренебрегать посторонними объектамн (в том числе зацеплениями).

Таким образом, в программу включается теория релееанп»ности (т. е. принципов связи илн относвмости, а также пренебрежения), причем выясняется »ажная роль этой теории и при построении различных натуральных рядов. Теория релевантностн должна предшествовать построению арифметики н обоснованию обычных логических постулатов, а принцип, разрешающий пренебрегать только посторонним (т. е.

тем, что запрещено считать связанным), оказывается в теории релевантности основополагающим. Поэтому удается прн построении натуральных рядов объявлять посторонними н исключать иэ рассмотрения любые натуральные числа ~ 2, откуда следует воэможность весьма коротких натуральных рядов. (Из определения натурального ряда следует — и то лишь после надлежащего уточнения этого понятия в модалъном отношении,— что в нем будет число, следующее за.О, т, е. 1, а также, что в предположении о наступлении 1 бу- дет 2,— но это предположение нельзя вывести из того, что 1 «будет»; суждение «будет так, что будет А» нужно уметь отличать от «будет А», по крайней мере в процессе обсуждения вопроса о необходимости наступления 2.) С другой стороны, семиотика и теория отождествлений доставляют гибкие правила, позволяющие вводить сколь угодно большие натуральные числа, известные в традиционной математике, путем «неопределенных указаний» на ранее введенные таким же образом объекты и нх различений в новых и старых вхождениях.

На этом основана онтологическая теория натуральных чисел; генетическая теория дискретных процессов имеет дело с уточнением понятия констатации убедительности и тем самым ультраинтуиционнстсхого понятия доказательства. В целом генетическая теория гораздо сложнее онтологической (н это связано с тем, что понятие «математического доказательства», в общем, намного сложнее понятия натурального числа); однако в принципе для понятия доказательства имеется следующая исходная зксплнкация: «доказательством суждения назьввается всякий честный прием, благодаря которому это суждение становится неоспоримым». Как пользоваться этой и другими экспликациями, чтобы получить связную теорию ультраинтуиционистских доказательств,— зто вопрос, во многом связанный с теорией лелей, которая также систематически рассматривается ультраинтунцнонистской программой. Таким образом, зта программа содержит ряд (тесно переплетающихся) «прототеорий» вЂ” теории модальностей, иелей, глагольных времен, регееантности, отождестелений и раа«ичий, семиотику и др.

— «централъное ядро», состоящее из онтологической н генетической теорий. Естественно, что в атом кратком комментарии подробнее остановиться на изложении этих теорий невозможно. Остается заметить лишь, что не только для арифметики, но и для системы аксиом Цермело — Френкеля для теории множеств (и притом с недостижимыми кардинальными числами) в настоящее время найдено доказательство непротиворечивости, если и не вполне «абсолютное», то более надежное, чем какое-либо из доказательств традиционной математической логики.

Характеристики

Список файлов книги