Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Названные проблемы — зто только образцы проблем: но их достаточно, чтобы показать, как богата, многообразна и широка математическая наука уже сейчас; перед нами встает вопрос, предстоит ли математике когда-нибудь то, что с другими науками происходит с давних пор, не распадется ли она на отдельные частные науки, представители которых будут едва понимать друг друга и связь между которыми будет позтому становиться все меньше.

63 Я не верю в зто и не хочу етого. Математическая наука, на мой взгляд, представляет неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь прн всем различии математического материала в частностях мы все же очень ясно видим тождественность логических вспомогательных средств, родство образования идей в математике з целом и многочисленные аналогии в ее различных областях. Мы также замечаем, что, чем далъше развивается математическая теория, тем гармоничнее н более едино оформляется ее сооружение и между до сих пор разделенными областями открываются неожиданные связи. 'Гак получается, что при расширении математики ее единый характер не теряется, а становится все более отчетливым.

Но — спросим мы — при расширении математического знания не становится ли в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части? В качестве ответа я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогателъных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют затруднительные старые рассуждения; поэтому отдельному исследователю, благодаря тому что он усвоит зти более силъные вспомогательные средства н более простые методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем зто имеет место для какой-нибудь другой науки.

Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки; ведь математика — основа всего точного естествознания. А для того чтобы в совершенстве выполнить зто высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев г). КОММЕНТАРИИ К ПРОБЛЕМАМ ГИЛЬБЕРТА з) В подлввввке этв елово звучат тек: «Оег е1вЬе11ИсЬе СЬагаЬгег бег МагЬеша11Ь Иелг пв швегев гневен йезег Ж1ззшзсЬа1з Ьевгйш1ез; 6евв 61е Магйеша1Иг 1зз йе бвш<Иаае аПов ехеЬГев аайюизеевзсЬаМ11сЬев Егйеввевз.

Ваш11 ззе 61езе ЬоЬе Везг1шшевл гоИЬошшев еМ6Ие, шбзев 1Ьг 1ш везен 1аЬгЬиш1ег1 левш1е Ме1згег егзгеЬеа зв6 ззЬ1ге1сЬе ш вПеш Е11ег ег616Ьевйе 16влегй — Прим. род. Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука, на мой взгляд, представляет неделимое целое, организм, жизнеспособность которого обусловливается связностью его частей. Ведь при всем различии математического материала в частностях мы все же очень ясно видим тождественность логических вспомогательных средств, родство образования идей в математике в целом и многочисленные аналогии в ее различных областях. Мы также замечаем, что, чем дальше развивается математическая теория, тем гармоничнее и более едино оформляется ее сооружение н между до сих пор разделенными областями открываются неожиданные связи.

Так получается, что при расширении математики ее единый характер не теряется, а становится все более отчетливым. Но — спросим мы — при расширении математического знания не становится ли в конце концов невозможным для отдельного исследователя охватить все его части1 В качестве ответа я хочу сослаться на то, что существо математической науки таково, что каждый действительный успех в ней идет рука об руку с нахождением более сильных вспомогательных средств и более простых методов, которые одновременно облегчают понимание более ранних теорий и устраняют затруднительные старые рассуждения; поэтому отдельному исследователю, благодаря тому что он усвоит эти более сильные вспомогательные средства и более простые методы, удастся легче ориентироваться в различных областях математики, чем это имеет место для какой-нибудь другой науки. Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки; ведь математика — основа всего точного естествознания.

А для того чтобы в совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев'). КОММЕНТАРИИ К ПРОБЛЕМАМ ГИЛЬБЕРТА г1 В подаввввке этв слова звучат так: гВег ешЬе1г11аЬе СЬагаЬгег йег МаГЬешаГ1Ь Неэт пв пшегэв гг езев й1езег МЧзгепзсЬа1Г Ьеатавйес; йаш й1е МагЬешаМЬ 1ат й1в 6гэвй1аав а11вз ехаЬГев ааГзгв1вэепасЬа1гйсЬвв ЕгЬеввевз.

Ваши з1в йэезе ЬаЬе Веэ11шшппв го1Нгошшев егИ1в, шбяеа 1Ьг 1ш везен УаЬгЬпвйегГ яеша1е Мешгег егзгеЬеп ивй ааЬ1ге1сЬе ш эй1еш ЕНег егя1вЬевйе Ипаег1г — Прил~. ргд. Н ПЕРВОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА А. С. Есенин-Вольпин Чтобы сформулировать эту проблему, напомним основные понятия кавторовской теории кардинальных чисел (мощностей), Термин множество означает то же, что и «совокупность». Объекты, из которых состоит множество или совокупность, называются апезеепепаз«и этого множества; обычно предполагается, что можно рассматривать множества объектов любой природы.

Если каждый элемент множества Х является элементом множества 1', то множество Х называется часяьъю нли подл«нож«ел«воз«множества У (обозначается." Х с: У). Понятие взаимно однозначного соотпзетсепзия в обычной «наивной» теории множеств не определяется и рассматривается как первоначальное. Считается, что оно выражает некоторую интуитивно ясную идею, а именно: между пальцами левой и правой рук неискалеченного человека можно установить взаимно однозначное соответствие, сопоставив с левым мизинцем правый мизинец, с левым безымянным пальцем — правый безымянный палец и т. д. Между всеми натуральными числами и между всеми четными натуральными числами также можно установить взаимно однозначное соответствие, сопоставив всякому натуральному числу и четное число 2п.

Два множества яааываются экзивааеязпнмми или разпозеощпызеи, если существует взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее каждому элементу любого из этих множеств некоторый (единственный) элемент другого множества. О двух эквивалентных множествах говорят также, что они имеют одииакозрю мощность. Запись Х = = У' означает, что множества Х н У имеют одинаковую мощность. вт Говорят, что мощность множества Х меньше, чвм мощность множества г (и пипгут Х с" лг), если множество Х эквивалентно части множества г и притом множества Х и Т не эквивалентны.

Натуральный ряд чисел О, $, 2, ... является множеством, и всякое множество, эквивалентное натуральному ряду, называется счетным, Мощность счетного множества обозначается Ц«. Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Часто она обозначается через )з. Очевидно, что Я» ~ (з. Еще Кантор доказал, что множество всех рациональных чисел счетно, а множество мощности континуума несчетно. Множество всех точек плоскости или трехмерного пространства имеет мощность' континуума. В 4878 г. Кантор высказал гипотезу') отом, что не существует множества, мощность которого была бы промежуточной между Я«и Ж. Зта гипотеза называется гипотезой континуума (или континуум-гипотезой). В конце прошлого века Кантору одно время казалось, что он может доказать эту гипотезу '), однако на самом деле ему это не удалось.

С тех пор возникла проблема континуума„ состоявшая в доказательстве или опровержении континуум-гипотеэы. Очень многие ученые — в том числе и крупнейшие специалисты в области теории множеств— занимались этой проблемой, но она оставалась нерешенной вплоть до недавних работ П. Коэна, доказавшего (в известном смысле) как раз ее неразрепшмость. Говоря о важности континуум-гипотезы, часто утверждают, что она дала бы возможность во многом упростить построение теории действительных чисел, а также теории функций действительного переменного; из-эа отсутствия ее в числе принятых предложений в этих теориях, а также в топологии возникают специальные проблемы, вызванные необходимостью отличать мощность континуума от «наименьшей несчетной мощности».

л) С. С а и $ о г, Сегаюю. АЬЬ., стр. 132.— Ырилв. ред. ») Кантор ие Раз обещал э своих статьях сообщить режвпке континуум-проблемы в одной пз следующих публикаций; наконец, ов даже обълзпл о вв решении (см. С. С а и» о г, Сом«шш. АЬЬ., сгр. 244). Подробную справку по истории»того вопроса в Х1Х столетии можно получить в кинге Ф. А. М е д э в д е э а «Ркгзптпе теории множеств в Х 1Х веке», М., 1965.— Прил«. ред. 68 Но, хотя это и верно, роль континуум-гипотезы проявилась скорее в качестве одной из главных целей многих исследований,чем в качестве средства для построения теорий.

(По этому поводу уместно вспомнить, что когда удается исключить нэ построения какого-либо фрагмента теории, например, аксиому выбора (см. ниже) не более дорогой ценой, чем та, которой мы расплачиваемся за неприятие континуум-гипотезы в упомянутых областях математики, то говорят, что этот фрагмент теории,по существу, не зависит от аксиомы выбора.) Множество Х называется линейно упорядоченныл«, если существует некоторое отношение В такое, что для двух различных элементов а и Ь, множества Х либо а находится в отношении В к Ь (в символах: аВЬ), либо Ь находится в отпошвкииВ к а (ЬВа), причем иэ аВЬ и ЬВе следует аВе, каковы бы ни были элементы а, Ь и с множества-Х.

Упорядоченное множество (с его отношением порядка В) называется вполне упорядоченным, если во всяком непустом множестве У, являющемся частью множества Х, имеется такой элемент а, что аВЬ для всякого отличного от а элемента Ь множества У. (Пустым многкеетеом называется множество, не содержащее ни одного элемента, скажем, множество всех чисел, являющихся одновременно четными н нечетными.) Всякое конечное множество можно рассматривать как вполне упорядоченное, также и натуральный ряд является вполне упорядоченным множеством (за отношение В можно принять отношение «(»). В теории множеств имеется постулат, именуемый аксиомой выбора. Он состоит в том, что для всякой системы % непустых множеств, попарно нв имеющих общих элементов, существует множество л»', имеющее с каждым множеством системы% в точностиоднн-едннственный общийэлемент.

Характеристики

Список файлов книги