Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 8
Текст из файла (страница 8)
35 Мы до сих пор занимались только вопросами об о си о в а х математических отраслей знания. Действительно, занятия основами науки имеют особую притягательнуи силу и изучение этих основ всегда принадлежит к наиболее почетным задачам исследователя. «Конечная цель,— так сказал однажды Вейерштрасс,— которую нужно всегда иметь в виду (пп Апйе ЬеЬа11еп), состоит в том, чтобы достичь правильной точки зрения на фундамент науки...».
«Вообще, чтобы проникнуть в науку, неизбежно заняться некоторыми отдельными ее проблемами». В самом деле, для плодотворного исследования основ науки необходимо глубокое понимание ее специальных теорий. Только тот строитель в состоянии прочно уложить фундамент здания, который сам глубоко понимает специальное назначение этого здания.
Займемся теперь специальными проблемами отдельных ветвей математики и обратимся прежде всего к Арифметике н Алгебре. 7. ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ Арифметические теоремы Эрмита о показательной функции и их развитие, выполненное Линдеманном, несомненно, останутся удивительными для математиков всех поколений. Но сейчас же появляется задача — пойти по проложенному пути дальше, как это уже сделал Гур' виц в своих двух интересных исследованиях «Об арифметических свойствах некоторых трансцендентных фуннций» '). Я хотел бы поэтому указать класс задач, на которые, по- моему, следовало обратить внимание как на ближайшие в этом направлении.
Когда мы узнаем, что некоторые специальные трансцендентные функции, играющие в анализе существенную роль, принимают при определенных алгебраических значениях аргумента алгебраические же значения, то это обстоятельство кажется нам особенно удивительным и достойным дальнейшего исследования. Мы всегда ждем, что трансцендентные функции при алгебраических значениях аргументов принимают, вообще ») А, Н пг»»1«х, ПЪ«г аг(1)инеи»сЬв Е(3«пгсЬ«йеп 3«Ж»вег «гапгсепдеп«»п Ршйнопеп, Ма«Ь. Авп. 22 (1883), 211 — 224; 32 (1888), 593 — 588 говоря, трансцендентные значения, и хотя нам хорошо известно, что существуют даже такие целые трансцендентные функции, которые для всех алгебраических значений аргумента принимают рациональные значения, мы все же считаем очень вероятным, что такая функция, как, например, показательная е'"*, которая, очевидно, для всех рациональных значен»п«аргумента г принимает алгебраические значения, с другой стороны, будет всегда принимать для всех алгебраических иррациональных значений г трансцендентные значения.
Этому высказыванию можно придать и геометрический облик следующим образом. Если в равнобедренном треугольнике отношение угла при основании к углу при вершине есть а «гвбраическое, но не рациональное число, то отношение основания к боковой стороне есть трансцендентное час.«о. Несмотря на простоту этого предложения, а также на его сходство с задачами, решенными Эрмитом и Линдеманном, его докааательство . представляется мне исключительно трудным, так же как и доказательство того, что степень аг при алгебраическом основании а и алгебраическом ирраг)испольном покагатаве (» — как, например, число 2»г или е" = 3 ив есть всегда иги трансцендентное число, или по крайней мере иррациональное. Можно быть уверенным, что решение атой и аналогичных проблем должно привести нас к новым методам и новым точкам зрения на существо специальных иррациональных и трансцендентных чисел.
8. ПРОБЛЕМА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В теории распределения простых чисел в последнее время сделаны существенные сдвиги Адамаром, Валле- Пуссеном, Мангольдтом н другими. Для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышакацих данной величины»' ), необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного угвержденли Римана:все нули рдунк3ии ь(г),'"определяемой рядом 1 1 1 ~(г) = '+ 2. + 3 —. + 4.-+... ') Мона«»Ьвг. дег Бв»Ь Ай., 1859 (русский перевод: Б. Р и м а в, Сочинения, Гост«хи»дат, 1948, 216 — 224.
— Прим. р«д.). имеют ггщестгенную часть, равную г/«, если ке считать известных отрицательных целочисленных нулей г). Как только это доказательство будет получено, то дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы использовать бес. конечный ряд Римана для более точного определения числа простых чисел н в особенности выяснить, будет ли разность Л4гхсду числом простых чисел, мгкыиих данного числа х, и интггральныл« логари94мол« от х дгуствитсгьно нг гышг половинного порядка при нгограничгкно гограстающгл« х«); далее, действительно ли те члены формулы Римана, которые зависят от первых комплексных нулей функции ь (г), обусловливают то сгущение простых чисел, которое обнаружено при подсчете пгсла простых чисел. Возможно, что после исчерпывающего исследования формулы Римана для простых чисел наступит, наконец, такое положение, когда можно будет дать строгое решение проблемы Гольдбахаг) «каждое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисель«), а также ответить на известный вопрос: существует ли бесконечное множество пар простых чисел с разностью, равной 2, — и, -наконец, решить еще более общую проблему: всегда ли разрешимо в простых числах линейное днофантово уравнение +Ьу+с = О с данными целыми попарно взаимно простыми коэффициентами а, Ь,с.
Однако не менее, а возможно и.более, интересной представляется мне задача — перевести результаты, получгнкыг для распределения рациональных простых чисел, на теорию распределения простых идеалов г гаданнол«числовол« иоле к — задача, которая возникает прн изучении ') В 1896 г. Ад а м а р (Вп1!. Яос. Ма«Ь. Ргапсв24 (1896), 199— 220) к Ш. Ж. В а л л в - П у с с е ~ (Апп. Яв !а Яос. гс1«п.
Йг ВгпхвПвг 20 (1896), 183 — 256) пегввиспма друг от друга домазали, что Ь(и+гг) яввмгвгпулейна прямих и = 1 ив = О. Овнпокагалй, что зто экзввглеггяо асямптотячвскаму гвкопу распределения простых чксаз: я (х) И х (х ).— Ырмм. р«д. «) (Ср. Н. г. К о с Ь, Ма«Ъ. Апп.
55 (1902), 441 — 464.) г) Ср. Р. Я га с Ь «1, ОЪ«г Со16Ь«сЪз вшр!гысЬ«г ТЬвогеш, !часЪг. С«в. 7Ч(гг. Обгмп3«п, 1896, 292 — 299 и Е. Ь а и 4 а и, ОЪвг 6!е заЫ«п«ЪвоггЫвсЬе Рппййоп е(я) опй )Ъге ВеаЬппл гпш СоЫЪвсЬ«сЬ«п Яагзв, там шг, 1900, 177 — 186. «) Х. Гопъдбах сформулировал ге в своем письме к Зйявру ьг 7 валя 1742 г. — Прим. ред, 38 функции, принадлежащей числовому полю 1 1«(г) = ~ —., и (/) где сумма распространяется на все идеалы у данного чис- лового поля )с, а п(1) означает норму идеала !.
Я назову еще три специальные проблемы иэ теории чисел, именно: одна о законе взаимности, вторая о диофантовых уравнениях и третья из области квадратичных форм. 9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАИБОЛЕЕ ОБЩЕГО ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ В ЛЮБОМ ЧИСЛОВОМ ПОЛЕ Требуется доказать гаком взаимности для стпгпеннйх вычетов 1-го порядка в любол«числовом пале, если ! — нечетное простое число и если 1 есть целая степень числа 2 или степень нечетного простого числа. Установление этого закона, а также и основные средства для его доказательства, я думаю, определятся, если соответствующим образом обобщить изложенную мною теорию полей корней 1-й степени из единицы '), а также мою теорию относительно квадратичного поля '), 10.
ЗАДАЧА О РАЗРЕШИМОСТИ ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого зозл«охско восле конечного числа опграций установить, рагргигил«о ли гто уравнение в целых рацивна,«ьных числ.ах. г) ОЪ«г 41е ТЪеог)е 4)вг «19«Ьга(гсЬвп 2«ЬЫсозрег, !аЬгггЪ«г.
ВггсЬ. МаГЬ.-Чвг. 4 (1897) [явпвчатаяо з Сегашш. АЬЪ., 1, лй 7). ') Ма«Ь, Ашь 51 (1899), 1 — 127 и Иа«Ьг. Свг. Ж(зг. 0611(паев, 1898, 370 — 399 (ззп см. Сева шш. АЪЬ.,!, 394" «9, 10, кроме того, сразя. с пвявзвшвйвя вскоре докторской дкссгртвцпей С. В Й. с Ь 1 в, С01- 11пйчп, 1901, !). Ч. Рй 13). 39 11. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Наше современное знание теории квадратичных числовых полей г) позволяет нам успешно рассматриеать теорию квадратичных форт с кроиееолькььм числим переменных и с кроигеольными алгебраическиаеи числоеыки коэффициентами. Отсюда мы, в частности, приходим к интересной задаче: данное квадратичное уравнение с произвольным числом переменных с алгебраическими числовыми коэффициентами разрешить в целых или в дробных числах, принадлежащих определенной алгебраической области рациональности, которая определяется коэффициентами уравнения.
Связующим звеном с алгеброй и теорией функций может служить следующая важная проблема. 12. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА ОБ АБЕЛЕВЫХ ПОЛЯХ НА ПРОИЗВОЛЬНУЮ АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНОСТИ Кронекером доказана теорема ') о том, что каждое абелево числовое поле в области рациональных чисел вкладывается в поле корней из единицы. Это основное предложение теории целочисленных уравнений содержит два утверждения, а именно: во-первых, из него получается ответ на вопрос о существовании и о числе уравнений заданной степени, заданной абелевой группы и заданного дискримянанта относительно области рациональных чисел и, в о-в т о р ы х, можно доказать, что корнитаких уравнений составляют область алгебраических чисел, которая в точности совпадает с областью, которая получится, если г) В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
