Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Только в этом смысле, по моему мнению, может быть строго чогическн осмыслено понятие континуума. Действителько, это, как мне кажется, соответствует также наилучвпзм образом тому, что нам дают опыт и наглядные представления. Тогда и понятие континуума, а также понятие системы всех функций, существует точно в таком же смысло, как и система целых рациональных чисел нли как канторовы классы и мощности высших порядков. Ибо я убежден, что существование последних в указанном мною смысле, так же как н существование континуума, можно будет доказать, в противоположность существованию системы всех мощностей вообще или также всех канторовых алефов, для которых, как это можно показать, нельзя построить непротиворечивую систему аксиом в моем смысле и которые, следовательно, в моих терминах являются понятием, математически несуществующим.
Из области оскованкй геометрии я хотел бы прежде мего указать на следующую проблему. 27 3. РАВЕНСТВО ОБЪЕМОВ ДВУХ ТЕТРАЭДРОВ С РАВНОВЕЛИКИМИ ОСНОВАНИЯМИ И РАВНЫМИ ВЫСОТАМИ Га сс') в у ) двух своих письмах к Герлннгу выражает сожаление по поводу того, что некоторые известные положения стереометрии зависят от метода исчерпывания, т. е., говоря современным языком, от аксиомы непрерывности (или от аксиомы Архимеда). Гаусс специально отмечает теорему Евклида, согласно которой объемы треугольных пирамид, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.
Аналогичная задача планиметрии ныне полностью решена '). !Решение задачи для плоскости было получено Фаркашем Войяи (1832 г.) н П. Гервином (1833 г.). — Прим. ред.) Герлингу з) удалось также доказать равенство объемов симметричных г анни р коз при помощи разбиения их на конгруэнт части. руэнтн! е Тем не менее, как мне кажется, в общем случае зательс докабом и тво упомянутой теоремы Евклида этим сп ровестн невозможно и это, но-видимому и "т особыть п в ожгт одтверждено строгим доказательством невозможности. Т акое доказательство можно было бы получи ть, если ы у алвсь указать такие два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые никаким способом нг могут быть раалсзсгны на конгруэнтныг тетра энтн эдры и которыг также нс могут быть дополнены кон. тными тетрагарами до таких многогранников, для ко гру нг '). которых разложение на конгруэнтныг тетраэдры вогмож- ') К. Р.
6 а и из, 'ЖегЬе, т. 8, стр. 241 н 244. з) Помимо более ранней литературы, сн. П. Н ! 1 Ь е г Х, Опшй- (зйзп йвг Сзошзхмз, (л(рх13, 1899 гя. Гг (русгкнй Г в Д. н л в б з р т, Основанйя геонзтрнн, Гвстзхнздат 1948 гл. 1 г'. — Прим. рвд.). ат, ° П ') К. Р. 6 з и з з, гг'егйе, т.
8, стр. 242. ) [ осле впугянкввання этой проблемы зз доказательство удалось привести Д е и у. См. его статью ()Ьег гаэш31е!сЬе Ро!уейгг, КасЬг. Сез. !Изз. 6811!пнев„1900, 485 — 478.) 345 — 354, а также Еапш1з1!ппйеп, Мз1Ь. Анп, 55 (1900), 28 4. ПРОБЛЕМА О ПРЯМОЙ КАК О КРАТЧАЙШЕМ СОЕДИНЕНИИ ДВУХ ТОЧЕК Постановка другой задачи, с которой мы встречаемся в основаниях геометрии, состоит в следующем.
Когда мы из всей системы аксиом, необходимых для построения обыкновенной евклидовой геометрии, отбрасываем аксиому о параллельных и принимаем, что все остальные аксиомы выполняются, а эта не выполняется, то мы, нак известно, приходим к геометрии Лобачевского (гиперболической геометрии). Мы можем поэтому сказать, что эта геометрия в некотором смысле является ближайшей к геометрии Евклида. Если мы потребуем далее, чтобы не выполнялась также аксиома, согласно которой из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими, то мы придем к геометрии Римана (эллиптической геометрии), которую в этом же смысле можно рассматривать как ближайшую к геометрии Лобачевского.
Если мы захотим провести аналогичное по существу исследование но поводу аксиомы Архимеда, то,приняв, что эта аксиома не выполняется, придем к нах)ыимгдовым геометриям, которые были исследованы Веронезе и мною'). Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается з следующем: возможно ли еще с других плодотворных гочек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии.
При этом я хотел бы обратить Ваше внимание на одно предложение, принимаемое некоторыми авторами даже за определение прямой линии, согласно которому прямая линия есть кратчайшее соединение двух точек. Содержание этого высказывания, по существу, сводится к предложению Евклида о том, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны; как легко видеть, теорема зта основана только на элементарных понятиях, т. е. таких, которые непосредственно получаются из аксиом и поэтому вполне доступны логическому исследованию.
Евклид доказал эту теорему о треугольнике г) Имеются в виду исследования В з р о н з з е «Рош1ашепп й1 ЕОШЕМ1а а РШ й(ШЕПЗ(ОВ1 Зй а РРЕ ЗРЗСЗЗ й1 Шиха Ш11П!НЗЕ ЗЗРОЗИ Ш огкш е1зшеп(зггг, Райьга„1891, н вышздшнв в 1899 г. нсглздовзннн Г н л ь б е р т а зй(е Овшй(айза йгг 6еошзмйзз. Вояее подробно о первых нссяедовзннях но нзкрхннедовыы геоыггрням см. В. чг. К аг а к зОсноззння гзгмзтрнн», Одесса, 1907.— Прим. рвд. 29 с помощью теоремы о внешнем угле, используя теоремы о конгруэнтности.
Нетрудно, однако, убедиться в том, что для доказательства этой евклидовой теоремы н е д ос т а т о ч н о тех предложений о конгруэнтности, которые относятся к откладыванию отрезков и углов, а необходима еще теорема о равенстве треугольников.
Таким образом, возникает вопрос о такой геометрии, в которой выполняются все аксиомы обыкновенной евклидовой геометрии и, в частности, все аксиомы конгруэнтности, за исключением одной аксиомы о конгруэнтности треугольников (или за исключением предложения о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника), и в которой, сверх того, принимается отдельная аксиома о том, что во всяком треугольнике сумма двух сторон больше третьей. Оказывается, такая геометрия действительно существует и это ие что иное, как геометрия, которую установил Минковский в своей книге «Геометрия чисел» г) н которую Т он полояпгл в основу своих арифметических исследований. аким образом, геометрия Минковского является также одной из ближайших к обыкновенной евклидовой геометрии.
В основном эта геометрия характеризуется следующими основными положениями. Во-первых, совокупность точек, равноотстоящих от определенной точки С, изображается выпуклой замкнутой поверхностью в обыкновенном евклидовом пространстве с центром в точке О. т Во-вторых, два отрезка называются равными друг др гу акже и в том случае, если один из них может быть совме- У щен с другим параллельным переносом евклидова пространства. В геометрии Минковского имеет место аксиома о параллельных. В одном исследовании, посвященном вопросу о прямой линии как кратчайшем соединении двух точек г), мне удалось построить геометрию, в которой н е в ы п о ли я е т с я аксиома параллельности, в то время как все остальные аксиомы геометрии Минковского выполня|отся.
Мне представляется очень желательным построение и систематическое исследование всех возможных здесь геометрий ввиду того большого значения, которое имеет предложение о прямой как кратчайшем соединении двух 1) Н. М 1в )г он з)с 1, Сгожг(Пе бег ЕгЫев, 1в(рий, 1896. ') Ма()ь Аш1. 48 (1895), стр.
91. (См. также Д. Г в л ь б е р т, Огкогкпкк геометрии, Гостехкздат, 1948, добазлевке 1, стр. 195.— ЛР . до) 30 точек и (по существу ему эквивалентное) предложение Евклида о сторонах треугольника не только в теории чисел, но также и в теории поверхностей и в вариационном исчислении. Я думаю, что обстоятельное исследование условий существования этого предложения прольет новый свет и на понятие расстояния, а также на другие элементарные понятия, как, например,.понятие плоскости и воэможности ее определения с помощью понятия прямой.
В случае плоскости, если принять и аксиому непрерывности, указанная проблема приводит к задаче, поставленной Дарбу '): н а й т и на плоскости все вариационные задачи, решениями которых являются все прямые линии на плоскости. Эта постановка вопроса кажется мне реальной и богатой далеко идущими обобщениями '). ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛИ, ВЕЗ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ГРУППУ Как известно, Ли, опираясь на понятие непрерывной группы преобразований, построил систему аксиом геометрии и на основании своей теории групп преобразований доказал, что зта система аксиом достаточна для построения геометрии. Поскольку Ли, развивая свою теорию, всегда принимает, что функции, определяющие группу, можно дифференцировать, то в этих исследованиях Ли остается невыясненным вопрос, является ли требование дифференцируемости необходимым для построения аксиом геометрии или оно не более как следствие понятия группы и остальных геометрических аксиом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
