Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таков мнение, поддерживаемое иногда н выдающимися умами, я считаю совершенно ложным. Такое одностороннее толкование требования строгости быстро приводит к игнорированию всех понятий, возникших из геометрии, механики, физики, приостанавливает приток [в математику — П. А.) нового материала из внешнего мира и, в конце концов, приводит даже к отбрасыванию понятия континуума и иррационального числа. А существует ля более важный жнэненный нерв, чем тот, который был бы отрезан от математики, если иэ нее изъять геометрию и математическую фиэику? Я, напротив, .считаю, что всякий раэ, когда математические понятия эарождаются со стороны теории познания или в 18 геометрии, или в естественнонаучных теориях, перед математикой возникает задача исследовать принципы, лежащие в основе этих понятий, н так обосновать эти понятия с помощью полной и простой системы аксиом, чтобы строгость новых понятий и их применимость к дедукции нн в какой мере не уступала старым арифметическим понятиям.
К новым понятиям относятся также новые обоэначення. Мы их выбираем таким образом, чтобы они напоминали те явления, которые послужили поводом для образования этих понятий. Так, геометрические фигуры являются образами для напоминания пространственных представлений и в качестве таковых применяются всеми математиками. Кто не связывает с двумя неравенствами а ~ Ь ) > с между тремя величинами а, Ь, с образ тройки прямолинейно расположенных н следующих друг за другом точек в качестве геометрической интерпретации понятия «между»? Кто не польэуется образом вложенных друг в друга отрезков и прямоугольников, если нужно провести полное и строгое докаэательство трудной теоремы о непрерывности функций нли существования предельной точки? Кто может обойтись беэ фигуры треугольника, окружности с эаданным центром нли беэ тройки взаимно перпендикулярных осей? Или кто хотел бы отказаться от образа векторного поля нли семейства кривых, или поверхностей с их огибающей — понятий, которые играют такую существенную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основах вариацнонного исчисления и в других чисто математических областях энания? Арифметические знаки — это э вписанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы, н никакой математик не мог бы обойтись беэ этих нарисованных формул, так же как н не мог бы отказаться прн счете от заключения в скобки илн нх раскрытия нли применения других аналитических знаков.
Применение геометрических фигур в качестве строгого средства докаэательства предполагает точное знание н полное владение теми аксиомами, которые лежат в основе теории этих фигур, н поэтому для того, чтобы эти геометрические фигуры можно было включить в общую сокровищницу математических знаков, необходимо строгое аксиоматнческое исследование их наглядного содержания. Подобно тому как при сложении двух чисел нельзя подписывать цифры слагаемых в неверноц порядке, а нужно строго следовать правилам, т.
е. тем аксиомам арифметики, которым подчиняются арифметические действия, так и операции над геометрическими образами определяются теми аксиомами, которые лежат в основе геометрических понятий и связей между ними. Сходство между геометрическим и арифметическим мъпплением проявляется также и в том, что в арифметических исследованнях мы так же мало, как и при геометрических рассмотрениях, прослеживаем до конца цепь логических рассуждений, вплоть до аксиом. Напротив, в особенности при первом подходе к проблеме, мы и в арифметике, совершенно так же как н в геометрии, сначала пользуемся некоторым мимолетным, бессознательным, не вполне отчетливым комбинированием, опирающимся на доверие к некоторому арифметическому чутью, к действенности арифметических анаков, — без чего мы не могли бы продвигаться в арифметике точно так же как мы не можем продвигаться в геометрии, не опираясь на силы геометрического воображения.
Образцом арифметической теории, оперирующей строгим образом с геометрическими понятиями и знаками' ), может служить работа Минковского «Геометрия чисел» '). ностей к Сделаем еще несколько замечаний относительно труостей, которые могут представлять математические про- дблемы, и о преодолении зтих трудностей. Если нам не удается найти решение математической проблемы, то часто причина зтого ааключается в том, что око мы не овладели еще достаточно обшей точкой рен зр ия, оторои рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным авеном в цепи родственных проблем.
Отыскав эту точку арения, мы часто не только делаем более доступной для исследования данную проблему, но и овладеваем методом, применимым и к родственным проблемам. Прин г мерами могут служить введенное Коши в теорию опре елено о интеграла интегрирование по криволинейному пути д ни установление Куммером понятия идеала в теории чисел. Этот путь нахождения общих методов наиболее удобный и надежный, ибо, если ищут общие методы, ке имея в виду г) Автор «санат«а»но говорит то о геометрнческнх фигурах, то о геометрических «знаках» (Ее)сьев).— Прим.
П. А. в) Хе!рв)К, 18З6. 20 какую-нибудь определенную задачу, то зти поиски, по большей части, напрасны. При исследовании математических проблем специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль, чем обобщение. Возможно, что в болыпннстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще не разрешены вли не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная.
Тогда все дело заключается в том, чтобы найти зти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению. Это правило является одним иа самых мощных рычагов для преодоления математических трудностей, и мне кажется, что в болъшинстве случаев этот рычаг и приводят в действие, подчас бессознательно. Вместе с тем бывает и так, что мы добиваемся ответа при недостаточных предпосылках, илн идя в неправильном направлении, и вследствие зтого не достигаем цели. Тогда возникает задача доказать неразреппамость данной проблемы при принятых предпосылках и выбранном направлении.
Такие доказательства невозможности проводились еще старыми математиками, например, когда онн обнаруживали, что отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треуголъника к его катету есть иррационалъное число. В новейшей математике доказательства невозможности решений определенных проблем играют выдающуюся роль; там мы констатируем, что такие старые и' трудные проблемы, как доказательство аксиомы о параллельных, как квадратура круга нли решение уравнения пятой степени в радикалах, получили все же строгое, вполне удовлетворяющее нас решение, хотя и в другом направлении, чем то, которое сначала предполагалось. Этот удивительный факт наряду с другими философскими основаниями создает у нас уверенность, которую разделяет, несомненно, каждый математик, но которую до сих пор никто не подтвердил доказательством,— уверенность в том, что каждая определенная математическая проблема непременно должна быть доступна строгому решению ') ') Это столь определяющее для всего научного мнренсавренна «альберта утвержденна мы считаем нужным привести н подлннннке: «...61е ОЬегвеааина, дава еш )е«)ев Ьевпшшсе шавЬешапвсЬ« РгоЫ«к е«пег вггепкел ег)е«пшел аох««еш)12 %из веш шаве».— прим.
и. А, 21 или з том смысле, что удается получить ответ па поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить. Представим себе какую-либо нерешенную проблему, скажем, вопрос об иррациональности константы С Эйлера— Ыаскерони или вопрос о существовании бесконечного числа простых чисел вида 2" + 1. Как ни недоступными представляются нам зти проблемы и как ни беспомощно мы стоим сейчас перед ними, мы имеем все же твердое убеждение, что их решение с помощью конечного числа логических заключений все же должно удаться.
Является ли эта аксиома разрешимости каждой данной проблемы характерной особенностью только математического мышления кли, быть может, имеет место общий, относящийся к внутренней сущности нашего разума закон, по которому все вопросы, которые он ставит, способны быть им раэрешимы3 Встречаются ведь в других областях знания старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я вспоминаю проблему о регре1ппш шой11е (вечный двигатель) ').
После напрасных попыток конструирования вечного двигателя стали, наоборот, исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что регреФппш шоЫе невозможно. И эта постановка обратной задачи привела к открытию закона сохранения энергии, из которой и вытекает невозможность регрегппш шоЬ11е в первоначальпом понимании его смысла. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас болыпвм подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: в о т проблема,ищи решение. Ты можешь найтя его с помощью чистого мышления; ибо в математике не сушествует 1япогаЬ)шпз) '). ) Ср.
Н. Н о 1 шЬ о 11 а, 0Ьог йе ЖаоЬла)ечтйшз бог Каьит Ьта1ао шЫ йе баеаа1 ЬоабзПоЬоп поааачопЕглпм1ипра бог РЬуа0с, доклад а Коккгоберго, 1884 (руооккй перевод: аО ваакмодайоталп окл пркродыа, в сб. Г. Г а л ь и г о л ь и, Популаркно рачк, пад. 2, ч. 1, СПб., 4898.— Прим. род.). ') Си. опаску ка отр. 8.— Прим. род. 22 Неизмеримо множество проблем в математике, я как только одна проблема решена,на ее место всплывают бесчисленные новые проблемы. Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследованвв которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
