Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Н 11 Ь е г 1, ОЬег е(еп В(г(сЫергсЬеп Ь1озайгаГ(жйеп ЕаЫ- (гогрег, МзГЬ. Апп. 45 (1894), 309 — 340; ОЬег 4)е ТЬеоме йег ге1а- Г(гчпзйаг)гсЬеп ЕгЫгогрег, ХаЬгееЬег. ОГесЬ. МаГЬ.-гег. 6(18991, 88 — 94 и МаГЬ. Аш1. 51 (1899); ОЬог Же ТЬеог1е 6ег ге)аг(г АЬе1- гсЬеп Когрег, )ЧвсЬг. Сев. %1вв. Сомш9еп, 1898 (клк В. Н 1 1- Ь е г 1, Счеошкь АЪЬ., 1,,%М 5, 8, 9, 10).
') Ввг. бег К.А)сай. бег%(ге. зп ВегВп, 1853; 151е(., 1877. Доказательство Кронекера ке полно. Полное доказательство теоремы дал Г. В е 6 е р, АсГа МаГЬ. 8 (1886); 9 (1887). — Прим. рег. 40 в эксконенцнальную функцию е' * от аргумента г вместо последнего последовательно подставить всевозможные рациональные числовые значения. П е р в о е утверждение связано с вопросом об определении некоторых алгебраических чисел их группой и ветвлением; этот вопрос, таким образом, связан с иавестной проблемой об определении алгебраической функции на заданной римановой поверхности.
В т о р о е утверждение вводит требуемые числа трансцендентным способом, акменно с помощью зкспоненцнальной функции е'"*. Так как простейшей после области рациональных чисел является комплексная квадратичная числовая область, то воаникает задача доказать и для этого случая теорему Кронекера. Кронекер сам высказал утверждение, что абелевн уравнения задаются в области комплексного квадратичного поля уравнениями преобразования эллиптических функций с особым модулем, так что роль экспоненциальной функции в предыдущем случае здесь играет эллиптическая функция. Доказательство предположенкя Кронекера до сих пор не найдено. Тем не менее я считаю, что оно может быть проведено без особых трудностей на основе теории комплексного умножения, развитой Вебером '), и с учетом доказанных мною чисто арифметических теорем о классах полей.
И, наконец, исключительное значение я придаю распространению теоремы Кронекера на тот случай, когда елесто области рациональных чисел или комплексной кеадратичной области е основу кеадетсл кроиееолькое олгебраи ческое числовое коле е качестее области рациональности. Я считаю зту проблему одной иэ наиболее глубоких и далеко ведущих проблем теории функций. Проблема эта представляется доступной с разных сторон. Важнейшим ключом к решению арифметической части проблемы я считаю общий аакон взаимности степенных вычетов 1-го порядка внутри произвольно ааданного числового поля.
Что касается теоретико-функциональнок части проблемы, то исследователю следует. пойти по очень привлекательному пути той поразительной аналогии, какая ') ЕП(р11зсЬе рппЬ11опеп шк1 а18оЬга(гсЬеп ХаЫеп, ВгаппесЬке16„ 1891. число суперпозиций функций двух аргументов. Так, например, каждая рациональная функция от произвольно большого числа аргументов принадлежит к классу тех функций, которые возможно построить с помощью номограмм, ибо такая функция осуществляется посредством операций сложения, вычитания, умножения и деления, а каждая такая операция представляет функцию только двух аргументов. Легко вцдеть, что к рассматриваемому классу функций принадлежат также корни всех тех уравнений, которые разрешимы в обычной области рациональности с помощью извлечения корня, так как здесь к четырем основным операциям присоединяется еще лишь операция извлечения корня, которую можно рассматривать как функцию о д н о й переменной.
Аналогично общие уравнения пятой и шестой степеней разрешимы с помощью соответствующих номограмм; ибо в результате преобразований Чирнгауаена, которые со своей стороны требуют только извлечения корня, зтн уравнения могут быть приведены к такому виду, где козффициенты зависят только от двух параметров. Вероятно, корень уравнения седьмой степени представляет собой такую функцию от его козффициентов, которая не относится к упомянутому классу функций, т. е. не может быть получена конечным числом суперпозиций функций двух аргументов.
Чтобы зто обнаружить, пришлось бы показать, что уравнение седьмой степени Р +х7г +У1' +сУ' + 1 = О неравреишмо с помощью каких-либо ненреривних Яункций зависящих только от двух аргументов. Что существуют вообще аналитические функции от трех аргументов х, у, з, которые не могут быть получены с помощью цепочки из конечного числа звеньев — функций, зависяп(их только от двух аргументов 1),— в этом я убедился (я хотел бы отметить зто) с помощью строгого рассуждения. ((' привлечением еще и подвижных злементов номография получает возможность построить также функции, зависящие больше чем от двух аргументов, как недавно показал Д'Окань ') по поводу уравненияседьмой степени.) ') Ипеютск и виду, по-вкдкиому, апалвтпческке фупкцвк двух аргукептоз.
— Прим. ред. г) 18пг 1а гего1пг(оп пошо8гарЬй(пе Йе 1'4Чпа11оп йп еергйше Йе8г4, С. г. Асай. гс(. 131 (1900), 522 — 524.) 44 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОНЕЧНОСТИ НЕКОТОРОИ ПОЛНОИ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ В теории алгебраических инвариантов, как мне кажется, особого интереса заслуживают вопросы, связанные с конечностью полной системы форм. Мауреру ') недавно удалось распространить доказанные 3Корданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной ее подгруппой. (.'ущественный шаг в этом направлении сделал сначала Гурвиц г), ему удалось с помощью глубоких соображений провести общее доказательство конечности ортог опальных инва риантов произвольной основной формы. Изучение вопроса о конечности системы инвариантов привело меня к простои проблеме, которая включает задачу'Ъ конечности инвариантов как частный случай и для решения которой необходимо, вероятно, значительно более тонкое, чем зто было до сих пор, изучение теории исключения и системы алгебраических модулей Кронекера.
Пусть дано некоторое число т целых рациональных функций Хы ..., Хж от и переменных х„..., х„: Хг = Л (хы хг,..., х„), Хг = 1г(х1 хг ° ° ° хи) Х =~ (хмх„...,х„). Всякая целая рациональная связь между Х„Х„..., Х,„, если в нее внесены зги их аначения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от х,, ..., х„. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от Х,„..., Хж, которые после подстановки (Я) приведут к ц е л ы м функциям от хы ..., х„. Каждую г) Ср. 811зпп8гЪег. Йег К. АЬай.
Йег ага. аа МбпсЬгп, 1899, 147 — 175 [а также МаГЬ. Апп. 57 (1903), 265 — 3131. г) СЬег йе Еггеп8пп8 йег 1пгамапгеп йпгсЬ 1п1вйгамоп, КасЬг. Сев. 97(гв. 6811(плеп, 1897, 71 — 90. 45 такУю Р~ц~о~альнрю фУнкцию от 7ь Х, Х которая после подстановки значений (Я) представляет целую функцию от хь, ...,х„, я буду называть относительнс: ц е л о й функцией от Х„Х„..., Хш. Каждая целая функция от Х„ Х„ ..., Хш есть, очевидно, и относительно целая; кроме того, сумма, разность и произведение относительно целых функций есть снова относительно целая функция.
Проблема заключается в следующем: установить, всегда ли воззь л воззьогкно найти такую конечную систему относительно целых функций от Хь, ..., Хш, черев которую лагкая другая относительно целая функциявыражается целым и рациональным обравогь. Зту проблему можно еще проще формулировать, если ввести понятие к о н е ч н о й о бл а от и цел о с т н о ст и. Конечной областью целостности я буду нааывать такую системуфункций, из которой можно выделить конечную часть функций, через которые остальные функции выражаются целым рациональным образом. Тогда наша проблема сведется к тому, чтобы показать, что совокупность всех относительно целых функций в любой области рациональности всегда составляет конечную область целостности.
А теперь можно легко упючнить проблему с пьеоретико-числовой точки зрения, если принять, что коэффициентами данных функций у„..., ~,„являются целые рациональные числа, и под относительно целыми функциями от „..., Хш понимать только такие рациональные Функции этих аргументов, которые после подстановки в них выражений (Я) превращаются в целые рациональные функ ии „..., х с целыми рациональными коэффициентами. ции Особенно простой случай атой уточненной проблемы следующий: Пусть даны т рациональных функций Хь, ...
одной переменной х с целыми рациональными коэффициентами и, кроме того, простое число р. Рассмотрим систему таких целых рациональных функций от х, которые можно представить в виде где 6 — целая рациональная функция аргумент в Х о ,„, а р — любая степень простого числа р. Из прежних моих исследований~) непосредственно вытекает, что все АЬЬ., М, № 161. ь) МаьЬ. Аьпз. 36 (1890), 485 [а также Р. Н ь 1 Ь а г ь Оааашш Ф 4Ь такие выражения при определенном показателе й образуют конечную область целостности; вопрос ааключается в том, справедливо ли зто предложение для всех показателей Ь, т. е. можно ли из выражений этого вида выбрать некоторое конечное их число, через которые все другие выражения этого вида при любом показателе )ь выражаются целым и рациональным образом.
Из областей, граничных между алгеброй и геометрией, я хочу назвать две проблемы. Одна из них относится к исчислительной геометрии (аЬхаЬ)елее Оеоше1г(е), а вторая — к топологии алгебраических кривых и поверхностей. 15. СТРОГОЕ ОБОСНОВАНИЕ ИСЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ШРБЕРТА Проблема состоит в том, чтобы строго обосновать, указав точные ераницы их пригьени.мости, те самые геозьеьпрические числа, которьье впервые определил Шуберт ь) на основе так нагываезьых принципов специального полохгения или сохранения числа в созданном игь исчислении а). Хотя современная алгебра обеспечивает в принципе выполнимость процесса исключения, но для доказательства законов исчислительной геометрии требуется аначительно больше, именно, необходимо провести исключение в случае, когда уравнения построены таким особым образом, что заранее задается степень окончательных уравнений и кратность их решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
