Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для кэрактерястпкя содвржапкя этого прояээвдекяя яеобходяме отметить, что Кпеээр вывел достаточпыэ условкя акстремума для ярэстейшей эвдачя в скучав, когда меняются границы яктегрпровкппя, и испольэовал огибающую семейства куквых, удовлетворяющих дифферэпцяэльяым уравнениям ээдачк, 57 вил вариационное исчисление с новой точки зрения н на современном уровне строгости.1 Вариационное исчисление в широком смысле — это учение об изменении функций, и в качестве такового оно оказывается естественным продолжением дифференциального и интегрального исчисления. При таком понимании, например,нсследованняПуанкаре опроблеме трех тел образуют главу вариацнонного исчисления, поскольку в ннх Пуанкаре из известных траекторий, обладающих некоторым свойством, с помощью принципа варьирования получил новые траектории, обладающие сходными свойствами. К общим замечаниям о варнацяонном исчислении, сделанным в начале моего доклада, я присовокуплю здесь короткое доказательство.
Простейшая проблема собственно вариационного исчисления, как известно, состоит в том, чтобы найти функцию у от х такую, чтобы определенный интеграл )ь е' = ~Р(у„, у, х)Ых [у„= — р1 а имел минимальное значение по сравнению с теми значениями, которые он принимает, если мы вместо у подставим дла дакаэнтааьстэа аэабхадниаста ухлопал Якоби дла сущаствазанва экстремума. Далев кэабхадаиа падчэркауть, чта Ккеэер в евсеи учебника приманка тэаркю Вейарштраааа ташке к вопросу аб экстремума велкчвн, оарадэлающахса дкффэреацаэльаыик урнвваккаик.) (Чтабы сделать понятней зысакую оценку, дэвкую Гвльбертаи работе Квазара, ахарэктэрвэуэи кратка встаркчеакую абсгэказкун сложившуюся з та врака з варанцкакааи асчксзэвка.
Вейэрштрасс рассмотрел простейшую ээднчу эаркэлкавкага нсчкелэзка аб экстремуме катагрэлн с ээкрэвлаввыик грнввцник, вэатага вдаль власкай кривой. В канде Х)Х з. появилось большое чаела статей, учебвккаэ, двасертэцзй, в которых раэзвээлксь к абабщэлксь ега ядав. В результата бьша саэднаа теория паля эвстреиалей, представляющая набей 'гкбввй интал для перэвэсеввн раэгльтатав нейерштрэааа вн общие зарвэцкаввыэ задачи.
Сваха рааат этого капрззлэкиа выделяется геометрическая тэариа Ккээера, аакаэаввна ва пладатэаркай иыалн распространять ян абщва энркацшшкыа задача понятия к заказы тэарка гэадаазчааках ливий ва павэрхкоств. Алэлагачна гауссавай кравалкаейкай скстэие каардвкат аа пазэрхкаатк Кнаэер ззеа в раасиатравяа кана экстраьшлэй и траяазераэлей. Тэк впервые был саэдак аппарат дна 7) шенин ээдачао экстраиуие автагрэлаэ а подвижными грашщаик.— рие.
перев.) 58 в него другие функции от х, принимающие на концах отрезка интегрирования те же значения. Обращение в нуль первой вариации з обычном смысле 61 = О дает для искомой функции у известное дифференциальное уравнение второго порядка — „"" — Г„= О [г„= —,", .У„= ф . (1) Чтобы детально исследовать необходимые н достаточные критерии наступления требуемого минимума, рассмотрим иниыэраа ь У=АР+(у.— р) Гр)ах а [ (Р' У' )' Р д я спросим, как выбрать функцию р от х и у, чтобы значение интеграла 1* не зав и с е л о о т в ы б р а н н о г о и у т и, т.
е. о т в ыб о р а ф у н к ц н и у от х. Интеграл )" имеет форму ь Г = ~ (Аух — В) Ых, е где А и В не содержат у, и обращение в нуль первой вариации (У = О в смысле, которого требует новая постановка задачи, дает уравнение дА д — + — =О дх ду т. е. мы получаем для функции р от х и у уравнение в частных производных первого порядка дРр д (рРр — Р) (1') дх др Дифференциальное уравнение второго порядка (1) и только что найденное уравнение в частных производных (1э) тесно связаны. Эта связь станет непосредственно ясной благодаря следующему простому преобразованию: ь б ) ~ (Рабу + Ррбр + (бух бр) Ур + (ух р) б~ р) ~х а ь ь ~ (Р Ьу + бу Ер + (у — р) бур) Их =41 + ~ (у» — р) М" с(х.
А именно, иы выведем нз зтого следующее: если мы найдем какое-нибудь аднаяараметричесяое семейстпо интегральных кривых дифференциального уравнения второго порядка (1) н затем образуем дифференциальное уравнение первого порядка У* — Р (х У). (2) решениями которого являются рассматриваемые интегральные кривые, то функция р (х, у) всегда будет интегралом уравнения в частных производных первого порядка (1«); и обратно, если р (х, у) обозначает какое-нибудь решение уравнения в частных проввво)Оных (1а), то все неособые решения дифференциального уравнения первого порядка (2) являются одновременно решениями дифференциального уравнения второго порядка (1); или, короче говоря, если ур = р (х, у) — дифференциальное уравнение первого порядка, являющееся интегралом дифференциального уравнения второго порядка (1), то р (х, у)— интеграл уравнения в частных производных (1*), н обратно; итак, интегральные кривые дифференциального уравнения второго порядка (1) одновременно являются характеристиками уравнения в частных производных первого порядка (1*).
Тот же результат мы получим также посредством простого вычисления, а ниенна, к етому результату нас приводят дифференциальные уравнения (1), соответственно ( ) в виде ум«Рр,р + уаРр,а+ Рр„„— Рд —— О, соответственно (р„+ рр„)Рр„+рР„„+ Р„з — Р„=О, где нижние индексы означают, как легко понять из записи, частные производные по х, у, р, у„. Отсюда видно, что высказанное утверждение справедливо. Ранее установленная и только что доказанная тесная связь между дифференциальным уравнением второго порядка (1) н уравнениями в частных производных первого порядка (1*), как ине кажется, имеет для вариацяонного исчисления основополагающее значение.
Действительно, из незавнсимостнннтеграла Г отпутн интегрирования вытекает ь ь ! (Рр + (у» — р) Рр (р)) пх = ) Р(у») ях> (3) а а если считать, что интеграл слева взят вдоль некоторой кривой у, а интеграл справа — вдоль интегральной кривой у уравнения у (х) = р (х, У). С помощью уравнения (3)' получаем формулу Вейерштрасса: ь ь ь ) Р(у )с(х — ~Р(у,,)Ых = )Е(у„р) йх„(4) а « « где Š— введенное Вейерштрассои выражение, зависящее от четырех аргументов у„, р, у, х: Е(у, Р) = Р(у.) — Р,— (у* — Р) Рр(Р).
Поскольку здесь все дело только в тои, чтобы упомянутую интегральную кривую у окружить в плоскости ху однозначным и непрерывным образом значениями соответствующей функции р (х, у), то проведенные рассмотрения непосредственно позволяют — без привлечения второй вариации, а только применением Ро1агепргозеззез к дифференциальному уравнению (1) — установить условие Якоби н ответить на вопрос, в какой мере зто условие в совокупности с условием Вейерштрасса Е) О необходимо и достаточно для наступления минимума.
лказанные рассмотрения») без громоздких вычислений можно перенести на случай двух и более функций и на случай двойного н многократных интегралов. Так, например, в случае двойного интеграла, взятого в области са, '> = ~ Р (за> зр» з> х> У)с»а ~з» = 6 > за = ") «Теоремой а ве»авксзмаатв», сформулированной в двадцать третьей нрабламв, Гяльберт щюдаюкаат насладаванвя Квазара па упращаюпа в абабщевкю методов вариацяавмага исчвалавия, развивав»теорию ~азя. В 1903 г. А.
Майер (А. М а у ег, Май. Авв. $6 (1903)) распрастравял теорему вв»авкскмастн Гюгьбарта на случай фувкпвй мяагях веуамеязых. Прв этом ав рассмотрел семейства зкстремалей з ярастраястзе, так называемые наля Майера. Обобщению теоремы яеаавясвмастя посвящена работа Гилъбарта (Р. Н 1 1 Ъ в г 1, Еаг айаг(а«(авзсаайвавп, МаФ. Азв. 62 (1906)). Продолж»швы работ Майера я Глльберта явилась статья Бальцз (О.
В а ! з а, Тгавз. Ааа>г. Ма«)>. 3аа. 7 (1906)). Метал Бальца а«казак на изучения поля экстрвмзлай. Иаалацававзя па атыакаюпа яаабхацвмых в достаточных условий»кстремума для заа бакса общих вариацяаявых»эдач составили так называемое «клаааячаскаа» язяравлавяа в зарвацназнам исчислении. Основа »тата язвравлаяня была ааздзяа, Кяезарам я Гкльбартам, раарабатзвщвю«тааряю поля акс»ремзлей. — ПР>«»ь а«)ме. 61 обращение в нуль первой вариации, понимаемое в обычном смысле, 61= О дает известное уравнение з частных производных второго порядка для искомой функции з от х и у (др,„ др,„ г д др дх ду ~ ~ ~х да~ ' Ъ дх„ ' * дт ~ (1) С другои стороны, рассмотрим интеграл 1* = ~ 0'+ ( * — Р) Р. + ( — Ч) Рч) ~' дР(р, д, г, х, ч) др дР (р, о, *, *, в) ~ дч испросим, как выбрать функции р и Ч от х, у, г, чтобы значение етого интеграла не зависело от поверхности, проходя- щей через данную замкнутую кривую, т.е.
от выбора функции с переменных х ну. Интеграл 1" имеет форму Р' = ~ (Аг„+ Взз — С) йо и обращение в нуль первой вариации 6Р' = О, понимаемое в смысле, который диктуется новой постанов- кой вопроса, дает уравнение дЛ дВ дС вЂ” + — + — =О дх дч ' дз т. е. для функций р и Ч трех переменных х, р, с мы получаем уравнение в частных производных первого порядка др„др, д(рр,+ чр,— р) (1Ф) Если мы к зтому уравнению присоединим еще уравнение в частных производных Ри +чр*=ч +Рч* получающееся нз уравнений -". = Р (х.
У ) , = Ч (х У, ), то уравнение в частных производных второго порядка (1) для функции з двух переменных х и у и система двух урав- нений в частных производных первого порядка (1*) и (1**) для двух функций р и Ч трех переменных х, у, а находятся между собой в таком же отношении, как в слу- чае однократного интеграла уравнения (1) и (1*). Из независимости интеграла У* от выбора поверхности интегрирования г следует $ (Р (Р, Ч) + (х. — Р) Р1 (Р, Ч) + (~д — Ч) Рд (Р, ЧИ ~(ю = = $ Р (з„, з„) аЪ, если предположить, что интеграл, стоящий справа, взят по интегральной поверхности Ы уравнений з = р(х, у, з), гд —— Ч (х, р, г), то с помощью атой формулы мы получаем тотчас же формулу ~Р(хз, |„)сКе — ~Р(з„, зз)Нв = $Е(з„, з„, Р, Ч)Ие, (з~, „,Р,Ч)= =Р(х,з,) — Р(Р,Ч) — (з Р)Р (Р,Ч) — ( ~Ч)Р (Р Ч) которая для двойного интеграла играет ту же роль, что формула (4) в предыдущем случае, и с помощью которой мы опять можем ответить на вопрос, в какой мере условие Якоби в соединении с условием Вейерштрасса Л) О необходимо и достаточно для наступления минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
