Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 15
Текст из файла (страница 15)
р«д. 74 Конечно, речь при этом идет о непротиворечивости полученной системы о т н о с и т е л ь к о некоторой исходной системы, которая в работе Мостовского содержит бесконечное множество индивидуумов, а в остальном может считаться достаточно близкой к системе Е или 2Р (т. е.
если непротиворечива исходная система, то непротиворечива и полученная). Как Гедель, так и Мостовский включали в свои системы аксиому фундирования. В своих работах Мостовский очень существенно пользовался индивидуумами, но можно было бы легко обойтись и без ких, отказавшись от аксиомы фундирования. Это связано с тем, что, при отказе от аксиомы фундирования, легко заменить индивидуумы х такими множествами х, которые отождествляются с (х) (в результате чего (м) отождествляется с ((х)) н т. д.; (х) означает множество, состоящее кз одного-единственного элемента х). Как было отмечено, работы Мостовского существенно зависят от использования индивидуумов или таких множеств, которые по своей природе чужды целям классической математики.
Это не означает, что и вопрос об их включении в систему чужд этим целям. Но континуум-гипотеза по самому своему существу относится к области фундированных множеств, так что то ее обобщение, недоказуемость которого доказывается методом Мостовского, можно считать слишком далеко идущим. Так или иначе, после работы Мостовского 1939 г. последовал ряд других работ в атом направлении (важнейшие из которых принадлежат опять Мостовскому), но обнаружилось, что от них еще очень далеко до доказательства независимости континуум- гипотезы. Принципиальная трудность, преодоленная лишь Козном, состояла в том, чтобы получить модель для Х кли для Хг, в которой имелись бы множества, существенно отличные от тех, которые имеются в упомянутой модели Гйделя (они называются «коксгпрукя«иенымм»). Очень важно было, чтобы в этой модели выполнялись аксиомы фундирования и чтобы класс индивидуумов был в ней вполне упорядочен (чего не было у Мостовского).
Последнее условие, с точки зрения воэможности модели, по существу ке отличается от того, чтобы этот класс был пуст. Шефердсон доказал в 1951 г, теорему (в несколько более общей форме полученную около того же времени автором этих строк), согласно которой такая модель (с 75 ! 1 некоторыми оговорками, отпадающими для системы ЕУ при надлежащем уточнении понятия «модели») должна быть «нестандартной», т. е.
класс ее порядковых чисел, упорядоченный отношением «меньше» этой модели, не может быть вполне упорядоченным по отношению к той «исходной» системе, средствами которой строится модель. Конечно, такая «нестандартность» возможна только благодаря тому, что не все множества порядковых чисел модели, имеющиеся в «исходною системе, будут представляться множествами модели.
Хотя «нестандартные» модели были давно известны (по существу, они были открыты Сколемом еще в начале 20-х годов), построение «нестандартной» модели, в которой именно в связи с ее «нестандартностью» имелись бы «неконструктивные» (в смысле Гбделя) множества, и вызывало те трудности, которые впервые (прзвда, другим путем) удалось преодолеть именно Коэну. (Модель Геделя была стандартной.) Как уже сказано, в 1963 г.
Паул Коэн доказал, что если непротиворечива система 2г', то к этой системе можно без проткворечия присоединить отрицание континуум- гипотезы. Коэн рассматривает систему УР, но, как и в случае с работой Гбделя,егорезулътаты переносятся наХ. Результаты Коэна распространяются и на системы с аксиомой выбора, и на системы с отрицанием аксиомы выбора, однако при отсутствии аксиомы выбора сама постановка континуум-проблемы утрачивает свою однозначность. Дело в том, что из аксиомы выбора вытекает эквивалентность следующих двух суждений: а) не существует мощностей, промежуточных между Я» и Ю, и р) мощность Ж совпадает с наименьшей мощностью Яд несчетного вполне упорядоченного множества. Поэтому континуум-гипотезу часто формулируют в виде Ю = Я1 или 2»* = Яд, но при отсутствии аксиомы выбора возможно, что эта формулировка не эквивалентна с«) и а) также можно называть континуум-гипотезой.
Независимость континуум-гипотезы в форме р) была доказана Коэном еще в 1963 г., но изложение содержало некоторые неясные места; однако его более поздняя публикация (Ргос. г(а«. Асад. Яс). НБА 50, № 6 (1963) и 51, № 1 (1964)) внесла ясность в эти вопросы (хотя формально в ней рассматривалась лишь модель для системы с аксиомой выбора, но можно было понять, как уточняется его предыдущая работа и в части, касающейся отрицания этой аксиомы).
В 1966 г. 76 вышла книга К о э и а «Бей «Ьеогу апд 1Ье соп«1пчэш-Ьуро«Ьез1э», М. У., 1966. В ней систематически рассмотрены все результаты, которые Коэну удалось получить его методом. В частности, для системы беэ аксиомы выбора доказана непротиворечивость (относительно ЕР) того утверждения, что континуум содержит дедекиндово подмножество %. Отсюда следует и нарушение я), ибо мощность Я«+ -~-% должна быть промежуточной между К«и б.
(Очевидно, Я«(Я«+% ( б; равенство К = Я +% невозможно, так как множество % с указанным свойством не может быть вполне упорядочено, а равенство Я + + % = б невозможно, так как без аксиомы выбора доказывается б + б = б, но (г«» +%) +(К«+%) не эквивалентно Я«+%. Это последнее утверждение легко вьггекает из указанного свойства % и того факта, что беэ помощи аксиомы выбора доказывается, что любое множество эквивалентно своей правильной части в том и только в том случае, когда оно содержит счетное подмножество.) Таким образом, и вопрос о независимости континуум- гипотезы в форме а) был фактически решен в работах Коэна. (Следует заметить, что сам Коэн отмечает не столько нарушение а), сколького обстоятельство, что континуум вовсе не может быть вполне упорядочен; этонепосредственно вытекает из наличия в нем дедекиндова подмножества.) Эти результаты (как отмечали уже их авторы)„переносятся я на расширения системы Е, получаемые путем присоединения аксиом о существовании так называемых нгдостизгиныл кардин«ь«ьвнл чисел.
При атом регулярныг«и называются такие алефы, т. е. мощности вполне упорядоченных множеств, которые не представимы в виде суммы— пли, что то же, предела — менъшего числа меньших множеств; предельными называются алефы, не имеющие непосредственно предшествующих им (по мощности) алефов; недостижимыми называются предельные регулярные алефы ) Я«. Аксиомы о недостижимых числах родственны аксиоме бесконечности и иногда называются «сильными аксиомами о бесконечностю.
Их независимость легко доказывается, непротиворечивость же составляет одну из глубоких проблем оснований теории множеств. (Аксиома бесконечности может быть представлена, например, как аксиома о существовании множества всех натуральных чисел, и в таком случае она становится аксиомой свертывания. Можно присоединять много аксиом разной силы о сутцествовании недостижимых чисел, и по крайней мере простейшие из них можно представлять в виде аксиом свертывания.) Известная теорема о счетности суммы счетного множества счетных множеств зависит от аксиомы выбора.
Коэн в своей книге доказывает непротиворечивость утверждений о том, что Ял, а также континуум могут быть представлены в виде суммы счетного множества счетных множеств. Таким образом, при отсутствии аксиомы выбора Ял может быть нерегулярным. В 1964 г. молодой чешский ученый Петр Вопенка предложил новый способ построения моделей для системы Х, позволяющий, помимо прочего, заново получить результаты Коэна. При этом указанное утверждение о промежуточных мощностях (для системы с аксиомой выбора) доказано и для любых так называемых «регулярных» Я, т.
е, между Я и 2®* в некоторой моделиимеется много промежуточных мощностей. Доказано также (для той же системы), что 2к может быть недостижимым кардинальным числом, если такие числа существуют. (Этот результат имеется и в упомянутой книге Коэна.) С друтой стороны, автор этих строк еще в 1959 г. в связи со своей ультраинтуиционистской программой обоснования систем ЕР и Х (т. е, программой, направленной на доказательство непротиворечивости этих систем) покааал, что его способ обоснования этих систем попутно приводит к доказательству независимости аксиомы выбора н континуум-гипотезы в форме а) (см; сборник 1п1лшВ1зйс шеИлодз, Ч'агзхалга,1961, 201 — 223; готовится к опубликованию обширное изложение пересмотренного варианта атой теории, содержащее доказательство непротиворечивости системы ЕР).
По поводу взаимоотношений между я) и р) следует заметить, что основанное на аксиоме выбора отождествление этих формулировок использует не столько саму аксиому выбора, сколько ее следствие Кл ч" 2» . Недоказуемость этого следствия (в смысле Цермело — Френкеля) без помощи аксиомы выбора доказана в упомянутой книге П. Коэна. Вопенка доказал также, что для любых регулярных алефов Ил и К.
таких, что К ~ Кл, равенство 2" = Ял непротиворечиво относительно Х с аксиомой выбора; к Х 7З можно при этом добавлять любые 'аксиомы о недостижимых числах. Имеется существенное различие между работами Коэна и Вопенкн. Коэн строит стандартные модели; его доказательство непротиворечивости основано на построении моделей, в которых выполняется лишь произвольное конечное множество аксиом ЕР, чего, впрочем, достаточно для целей доказательства непротиворечивости всей системы (ибо противоречие вытекало бы из конечного числа аксиом). Для того чтобы получить модель для всей системы в целом, Коэну приходится пользоваться одной дополнительной аксиомой (о существовании счетной стандартной модели для ЕР), которая может быть выведена из ак'сиомы о недостижимом числе.
Большего он со своими стандартными моделями не мог бы достичь в силу теоремы Шефердсона. Для Е он вовсе не мог бы построить модели (с интересующими его свойствами) средствами Е. Вопенка же строит нестандартные модели, и ему удается получить модель для Х (с указанными свойствами) средствами Х. Для доказательства непротиворечивости это не дает никаких существенных преимуществ, но это является вкладом в теорию моделей. Вопросы непротиворечивости и наличия модели связаны между собой таким образом, что каждый из ннх можно считать лишь средством для рассмотрения другого, а для моделей всегда существенно, какими средствами они построены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
