Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 17
Текст из файла (страница 17)
КО ВТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬВЕРТА А. С. Ксении-Вольпин На грани Х1Х и ХХ вв. арифметика стала аксиоматкческой наукой. Пеано ввел для арифметики следующую систему аксиом ') [число 0 и операция ' (оаначающая переход к «числу, непосредственно следующему за х») являются первоначальнымк понятиями|: 1) каково бы ни было число а, число а" + 0; 2) каковы бы ни были числа а и Ь, иэ а' + Ь" следует а+Ь; 3) каково бы ни было свойство Р, выражаемое в терминах первоначальных понятий с помощью логических операторов, если число 0 обладает свойством Р и для любого числа и иэ того, что п обладает свойством Р, следует, что и число и' обладает свойством Р, то всякое число обладает свойством Р («принцип полной индукции»).
Конечно, термин «число» относится эдесь только к натуральным числам. Он не рассматривается как первоначальное понятие потому, что, кроме (натуральных) чисел, в этой аксноматической теории нет никаких других объектов. По»днев окаэалось, что для вполне строгого построения арифметики натуральных чисел необходимо ввести в качестве дополнительных первоначальных понятий ь) Система аксиом Не«ко была екублкксиеке к 1891 г.
(1(1- т(з«а 81 шах, Тэтш, ш 1, 1891). За трк года до »тоге (в 1888 г.) екилогкекик система быке лредлошеке Р. Дедвкккиом (бевашш. ша«Ь. %«г)ов, 111, 359 — 361, В»вилис)еие1л, 1933).— Ырии. род. операции сложения и умножения с аксиомами: а + О = а, а + Ь" = (а + Ь)', а О = О, а ° Ь'=а ° Ь+ а, где а н Ь означают произвольные числа. В связи с атой системой аксиом, как и в связи со всякой другой системой, возникает проблема ее непротивореп~- вости. Особенность постановки этой проблемы в применении к арифметике натуральных чисел состоит в следующем: непротиворечивость многих других теорий, например теории целых и рациональных чисел, может быть сведена к непротиворечивости теории натуральных чисел посредством построения некоторой «интерпретации» нли «модели».
Но для арифметики натуральных чисел уже не существует более простой модели. Поэтому непротиворечивость арифметики натуральных чисел (которую я буду в дальнейшем называть просто «арифметикой») должна быть доказана непосредственно. С этой целью (а также имея в виду более трудную задачу установления непротиворечивости аксиоматики теории множеств) Гнльберт построил специальную теорию доказательств. Эта теория основана на том, что всякое предложение арифметики может быть записано в виде формулы некоторого специального логнко-арифметического языка. Каждое умозаключение из числа тех, на которые распадается любое доказательство, является переходом от одних предложений (посылок) к другим (заключениям), и этот переход происходит по правилам формальной логики. А это значит, что если посылки и заключения записать в виде формул упомянутого языка, то тот факт, что они действительно являются посылками и заключениями, может быть установлен с помощью совершенно четких приемов, основанных на рассмотрении структуры записи этих формул.
Согласно теории доказательств на формулы (в частности на те, которые выражают на этом логике-арифметическом языке аксиомы арифметики нли логики) следует смотреть как на простые ряды знаков, и в терминах только что упомянутых «четких приемов» можно сформулировать, при каких условиях последовательность формул представляет собой «доказательстзо».
При этом противоречие представляет собой пару формул', нз которых одна является «отрнцанием» другой. Кроме того, по правилам той логики, которая подразумевается в этой аксиомати- 84 ческой арифметике, иэ противоречия можно вывести любое предложение этой теории, в частности, предложение 0 = 1 (где 1 есть сокращенное обозначение числа О"), Таким образом, непротиворечивость арифметики означает невозможность получить в ней доказательство предложения О = 1. Это понятие противоречия является достаточно четким для того, чтобы считать, что проблема доказательства непротиворечивости состоит в доказательстве несуществования объекта достаточно ясной природы.
Такое доказательство будет представлять ценность для обоснования арифметики, если оно будет свободно от некоторых принцвпов, которые считаются спорными. В начале этого столетия, когда зарождалась гильбертовская теория доказательств, спорным считалось употребление идеи бесконечности, в особенности в том виде «актуальной бесконечности», в каком подразумевалась эта идея при обосновании закона исключ«якого третьего, выражаемого аксиомой: «А нли не А». Поэтому Гильберт пытался найти такое доказательство непротиворечивости арифметики, которое вовсе не использовало бы понятия бесконечности (в этом состоит сущность «фивитястского» подхода Гильберта).
Гнльберту н его ученикам удалось получить ряд интересных результатов в этом направлении; однако все время та нли иная часть трудностей оставалась непреодоленной. В 1931 г. Курт Гбдель фактически доказал невозможность положительного решения задачи о непротиворечивости арифметики гиль бертовскими финитными методами. Но, поскольку главным объектом критики оснований арифметики являлся закон исключенного третьего, можно было считать, что Гйдель в 1933 г.
решил задачу обоснования арифметики. Именно, он доказал, что если некротиеоречиеа иктуиииокиетекаа арифметика (т. е. арифметика, в которой не постулируется закон исключенного третьего), то кеиротиеоречиеа и классическая арифметика (с законом исключенного третьего). Доказательство Геделя сравнительно несложно (см., например, К л н н и, Введение в метаматематкку, ИЛ, 1957, $81) и получено на пути, еще раньше намеченном А.
Н. Колмогоровым. В 1936 г. Генцен доказал непротиворечивость классической арифметики, не пользуясь предположением о непротиворечивости интуиционистской арифметики, а также законом исключенного третьего, ко зато использовав другие средства, выходящие за пределы тех, которыми хотел пользоваться Гильберт. В 1941 г. П. С. Новиков получил тот же (а фактически более сильный) результат, пользуясь, однако, еще более сильными средствами. После этого проблема обоснования классической арифметики считалась решенной. Следовало бы, однако, выражаться осторожнее, так как преодолены были только известные трудности, связанные с понятием бесконечности. Но имеются в основаниях арифметики и такие трудности, которые вовсе не связаны с этим понятием бесконечности.
На них в свое время указывали Борель и А.Пуанкаре (упоминавший в своей книге «Наука и методэ, 1908, о том, что многие исследователи встречали порочные круги при попытках обоснования принципа полной индукции), а э 1956 г.— Ван-Данциг, работа которого называется: «Является лн число 10'э»» конечным7». Упомянутые здесь трудности связаны с тем, что воэможность аксиом о сложении и умножении не представляется очевидной, если под натуральными числамк понимать элементы О, 0", 0'", ... Как д о к а э а т ь, что в этом ряду содержится число, равное 10'»г Очевидно, что ии один человек не в состоянии досчитать до этого числа, и само зто число дано нам вовсе не как элемент этого ряда. Но в таком случае, на каком основании можем мы принять в применении к этому числу принцип полной индукции, т. е. выводить из постулата о полной индукции, что 10" обладает описанным выше свойством Р» Легко понять, что все естественные попытки доказать «существование» в натуральном ряду числа 10'» оказываются неудачными иэ-за порочного круга, именно все они в той или иной форме используют число 10" (например, в виде ссылки на это «число» шахов).
Поэтому — коль скоро вообще мыслим натуральный ряд с числом 10" — мыслимы различные натуральные ряды, в том числе как содержащие, так и не содержащие только что указанного числа, В этом отказе от традиционного допущения о единственности натурального ряда я вижу исходный пункт новой критики оснований математики, которую я называю ультраинтуициоиистской (см. 1п11вЖз»1с те«Ьойз, %агзга»»а, 1961, 201 — 223). Наряду с этим допущением, которое я обозначу сейчас через Т1, эта критика распространяется и на другие, тесно с ним связанные. Не очевидно, напри- мер, что всякий натуральный ряд «регуляренэ, т. е. изоморфен любой конфинальной ему последовательности.
Этот вопрос нуждается в дальнейших уточнениях ввиду очевидной расплывчатости понятия «последовательности» (натуральных чисел) — ясно, что эта проблема родственна континуум-проблеме из теории множеств. Далее, если натуральный ряд содержит числа 10 и 12, но не число 10»», то он в легко определяемом смысле «незамкнут» относительно степени. Допущение Т2 состоит в том, что «имеется» хотя бы один натуральный ряд, «замкнутый» относительно любой примитивно рекурсивной функции; так как это последнее понятие само зависит от понятия натуралького числа, возникают различные обобщения этого понятия и допущения Т2. Независимо от этих обобщений из определения натурального ряда вытекает замкнутость всякого натурального ряда лишь относительно функций ~р(и), при любом и из этого натурального ряда удовлетворяющих неравенству ~р(и) ч и +1.
Для всех других функций, в том числе и для т+ и и даже для и+ 2, допущение Т2 нуждается в обосновании. Через ТЗ я обозначаю принцип икдукции от и к и + 1, а через Т4 — «принцип локальности для доказательств», согласно которому, коль скоро все аксиомы истинны, а правила вывода сохраняют истинность, должна быть истинной и каждая теорема рассматриваемой аксиоматической теории. Очевидно, что Т4 принимается на основании ТЗ, а интуитивное обоснование ТЗ использует Т4 в той.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
