Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому нельзя игнорировать результаты Вопенки только на том основании, что они были до этого получены Коэном,— это отождествление касается вопросов относительной непротиворечивости, но не вопросов осуществимости моделей заранее указанными средствами.
Правда, в гильбертовской программе речь шла о непротиворечивости, но имелось в виду доказать, в конечном счете, непротиворечивость всей математики,— здесь же рассматриваются лишь вопросы относительной непротиворечивости, а вопрос о непротиворечивости исходной системы Х или ЕР даже не ставится. При таких условиях трудно отдать предпочтение одному из этих видов проблем (непротиворечивость и модели) перед другим. Как уже указывалось, Вопенка доказал, что если К» ) " Я„, Ял — непредельная или недостижимая мощность н Я вЂ” недостижимое кардинальное число илн непосредственно следует за другой мощностью в ряде мощностей впоЛне упорядоченных множеств, то непротиворечиво равенство 2~" = Кх. Что касается систем с недостижимыми числами, то по крайней мере для конечного числа таких чисел их непротиворечивость может быть доказана ультраинтуиционистски.
Коэн доказал (1963-1964 гг.) непротиворечивость равенства 2« = 2" (в чем состояла гипотеза Лузина х)). При всей важности этих новейших достижений нельзя забывать о том, что они относятся к определенным формальным системам типа ЕР или Е. Между тем Кантор основал и завещал нам теорию множеств не в виде ЕР, и именно в этой первоначальной, «наивной» теории множеств возникла континуум-проблема. Наивная теория была противоречива и нуждалась в замене непротиворечивой формальной системой, но, несмотря на то, что система ЕР достаточна для нормальных математических конструкций и я доказываю ее непротиворечивость, я считаю необходимым напомнить о том, что проблема отождествления ЕР— или другой подобной системы — с теорией множеств отнюдь не тривиальна.
Между прочим, теория тралефияитных рекурсий до сих пор еще слабо изучена. Весьма правдоподобно, что для ЕР можно указать разумные схемы определения функций путем той или иной формы такой рекурсии, которые невозможно обосновать посредством ЕР, причем сегодня еще нет теорем, позволяющих утверждать достаточность дополнительной аксиомы о недостижимом числе для формалиэуемости этих рекурсий (рассматриваемых хотя бы по отношению к нерасширенной области). Поэтому не опровергнуто предположение о том, что ЕР нуждается— для естественного пополнения аксиоматической теории— в присоединении новых, пока еще неизвестных аксиом.
В связи с каждым таким расширением вопросы о непротиворечивости и независимости как аксиомы выбора, так и континуум-гипотезы придется ставить заново, и еще нет оснований утверждать, что методы Гбделя и Коэна окажутся при атом применимыми. Гедель отмечал, что его результаты об относительной непротиворечивости можно доказать и для более слабых систем (Цермело и теории типов), но подробного изложе- ') Н. И.
Л у з з н, Собр. ооч., т. 2, И»д-во АН СССР, 1958, стр. 585.— Прим. ред. 80 ния доказательств до сих пор не появилось. Правдоподобно (вследствие недавних результатов Шпеккера о связи между теорией типов и системой Мех«Резце)аг(опэ Куайна), что эти результаты можно перенести и на систему Мех« Рооп«(а$1опз. (Речь идет об аксиоматической теории множеств, предложенной в 1937 г. Куайном и мало похожей на систему Цермело — Френкеля. Аксиома выбора в ее общей форме была для этой системы опровергнута Шпеккером, а потому речь может идти лишь об относительной непротиворечивости ее ограниченных форм.) Труднее утверждать (хотя правдоподобно и это), что все это можно применить.и к результатам Коэна. В принципе следует ставить подобные вопросы для любых систем аксиом, содержащих лишь аксиомы свертывания и объемности (и логические постулаты).
Такие системы естественно называть «канторовскими». П. С. Новикову принадлежит простое доказательство того, что если в канторовской системе доказуемо существование пустого множества, то в ней доказуема и любая формула вида 3у Уз(з ~ у — (г Е= гбе ) А) ==- А (где А несодержит свободно у и г). Левая часть этой эквивалентности является аксиомой свертывания. Отсюда легко следует, что если А (например, континуум-гипотеза или ее отрицание) непротиворечива относительно ЕР, то имеется непротиворечивое канторовское расширение ЕР, в котором А доказуема. Доказательство только что указанной эквивалентности основано на том, что парадокс Рассела использует лишь одну аксиому свертывания: 3учх(г Е:-у — 1 з =- г), с которой естественно связана левая часть втой эквивалентности.
С любым другим парадоксом можно аналогичным образом связать соответствующие аксиомы свертывания, получаемые присоединением «й ~ А» к правым частям эквивалентностей, входящих в те аксиомы свертывания, которые используются в этом парадоксе. Поэтому о каждой формуле А, непротиворечивость которой относительно ЕР доказана, можно утверждать ее доказуемость в некоторой канторовской системе, непротиворечивой относительно ЕР, и притом в любой такой системе, только что указанным образом связанной с парадоксами. Такие канторовские системы естественно называть «парадоксальными».
Даже в случае своей непротиворечивости они, по-видимому, не могут считаться естественными 81 расширениями систем типа УР. Естественно поэтому исключить их из рассмотрения. При этом возникает много вопросов о характере ограничений, вводимых на аксиомы свертывания в связи с этой «проблемой парадоксальности». Например, бросается в глаза отсутствие всякой связи частей ( А с другими частями формулы Зуав(х (:— : у— ( х т".= х 8г (А) и естественно ставить вопрос о наложении на аксиомы канторовских систем ограничения «связностиэ (состоящего, грубо говоря, в соединимости любых двух «атомарных» частей вида и Е= в цепочками таких частей каждой аксиомы, причем любые два соседних члена цепочки должны иметь общую переменную).
Вопросы о доказуемости континуум-гипотезы к ее отрицания в канторовских системах с такими ограничениями следует включить в общую проблематику континуум-проблемы (и аналогично для других проблем). Но зто — вопросы, обращенные к науке будущего. Сегодня о них следует говорить лишь в целях их постановки и для того, чтобы избежать чрезмерного самодовольства блестящими результатами наших дней. Континуум-проблема числится первой в историческом гютьбертовском перечне проблем, обращенных к математикам нашего века.
Однако с логической точки зрения вопрос о непротиворечивом построении теории множеств (включающий в себя вопросы о непротиворечивости сж степы Цермело — Френкеля, Яе«т Рошель(овз и т. и. систем), конечно, намного важнее и глубже. И если Гиль- берт не включил втой проблемы в свою программную речь, то зто можно объяснить лишь тем, что теория множеств подверглась аксиоматизацви уже после 1900 г., и в своей речи 8 августа того же года Гнльберт вынужден был упомянуть дшке о противоречивости неограниченной теории множеств.
КО ВТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА А. С. Ксении-Вольпин На грани Х1Х и ХХ вв. арифметика стала аксиоматической наукой. Пеано ввел для арифметики следующую систему аксиом ') (число 0 н операция ' (означающая переход к «числу, непосредственно следующему за л») являются перзоначальнымк понятиями): 1) каково бы ни было число а, число а' + 0; 2) каковы бы ни были числа а и Ь, из а" + Ь" следует а+Ь; 3) каково бы ни было свойство Р, выражаемое в терминах первоначальных понятий с помощью логических операторов, если число О обладает свойством Р н для любого числа и из того, что и обладает свойством Р, следует.
что и число и' обладает свойством Р, то всякое число обладает свойством Р («принцип полной индукции»). Конечно, термин «число» относится здесь только к натуральным числам. Он не рассматривается как первоначальное понятие потому, что, кроме (натуральных) чисел, в этой аксноматической теории нет никаких других объ- ! ектов. Позднее оказалось, что для вполне строгого построения арифметики натуральных чисел необходимо ввести в качестве дополнительных первонвяальных понятий г) Система эконом Пеево была оиублииовавв в 1891 г. (1(1- т(в«а е)1 шва, Твг(а, т'. 1, 1891). За три года до этого (в 1888 г.) еввлогитивя система была иредложеиа Р. Дедевивдом (Севвшш.
ша«в. %ег)ге, П1, 359 — 361, Вгаовве)оие(9, 1932).— Врио. ред. расширениями систем типа ЕР. Естественно поэтому исключить их иэ рассмотрения. При этом воэникает много вопросов о характере ограничений, вводимых на аксиомы свертывания в свяэи с атой «проблемой парадоксальности». Например, бросается в глава отсутствие всякой свяэи частей ( А с другими частями формулы 3уч'г(э (:— : у— 7 а (=: г Й (А) и естественно ставить вопрос о наложении на аксиомы канторовских систем ограничения «связности» (состоящего, грубо говоря, в соединимости любых двух «атомарных» частей вида и Ес к цепочками таких частей каждой аксиомы, причем любые два соседних члена цепочки должны иметь общую переменную).
Вопросы о доказуемости континуум-гипотезы и ее отрицания в канторовских системах с такими ограничениями следует включить в общую проблематику континуум-проблемы (и аналогично для других проблем). Но это — вопросы, обращенные к науке будущего. ( егоднн о ннх следует говорить лишь в целях их постановки и для того, чтобы набежать чрезмерного самодовольства блестящими результатами наших дней.
Континуум-проблема числится первой в историческом гильбертовском перечне проблем, обращенных к математикам нашего века. Однако с логической точки эрения вопрос о непротиворечивом построении теории множеств (включающий в себя вопросы о непротиворечивости системы Цермело — Френкеля, Ь)еш Ропайа10»пэ и т. и. систем), конечно, намного важнее и глубже. И если Гиль- берт не включил этой' проблемы в свою программную речь, то это можно объяснить липп тем, что теория множеств подверглась аксиоматнэацни уже после 1900 г., и в своей речи 8 августа того же года Гильберт вынужден был упомянуть даже о противоречивости неограниченной теории множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
