Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Как доказал Цермело, из атой аксиомы выбора следует, что всякое множество эквивалентно некоторому вполне упорядоченному множеству (верно н обратное утверждение). Проблема континуума тесно связана с проблемой о том, можно ли вполне упорядочить множество действительных чисел, не прибегая к аксиоме выбора (т.
е. можно ли, не прибегая к этой аксиоме, определить в этом множестве такое отношение порядка В, при котором это множество является вполне упорядоченным), Зта проблема также до последнего времени оставалась нерешенной. 69 Легко доказывается, что мощность континуума является мощностью множества всех частей натурального ряда. Мощность множества всех частей множества М обоэаачается через 2м (если М конечно, то это обозначение согласуется с тем, что всякое множество мощности М действительно имеет 2м частей).
Согласно широко известной теореме Кантора, всегда т ( 2м, где и — мощность множества М. Обобщенная континуум-гипотеза состоит в том, что если мощность т не является мощностью конечного множества, то между мощностями т и 2м не имеется никакой промежуточной мощности. Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г. доказали, что иэ обобщенной континуум-гипотезы следует аксиома выбора.
Вследствие безуспешности попыток решения континуум-проблемы возникло предположение о ее неразрешимости, и в наше время постановка проблемы состоит в доказательстве невоэможности доказать или опровергнуть континуум-гипотезу в той или иной системе аксиом для теории множеств. Идея такого рода возникла у Гиль- берта. Первого большого успеха в атом направлении добился Курт Гбдель, крупнейший из современных ученых в области математической логики. Для некоторой системы аксиом с.
он доказал 1) (в 1940 г.), что если эта система кгпротиворвчива, то к нгй можно присоединить без противоречил аксиому выбора и обобщенную континуум-гипотезу. В 1963 г. молодой американский ученый Паул Коэн ') доказал и независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы для системы Е, т. е. что если эта система непропспворечпва, то к квй можяо без противоречия присоединить отрицание аксиома выбора и отрицание континуум-гипотезы, а также аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы. (Вместо Е Коан рассматривает достаточно близкую к ней систему Цермело — Френкеля.) Чтобы дать некоторое представление о результатах Геделя и Коэна, надо сказать несколько слов об общих прин- а) А|ш.
МаСЬ. Ясп41«з 35 3, Рс(псе«оп, 1940, стр. 66 (русский перевод: УМН 3, Ь3 1 (1948), 96 — 149.— Прим. рсв.). ') Рсос. )час. Асей. Яс(. НЯА 50, 35 6 (1963) и 51, Ж 1 (1964) Я ( уссиий перевод: Математика (сб. перев.) 9, Ж 4 (1965), 142 — 155.— рим. рез.). 70 ципах построения аксиоматиэ пров анной теории множеств 1). Всякая система аксиом для теории»шожеств содержит аксиомы следующих видов: 1) Принцип свертывания, согласно которому для всякого свойства Р существует множество, состоящее иэ тех и только тех предметов, которые обладают свойством Р. При этом Р может быть любым свойством, которое можно выразить с помощью логических операторов «если..., то...», «и», «или», «не», «для всякого», «для некоторого» и отношений Х = У и Х с= У (читается: «Х есть элемент У»).
Для каждого такого свойства Р этот принцип дает аксиому свертывания (для этого Р). Предполагается, что в формулировку Р не входит имя того множества, которое вводится этой аксиомой. 2) Аксиома объемности, согласно которой два множества равны (т. е. совпадают), если они состоят иэ одних и тех же элементов. 3) Аксиома о существовании бесконечного множества. 4) А к с и о ма в ы б о р а (если только она принимается в рассматриваемой системе). Такой перечень аксиом представляется очень естественным и вполне достаточным для теории множеств, но беда в том, что уже принцип свертывания, без каких- либо дальнейших аксиом, приводит к противоречиям.
Например, если в качестве свойства Р выбрать свойство «Х не является элементом Х», то получится известный парадокс Рассела (именно, если У означает множество тех множеств Х, которые не являются элементами самих себя, то У является элементом У в том и только в том случае, если У не является элементом У, откуда следует, что одновременно У является и не является элементом самого себя). Ввиду этого и некоторых других парадоксов приходится ограничить принцип свертывания, т. е. постулировать аксиомы свертывания не для всех свойств Р, однако все же для настолько широкого класса этих свойств, чтобы с помощью соответствующих свойствам этого класса аксиом свертывания можно было построить теорию множеств в объеме, достаточном для всех теоретико-множественных разделов математики.
чав» Ри -н .л теин теория ипеасесси, ИЛ, 1963.— Прим. рез. 3. Цермело указал наиболее естественную совокупность аксиом свертывания, которая вместе с аксиомами 2), 3) образует так называемую систему Цермело. Именно, в атой системе имеются следующие три аксиомы свертывания: аксиома существования пары любых двух множеств (причем пара считается тоже множеством), аксиома существования множества, яа«яющегсся объединением любого множества множеств, и аксиома существования множества всех подмножеств для проигвольного множества; кроме того, в этой системепринята с х е м а а к с и о м в ы д е л е н и я, т.
е. аксиом, состоящих в том, что для всякого множества Х и всякого свойства Р вышеописанного вида существует множество всех элементов Х, обладающих свойством Р. Зти аксиомы свертывания вместе с аксиомами объемности и бесконечности и образуют систему Цермело (точпее, перечень ее «нелогических» аксиом). Хотя этой системы достаточно для построения теории функций и других разделов классической математики (кроме тех случаев, когда требуется привлечение аксиомы выбора), для свободного построения теории порядковых чисел и мощностей требуется, как впервые указал А.
Френкель, дополнительная с х е и а а к с и о м и о д с т а н о в к и, состоящая в том, что для всякого однозначного отображения Р (г, г) (представимого формулой рассматриваемой системы, содержащей свободные переменные г и г; однозначность выражается в атой схеме условием: для всякого г существует не более одного г со свойством Р (г, г)) и для всякого множества Х существует множество всех таких г, для которых существует г Е— : Х со свойством Р (г, г). Смысл этих аксиом состоит в том, что однозначный образ любого множества «является множеством, коль скоро само это отображение выразимо в языке системы»; аксиомы выделения следуют нз аксиом свертывания (без помощи других аксиом атой теории), а потому могут быть исключены из перечня аксиом, содержащего аксиомы подстановки. Система, получаемая из системы Цермело заменой аксиом выделения аксиомами подстановки, называется системой Цермело— Френкеля (ХР); польский математик Мыцельский доказал недавно,.
что аксиома пары является в этой системе следствием остальных аксиом, а потому может быть исключена из перечня аксиом ХР. Упомянутая система г Гбделя лишь несущественно отличается от системы ЕР (именно, наряду с множествами 72 в ней имеются классы множеств, обладающих произвольным свойством, выразимым в языке ХР и могущим, кроме того, зависеть, как от параметров, от других классов; это позволяет заменить схему подстановки одной аксиомой и ограничиться в формулировке системы конечным числом «нелогических» аксиом).
Каждая из систем г и ЕР непротиворечнва, если непротиворечива другая, и результаты Геделя и Коэна, будучи получены для одной из этих систем, легко переносятся на другую. Метод Гбделя состоит в построении (средствами его системы г,) некоторой «модели», т. е. системы объектов этой теории, удовлетворяющей аксиомам Х, а также аксиоме выбора и обобщенной континуум-гипотезе. Тем самым устанавливается относительная непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы для каждой нз систем ЕР или Х.
Система ЕР (как и Е) обладает той особенностью, что элементами рассматриваемых в ней множеств (или множеств и классов) могут быть только множества. Зто не согласуется с общим духом канторовской теории множеств, в которой разрешалось полностью абстрагироваться от природы элементов и рассматривать множества объектов любой природы, в том числе и ие являющихся множествами. Такие объекты — я называю их индивидуумаии— могут быть введены в систему, что приводит к незначительному изменению ее формулировок.
С другой стороны, в системы ЕР и Е часто включают а к си о м у ф у н д и р о в а ни я,согласно которой любое непустое множество содержит элемент, непересекающийся с этим множеством. Иэ этой аксиомы (с помощью остальных аксиом ЕР) вытекает аналогичное утверждение для непустых классов, и это дает возможность доказать предложение о том, что произвольное множество Х обладает свойством Р (выразимым в языке ЕР), путем своеобразной индукции, основанной на посылке: коль скоро всякий элемент произвольного множества У обладает свойством Р, то и У обладает свойством Р. (Из этой посылки согласно только что высказанному утверждению вытекает, что всякое множество обладает свойством Р.
При наличии индивидуумов к этой посылке следует добавить, что все индивидуумы обладают свойством Р, а также соответственно расширить понятие «пересечения» в аксиоме фундировання, распространив его на индивидуумы.) ЧЪ Индукция, о которой идет речь, отсутствовала у Кантора, но она выражает ту мысль, что в теории множеств рассматриваются лишь множества, которые могут быть введены (хотя бы путем трансфинитной индукции) при помощи последовательного образования множеств уже введенных элементов (начиная с пустого множества или спустогомножества и индивидуумов), а никакие другие множества для канторовской теории не нужны. (Эти множества назынают «фундированнымие.) Иными словами, аксиома фуядировапия состоит в том, что в теории множеств рассматриваются лишь такие множества, которые могут возникнуть в ходе теоретико-множественных построений.
Аксиомой фундировапия сразу исключаются множества Х, для которых Х ~ Х, пары Х, Г, для которых Х Е= У и У е= Х, и т. п. Для аксиомы фундирования ее непротиворечивость относительно остальных аксиом типа Х илн ЕУ была доказана еще фон Нейманом, который и ввел эту аксиому. (Фон Нейман ввел в 1925 г. свою систему, сходную с Г и равноценную ей в смысле непротиворечивости,см. А.А. Френкель и И. БарХиллел, Основания теории множеств, «Мире, 1966, сноска на стр. 129'), для этой системы он и рассматривал вопросы об аксиоме фундирования, независимость которой также доказывается без труда.) Что касается независимости аксиомы выбора, то для системы с индивидуумами она была доказана польским ученым А.
Мостовским в 1939 г. (причем сходные идеи высказывал А Френкель еще в 1922 г.). Более того, им доказано, что к системе с индивидуумами можно беэ противоречия присоединить отрицание аксиомы выбора и в то же время аксиому о том, что всякое множество может быть упорядоченно; в других работах вместо атой последней аксиомы наряду с отрицанием аксиомы выбора в непротиворечивую систему включается аксиома о существовании так называемого «дедеииндоеа множества», т. е.
бесконечного множества, не содержащего никакого счетного подмножества (или, что то же, не эквивалентного никакой своей правильной части). В силу упомянутого результата Серпинского, в атой системе нарушается и обобщенная континуум-гипотеза. ') В этой книге, а также в книге Коэна, е которой речь пойдет ишке, имеется ебшйрная библиография.— Прим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
