Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 10
Текст из файла (страница 10)
') Ка1Ы1 бш аЬааЫанйап Саошаи1а, 1л1ра18, 1879. ') Г. Шуберт наяозош свою нсчнсайтеаьаую гаоматрша на 330 стравнцах сочинения, укааанного в сноска '); шюследстзнн он раипирнл н усовершенствовал свой снмзолнам, Г. Шуберт ввел многообрааня, носящка ныне аго нмя, н эыясзнл, что представляет собой парасачанна таких многсобраанй з частных случаях. Прн атом Шуберт недостаточно обосновал свою гаоматрюо, что явилось нрнчнной сжасточаннсй полемики. Основным пунктом, эыазазшнм особые аоаражензя вмогнх математиков, был так кааываамаз$ првнцнн Шуберта, который в общак случае окааалса наварным, Исторнчаскую справку н краткое каложанна основных положеннй всчнслнталъной гаоматрвн Шуберта можно найти а кннге 1. С о о 1 ь й 8 а, А Ыаьогу о1 баошаьпса1 шеЬЬсь)в, Ох1огь), 1940.
— Лраьь. ред. 47 16. ПРОБЛЕМА ТОПОЛОГИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь плоская алгебраическая кривая и-го порядка, было определено Гарнаком г). Возникает дальнейший вопрос о взаимном расположении этих ветвей на плоскости. Что касается кривых шестого порядка, тоя, — правда, на достаточно сложном пути — убедился '), что те 11 ветвей, которые получаются по Гарнаку, никогда не расположены все вне друг друга; всегда существует одна ветвь, внутри которой содержится еще одна н вне которой находятся остальные девяли, или наоборот. М"не представляется очень инпгересньм основательное изучение взаимкого расположения максимального числа отдельных ветвей, так же как и соответствуши)ее исследование о числе, характере и расположении отпдельных полостей алгебраической поверхности в прострак стве; ведь до снх пор еще не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвертого порядка в трехмерном пространстве г).
В связи с этой чисто алгебраической проблемой я затрону еще один вопрос, который, как мне кажется, должен быть решен с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов и ответ на который имеет важное значение для топологии семейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, а именно, вопрос о максимальном числе и о расположени~ипредельнмх циклов (сус1ез 11ш[1ез) Пуанкаре для дифференциального уравнения первого порядка и первой степени вида вв Х где Х, Т вЂ” целые рациональные функции и-й степени относительно х, у,или в однородной записи, Х(у — х — ) + г' (х — х — ) + Я(х о — у ) = О~ ') МагЬ. Анп.
10 (1876), 189 — 192. г) СЬег 61е гееПеп 268е а!8еЬгп(всЬеп Спггвп, МагЬ. Апп. 38 (1891), 116 — 138. ') Ср. К. К о Ь п, Р1асЬеп г!еггег Огйишз. Ргв1ввсЬг)!! 6ег Р8гв$11сЬ 1аЫопоншг[всЬеп ОевеПвсЬаН, 1 в)рг)6, 1886. 48 где Х, 1, Я вЂ” целые рациональные однородные функции п-й степени относительно х, у, х, которые н нужно определить как функции параметра 1.
17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФОРМ В ВИДЕ СУММЫ КВАДРАТОВ Целая рациональная функция, илн форма, зависящая от произвольного числа переменных с вещественными коэффициентами, называется определенной, если ни при каких вещественных значениях этих переменных она не может принимать отрицательных значений. Совокупность всех определенных функций является инвпрнантной относительно операций сложения и умножения; но также и частное двух определенных функций, если только оно представляет пелую функцию от аргументов, тоже есть определенная форма.
Квадрат каждой произвольной формы есть, очевидно, определенная форма. Но, как я показал '), не каждая определенная форма может быть представлена в виде суммы квадратов форм. Поэтому возникает вопрос, на который я получил утвердительный ответ ') в отношении тернарных форм: не может ли каждая определенная форма бить представлена в виде частного сумм квадратов форм. В то же время для некоторых вопросов, связанных с возможностью некоторых геометрических построений, желательно знать, должны лн коэффициенты используемых форм всегда принадлежать той же области рациональности, которой принадлежат коэффициенты разлагаемой формы г) .
Я назову еще одну геометрическую задачу. ') МаГЬ. Апп. 32 (1888), 342 — 350 [нлп О. Н 1 1 Ь в г С, Сева шш. АЬЬ., 11, М 101. *) Асгв шаГЬвшаг!са 17 (1893), 169 — 197 [нлн !). Н ! ! Ь е г1, Севашш. АЙЬх, !1, М 201. ') Ср. П. Н 11 Ь в гг, СпвиНазвпйегСвоше1г[е, Ье)рх19, 1899, гл. Ч!1, в частности $38 (руссннй перевод: Д.
Г н л ь 6 в р т, Оснозанпн геометрии, Гостехпгдат, 1948. — Прим. ред.). 49 18. ПОСТРОЕНИИ ПРОСТРАНСТВА ИЗ КОНГРУЗНТНЫХ МНОГОГРАННИКОВ Если поставить вопрос о таких группах движений на плоскости, для которых существует фундаментальная область.
то ответ будет, как известно, звучать по-разному, в зависимости от того, будет ли рассматриваемая плоскость римановой (эллиптической), евклидовой или плоскостью Лобачевского (гиперболической). В случае эллиптической плоскости существует к о н е ч н о е число существенно различных видов фундаментальных областей и достаточно к о н е ч н о г о числа экземпляров конгрузнтных областей, чтобы покрыть ими всю плоскость без просветов: группа состоит только из конечного числа движений. В случае гиперболической плоскости имеется б е с ч и ел е н и о е множество существенно различных видов фундаментальных областей, а именно известные многоугольники Пуанкаре; для покрытия всей плоскости беэ пробелов необходимо б е с к о н е ч н о е число экземпляров конгруэнтных областей. Случай евклидовой плоскости занимает промежуточное положение, ибо в этом случае имеется только к о н е ч н о е число существенно различных типов групп движений, имеющих фундаментальную область, но для покрытия всей плоскости без пробелов необходимо б е с к о н е ч н о е множество экземпляров конгруэнтных областей.
В точности соответствующие факты имеют место также в трехмерном пространстве; существование конечной группы движений в эллиптическом пространстве есть непосредственное следствие основной теоремы Жордана'), согласно которой число существенно различных типов к о н е чн ы х групп линейных подстановок и переменных не превосходит некоторой определенной конечной границы, зависящей от и. Группы движений с фундаментальной областью в гиперболическом пространстве исследованы Фрике и Клейном в лекциях по теории автоморфных функций' ), а затем Федоров '), Шйнфлисс') и в последнее время Рооп') получилн доказательство того, что в евклидовом прос- 1880.
') 1. Ав Маго. 84 (1878) и Аггб йейа Веа1в Асайешш 41 ИараП, ') (л1рз18, 1897; см, в особввкости разд. 1, гл. 2 — 3. е) Бушшв(пе бее гебе1шае1кеп Яуегеше гов Р1епгеп, 1890. 4) КгуеГа1Ьуегеше пш1 Кгузгойе1гпсгпг, 1шрыд, 1891. е) Магй. Апп. 58 (1900), 440 — 449. тракстве существует только конечное число сущесттйенйб различных типов групп движений с фундаментальной областью.
В то время как результаты н методы исследования, полученные длл эллиптического и гиперболического пространств, непосредственно распространяются на пространство и измерений, обобщение соответствующего предложения на случай евклидова пространства встречает, по-видимому, значительные трудности и потому представляется желательным исследовать вопрос, сущестеуегп ли также и э п-мерном ееклидоеом пространстве только конечное число существенно различных типов групп движений с бэундаментальной областью Фундаментальная область каждой группы движений вместе с конгруэятнымя ей областями, определяемыми атой группой, дает, очевидно, покрытие пространства без пробелов.
Возникает при этом вопрос, существуют ли, кроме тоео, такие многоеранники, которые не аеллютсл фундаментальными областями группы движений и с помощью которых все же возможно эаполнить есе пространство беэ пробелов соответствующим укладыеанием конгруэнганых экземпляров этих многогранников.
Я укажу здесь на связанный с этим вопрос, важный для теории чисел, а возможно, полезный в будущем даже для физики и химии,— как можно наиболее плотным образом расположить в пространстве бесконечное множество одинаковых тел заданной формы, например, шаров заданного радиуса илн правильных тетраэдров с данным ребром (или в предписанном положении), т. е. расположить так, чтобы отношение заполненной части пространства к незаполненной было по возможности наибольшим. Обозревая развитие теории функций в последнем столетии, мы прежде всего замечаем основную роль класса тех функций, которые мы теперь называем аналитическими,— класса функций, который, несомненно, еще долго будет находиться в центре математических интересов. Мы можем, исходя из самых разных точек зрения, выделять иэ множества всевозможных функций такие их классы, которые требуют особенно глубокого исследования.
Например, рассмотрим класс тех функций, к о т орые можно характеризовать дифференциальными уравнениями, обыкно- 51 Зепаами йлп в частпых производных. Как мы это сейчас увидим, в этот класс не входят функ- ции, которые порождаются теорией чисел н исследование которых для нас чрезвычайно важно. Например, упомяну- тая уже функция ь (г) не удовлетворяет никакому алге- браическому дифференциальному уравнению, как зто легко усмотреть из известного соотношения между (, (г) и ~ (1 — г), пользуясь предложением, доказанным Гйльде- ром '), о том, что функция Г (х) не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
