Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Обратимся к основам анализа и геометрии. Наиболее значительными и важными событиями последнего столетия в этой области являются, как мне кажется, арифметическое овладение понятием континуума в работах Коши, Больцано, Кантора и открытие яеееялидоеой геометрии Гауссом, Бойни и Лобачевским. Я привлекаю поэтому Ваше внимание к некоторым проблемам, иринадлежащвм к этим областям. 1. ПРОБЛЕМА КАНТОРА О МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА Кантор называет две совокупности, т.

е. два множества обыкновенных вещественных чисел (иля точек), э квивалентными или равномощными, если они могут быть поставлены в такое соответствие, при котором каждому числу одного множества соответствует одно и только одно определенное число другого множества. Исследования этих точечных множеств, осуществленные Кантором, делают весьма вероятной справедливость предложения, доказательство которого, однако, никому еще до сих пор не удалось получить, несмотря на самые настойчивые усилия.

Содержание этого предложения заключается в следующем: Каждая бесконечная совокупность чисел, т. е. каждое бесконечное числовое (или точечное) множество, эквивалентно либо множеству целых натуральных чисел 1, 2, 3, ..., либо множеству всех вещественных чисел, а следовательно континууму, т. е. эквивалентно точкам отрезка; с точки зрения эквивалентности воам о ж н ы т о л ь к о дв а т пи а (бесконечных — Ред.') числовых множеств: счетное множество и континуум. Из этого предложения вытекало бы немедленно, что мощность континуума есть ближайшая мощность к 23 мощности счетного множества.

Доказательство атой теоремы проложило бы новый мост меягду счетными и континуальными множествами, С уществует еще одно замечательное предложение, высказанное Кантором, которое теснейшим образом связано с упомянутым предложением и которое, возможно, и содержит ключ к доказательству этого предложения. Совокупность вещественных чисел называется у п о р яд о ч е н н о й, если известно правило, по которому для любых двух чисел этой совокупности можно установить, которое из этих чисел предшествует другому и которое з друг следует; при этом правило должно быть таким, что им если число и предшествует числу Ь и число Ь предшествует числу с, то число а предшествует числу с. Е с т е с т в е ни ы и у п о р я д о ч е н и е м совокупности чисел пусть называется такое, при котором меньшее число множества предшествует большему, а большее следует за меньшим.

Как легко, однако, понять, существует еще бесчисленное множество других способов упорядочивать множества чисел. Е сли рассмотреть какое-нибудь упорядоченное множество чисел и из него выделить какую-нибудь часть, таг называемое подмножество, то это подмножество также бд упорядоченным. Кантор рассматривал особого сорта ет 1 у упорядоченные множества, которые он называл в п р ли е у п о р я д о ч е н н ы и и ') и которые характеризовались тем, что не только во всем множестве, но в любом его подмножестве можно указать первый элемент.

Сов упность целых чисел 1, 2, 3, ... в этом своем естественном порядке представляет собой, очевидно, вполне упорядоченное множество. Между тем совокушзость всех вещественных чисел, т. е. континуум, рассматриваемый в своем естественном порядке, не является вполне упорядоченным. Действительно, если мы в качестве подмножества точек выделим точки конечного отрезка без его начальной точки, то зто подмножество первого элемента не имеет. При этом возникает вопрос, нельзя ли каким-нибудь другим способом упорядочить совокупность всех вещественных чи- г) См. О. С апсог, СвшнИаявп е1пег Мвпп181а111яйе11в1ейге, Ье1рз1л, 1888' русский перевод: Г.

К в ц т о р, Основы учения о кно- ррам. реэ, гообрввплх, Новые пдеп в математпле, М 6, СПб., 1914, 8,— , сгр. 24 сел так, чтобы каждое его подмножество имело первый элемент, т. е. нельзя ли континуум также рассматривать как вполне упорядоченное множество. Кантор предполагал, что на этот вопрос должен существовать положительный ответ. Мне казалось бы чрезвычайно желательным получить прямое доказательство этого замечательного предложения Кантора, т. е. действительно указать такое эффективное упорядочение множества чисел, при котором ц каждой его части можно было бы указать первый элемент. 2.

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ АКСИОМ Когда речь идет о том, чтобы исследовать основания какой-пибудь науки, то следует установить систему аксиом, содержащих точное. и полное описание тех соотношений, которые существуют между элементарными понятиями этой науки. Эти аксиомы являются одновременно определениями этих элементарных понятий' ), и мы считаем правильными только такие высказывания в области науки, основания которой мы исследуем, какие получаются из установленных аксиом с помощью конечного числа логических умозаключений.

При более близком рассмотрении возникает вопрос: не яаеяются ли некоторые иг этих аксиом зависящими друг от друга, не содержат ли некоторые ив этих аксиом общие части, которые следовало бы изъять, ес.ви ставить задачу об установлении системы аксиом, полностью независимых друг от друга? Из многочисленных вопросов, которые могут быть поставлевы относительно системы аксиом, мне хотелось бы прежде всего указать па важнейшую проблему, именно на докагатавьство того, что система аксиом кепро- Ц В Х1Х з. аксиомы математической теории рассматривались как вырвжввпп свойств ее сствстзоююй ввтерпретвцвв (ввпрвмвр.

аксиомы геометрии пвп выражение пелоторых свойств прострвп.ства), в пепосрвдствеппой свявм с которой Рвсьмвтрлзвлась сама теория. Согласно копцспцлп Гкльбертв аксиомы — неявные определепля осповпых свойств математической теории, а потому вв пптерпрствцлей может служить любвя совокуппость объектов, свойства которых удовлетворяют рассматриваемой сзстеме ак. слом. — Прем. Рез. 25 тиввречиеа, т. е. что на основании этих пс апсиаи никогда нельвл с помои)ью понечного числа логи лог чеспих улзоэаключений получить результатам, противоречащие д другу.

ъ ечаизие руз Доказательство непротиворечивости акс аксиом геометрии достигается тем, что строится соответствующая чнсаксиомам соответловая область так, что геометрическим акс ствуют аналогичные соотношения между чнслаззи атой е, полученное в области; тем самым каждое противоречие ть о наружено следствиях нэ аксиом геометрии, должно быть б а также в арифметике этой числовой области, Т азам же т аким обак р, лательное доказательство непротивор чнв сион геометрии сводится к предложению о непротиворечивости аксиом арифметики.

Нап огиз н ротиз, непротиворечивость аксиом арифметики требует прямого доказательства. уществу, представ- Система аксиом арифметики, по существу п правила денствий зяет собой не что нное, как известные правйла вместе,с аксиомой непрерывности, Я недавно изложил д р†ание которой сиомой Архимеда и новой аксиомой соде~†ание н т заключается в следующем: числа представляют с в о окуос ь таких элементов, которые при сохранении всех остальных аксиом не допускают никакого расширения (аксиома полноты). Я убежден, что удастся найти прямое доказательство непротиворечивости аксиом арифметн основыв вываясь на известных.методах доказательств теории ф вгики, иррациональных чисел, если эти методы соответствующим образом модифицировать в применении к поставленн иной Чтобы охарактеризовать значение атой проблемы еще заме и с другой точки зрения, я хотел бы добавить следую чание.

Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Так наприм ат к тематически не существует вещественное числ р оторого равен — з. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, ни') Ыичвоег. )ЗзвсЬ. МаФ.-Уег. 8 (1900), стр. 180. (Напечатано в качестве 8-го прнложввкк и ванге»Оеиоаавкя геометрак» взад.

7, 1930. (Д. Г к л и б е р т, Оглоэзвнэ геометрии, Гостехэалат, 1948„ врзложгвве У1. "»О конягин чисза», 315-321.— Прим. ред.)). 26 когда не приведут, с помощью конечного числа умозаключений, к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия — например, числа илн функции, удовлетворяющего определенным условиям,— доказано.

В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметзпси вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, т.

е. континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных десятичных разложений или совокупность всех возможных законов, по которым могут следовать элементы какого- либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений.

Характеристики

Список файлов книги