Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

А. Яновскую, а также сотрудника Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР А. Н. Паршнка, советы и помощь которого во многом помогли улучшить издание. С. С. Д'лыидое «) Ь. В1е ЬегЬа сЬ, ЮЬег б)е Е1лйиб ров Н11Ьея4 Рать«ег уог»гад 6Ьег «Ма«Ьеша«1асЬ» РгоЫеше», аи1 б)е Евпг)сИппб «)ег Ма«ЬешаШ«ш бев 1еглев бге1019 1»1ича, )ча»шч»)явевасЬа1«ек 18 1930), 1101 — 1111; С.

С. Д е м н д о в, К нсторкк проблем Гильрта, ИМИ, яып. 17, «Наука», 1967, 91 — 121 НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ПРОБЛЕМАХ ГИЛЬБЕРТА На Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 г. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с докладом под названием «Математические проблемы». Доклад этот был затем несколько раз опубликован в подлиннике и в переводах '); последнее издание подлинника находим в третьем томе собрания сочинений Гильберта '), На иижеследуюпп«х страницах печатается русский перевод доклада Гильберта. Ни до доклада Гильберта 1900 г., ки после этого доклада математики, насколько я знаю, ке выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом»).

Таким образом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гнльберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение. г) Впервые напечатан в АгсЫт 1. Ма»Ь. и РЬуз., 111 горля, 1 11901), 44 — 03, 213 — 237.

») П. Н11Ьег1, Соаашше1«е АЬЬапб)албан, т. Ш, 1933, 290 — 329. ») Доклад амернканского иатеиатяка Дж. фон Н е й и а н а на Международном математнческои конгрессе в Амстердаме в 1954 г. не является опрос»рек»яном етого утвержденна: правда, доклад фон Н е й и а н а наеывался «Нерешенные проблемы в математнке», но докладчик начал свой доклад выскааыеанпем, что считал бы безуинем в подражанке Гельб»рту гоаоркть о проблемах математнкн в целом, а пршшолагает огравнчктьгл люль проблемамн в некоторых областях математики (главвыи образом е областях, блпаквх к функциональному анализу).

Доклад фон Н е й и а н а опублнкоеан не был — едввсткекное, что о неи напечатано в %рудах Амстердамского конгресса,— ето то, что рукопнсь доклада пе была достуш«а издателям; по-внднмоиу, ее не существует. Постону об»том докладе можно к настоящее время судять лишь по еоспомкваккям лнн, слушавшкх его. Т На все развитие современной математики Гильберт оказал влияние исключительное, охватывающее почти все направления математической мысли; это объясняется тем, что Гнльберт был математиком, в котором сила математической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Разносторонность эта была, если так можно выразиться, вполне сознательной: Гнльберт постоянно делает упор на то, что математика е д и н а, что различные ее части находятся в постоянном взаимодействии между собой и с науками о природе и что в этом взаимодействии не только ключ к пониманию самой сущности математики, но и лучшее средство против расщепления математики на отдельные, не связанные друг с другом части,— опасности, которая в наше время огромного количественного роста и устрашающей специализации математических исследований постоянно заставляет о себе думать.

С большой силой и убежденностью говорит Гильд да, берт, особенно в конце своего замечательного окла о целостном характере математики как основе всего точного естественнонаучного познания. Его убежденность в этом служит в значительной степени и путеводной нитью всего доклада в целом и, несомненно, во многих случаях руководила автором при отборе выдвигаемых им математических задач. Доклад начинается с интересно, я бы сказал вдохновенно, написанной общей вводной части, в которой говорится не только о значении для математики «хорошо поставленной» специальной проблемы, но н выскааываются суждения о математической строгости, о связи математики с естествознанием н о других вещах бли всяко х, лизких Вз ому активно думающему о своей науке математн аключение этои вводной части Гнльберт с поражающей силой и убежденностью высказывает свой основной тезис, «акспому» о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи — теаис, содержанием которого являются глубокая уверенность в неограниченном могуществе человеческого познания н непримиримая борьба со всяким агностицизмом — с нелепым «1дпогарйшпз» '), как говорит в другом месте Гильберт.

') Ыбпо»зтипшз» (лзт.) — «мы кс будем знатье — одна кз кзвесткык резой фпзвологз Э, Д«обуз-Рекмокз кончал ь ( ккп к кското «орым повыкспскпым звучным вопросам) восклицанием: «)дпо»зв«ов с«)бпогаЬ1п«пз» вЂ” мы ке знаем п не будем знать! б Далее идут сами проблемы.

Они начинаются с теории множеств (континуум-проблема) и обоснования математики, переходят далее к основаниям геометрии, теории непрерывных групп (знаменитая пятая проблема об освобождении понятия непрерывной группы от требования дифференцируемости), к теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии н заканчиваются анализом (дифференциальные уравнения, особенно с частными производными, вариационпое исчисление).

Особое место занимает шестая проблема — об аксиоматике теории вероятностей и механики. По своему характеру проблемы Гильберта очень разнородны. Иногда зто — конкретно поставленный вопрос, на который ищется однозначный ответ — да или нет,— такова, например, геометрическая третья проблема или арифметическая седьмая проблема о трансцендентных числах.

Иногда задача ставится менее определенно как, например, в двенадцатой проблеме (ей Гильберт придавал особо важное значение), в которой требуется найти как само обобщение теоремы Кронекера, так и соответствующий класс функций, которые должны заменить показательную и модулярную. Пятнадцатая проблема есть, в сущности, проблема обоснования всей теории алгебраических многообразий. Иногда проблема под данным номером в действительности содержит в себе несколько различных, хотя и тесно связанных между собой задач. Наконец, двадцать третья проблема есть, в сущности, проблема дальнейшего развития вариациояного исчисления. Сейчас, много лет после того, как Гильберт поставил свои проблемы, можно сказать, что они были поставлены хорошо.

Они оказались подходящим объектом для того, чтобы сосредоточить вокруг себя творческие усилия математиков различных научных направлений и школ. Каковы были зти усилия и к каким результатам они привели, какие из гильбертовских проблем решены,какие еще нет, — об этом, хотя и не с исчерпывающей полнотой, читатель может узнать нз комментариев к этим проблемам.

Характер этих комментариев несколько неоднороден (что в значительной мере продиктовано характером самих проблем) — некоторые из них могут быть понятны читателю, знакомому с математикой в объеме первых двух курсов механико-математических или физико-математических факультетов университетов или педагогических институтов, для понимания других требуется довольно высокая математическая культура.

Думаю, во всяком случае, что читатель будет благодарен авторам комментариев, существенно облегчившим ознакомление с тем действительно выдающимся произведением общематематической литературы, каким является доклад Гильберта; кроме того, иэ комментариев можно, как мне кажется, понять и проиаведенное этим докладом воздействие на дальнейшее развитие математики.

Считаю, далее, необходимым отметить самоотверженный труд редактора этого издания С. С. Демидова, беэ которого оно едва ли было бы вообще осуществлено. П. С. Алвясандроо длвид гильвкрт МАТЕМАТИЧЕСНИЕ ПРОБЛЕМЫ Доклад, крокмтанний 8 августа 1000 г. на ХХ дХсгкдунарсдном Конгрессе математиков в ХХарите Перевод с пемепкото М. Г. Шестопал и А. В. д ерофеевой курсов механико-математических илк физико-математических факультетов университетов илн педагогических институтов, для понимания других требуется довольно высокая математическая культура. Думаю, во всяком случае, что читатель будет благодарен авторам комментариев, существекно облегчившим ознакомление с тем действительно выдающимся произведением общематематической литературы, каким является доклад Гнльберта; кроме того, из комментариев можно, как мне кажется, понять и произведенное этим докладом воздействие на дальнейшее развитие математики.

Считаю, далее, необходимым отметить самоотверженный труд редактора етого издания С. С. Демидова, без которого оно едва ли было бы вообще осуществлено. П. С. Александров длнид гильвкр~ МАТЕМАТИЧЕСНИЕ ПРОБЛКМЫ Допаад, проииеианний 8 авеаспеа 1900 е. на ХХ Мееадинароднан е1онерессе еиипенапеикое е ХХариаее Перевод с немецкого М. Г. Шестопал и А. В. дорофеевой Кто из нас пе хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия7 Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколенкя3 Какие новые методы к новые факты будут открыты в иовом столетии на широком и богатом поле математической мысли1 История учит, что развитие науки протекает непрерывно.

Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить ях новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего.

Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее. Невозможно отрицать глубокое значение, какое вмеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ией избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития.

Характеристики

Список файлов книги