Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Как вообще каждое человеческое начинание связано с той нли иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблем. Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, ок открывает более широкие я свободные горизонты. Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь з конечном счете ее ценность определится пользой, которую она принесет науке. Отсюда возникает вопрос: существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую математическую проблему? Один старый французский математик сказал: »Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному».

Это требование ясности н легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на совершенство; ведь ясность н легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают. Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она затем должна награждать нас радостью найденного решения. Математики прошлого столетия со страстным рвением отдавались решению отдельных трудных задач; они знали цену трудной задаче.

Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о ликии быстрейшего падения. аКак показывает опыт,— говорит Бернулли, оповещая о своей задаче,— ничто с такой силой не побуждает высокие умы к работе над обогащением знания, как постановка трудной и в то же время полезной задачи». И позтому он надеется заслужить благодарность математического мира, если он,— следуя примеру таких мужей, как Мерсенн, Паскаль, Ферма, Вивиани и другие, которые (до него) поступали так же,— предложит задачу выдающимся аналитикам своего времени, чтобы они могли на ней, как на пробном камне, испытать достоинства своих методов и измерить свои силы. Этой задаче Бернулли и другим аналогичным задачам обязано своим зарождением вариационное исчисление.

Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение хи+ уа яо неразрешимо в целых числах х, у, з, если не считать известяых очевидных исключений. Проблема доказатеяьсима отой нара»решимости являет разительный пример гого, какое побуждающее влияние на науку может окавать специальная н на первый взгляд малозначительная ароблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры н теории функций.

Напомню еще об одной интересной проблеме — »адаме з»рех гпс.в. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и значительно продвинул зту трудную задачу, привело к плодотворным методам н далеко идущим принципам, введенным зтим ученым в небесную механкку, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.

Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма к проблема трех тел — являются в нашем запасе проблем как бы противоположными полюсами: первая представляет свободное достижение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чисел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших осковных явлений природы. Часто, однако, случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях математики. Так, проблема о кратчайшей ликии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно з основаниях геометрии, в теории кривых и поверхностей, в механике и в варнацконном исчислении.

А как убедительно демонстрирует Ф. Клейн в своей книге об икосаэдре 1), проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для злементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений! г) г'. К 1 е 1 а, Чо»1езааяоа аЬег баа Псоааебог чай йо Аа11оаиаз бег Яв1о!»аабоа гоа Йайоа Стаяв, 1е1р»18, 1884.— Прим. р»д. 1$ Чтобы осветить важность отдельных проблем, я,позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего большой удачей для себя то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема Якоби об обращении эллиптического интеграла.

После того как мы рассмотрели общее значение проблемы в математике, обратимся к вопросу о том, нз какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счета с целыми чи~лами были открыты на этом пути еще на ранней ступени культурного развития человечества так же, как и теперь ребенок познает применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым проблемам геометрии — пришедшим к нам нз древности задачам удвоения куба, квадратуры круга, а также к старейшим проблемам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фуры н теории потенциала, не говоря уже о всем богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.

При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины человеческий ум, обнадеженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто беа заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализнрования, удачного расчленения н группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли гадача о простых числах и другие задачи арифметики, теория Галуа, теория алгебраических ннвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и так возникали вообще почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории Функций.

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы н открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем $6 наилучшим образом продвигаем вперед старые теории.

На этой постоянно повторяющейся н сменяющейся игре между мъппленнем и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные ипоражающие аналогии и та кажущаяся предустановленная гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах н понятиях различных областей знания. Остановимся еще кратко на вопросе о том, каковы могут быть общие требования, которые мы вправе предъявить к решению математической проблемы. Я имею в виду прежде всего требования, благодаря которым удается убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в основу каждой задачи и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы.

Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости проведения доказательств. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа задачи и ее плодотворности.

Новая задача, особенно еслиона вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, лишь если он будет заботливо и по строгим правилам искусства садоводства взращнватъся на старом стволе — твердой основе нашего математического знания. Будет большой ошибкой думать при этом, что строгость в доказательстве — зто враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими н наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств.

Это же стремление часто прокладывает путь к методам, которые оказываются более плодотворными, чем старые менее строгие методы. Так, теория алгебраических кривых благодаря более строгим методам теории функций комплексного переменного и целесообразному нримененню трансцендентных средств значительно упростилась и приобрела ббльшую цельность. Далее, доказательство правомерности применения четырех элементарных арифметических действий к 17 степенным рядам, а также почленного дифференцирования н интегрирования этих рядов н основанное на этом признание степенного ряда ~как инструмента математического анализа — П. А.~, несомненно, значительно упростили весь аналиэ, в частности, теорию исключения и теорию дифференциальных уравнений (вместе с ее теоремами существования).

Но особенно раантельный пример, иллюстрирующий мою мысль, представляет вариационное исчисление. Исследование первой и второй вариаций определенного интеграла приводило к крайне сложным вычислениям, а соответствующие исследования старых математиков были лишены необходимой строгости.

Вейерштрасс укаэал нам путь к новому и вполне надежному обоснованию вариационного исщсления. На примере простого и двойного интеграла я вкратце яамечу в конце моего доклада, как следование этому пути приводит в то же время к поразительному упрощению вариапионного исчисления вследствие того, что для установления необходимых идостаточных критериев максимума и минимума становится нелишним вычисление второй вариации н даже частично отпадает необходимость в утомительных умозаключениях, относящихся к первой вариации.

Я уже не говорю о тех преимуществах, которые воэннкают оттого, что исчезает надобность рассматривать лишь те вариации, для которых значения проиэводных функций меняются неэначительно. Предъявляя к полному решению проблемы требование строгости в докаэательстве, я хотел бы, с другой стороны, опровергнуть мнение о том, что совершенно строгие рассуждения применимы только к понятиям анализа или даже одной лишь арифметики.

Характеристики

Список файлов книги