Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С точки зрения атой зяскоматякн геометрией, «баювайшейг к евкввдовой, будет так называемая «поезд о евка кд ов а геометрия М нни о в с к о г о» (не путать с совсем другой геометрней Минковского, о которой пойдет речь ниже!), аксноматнка которой отлвчается от аксноматвкв геометркн Евкхвда заменой требовання «полсжнтевьной опредахевностн» скалнрного проваведенна (а»,~ О дхя любого а) требованием существоваюш векторов а», дая которых аз» О, к векторов а,, для которых аз ' О. 95 («аксиома о равенстве треугольников»; см.
111), но включающие более ограничительное требование о том, что каждая сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон (эквивалентное, очевидно, требованию: прямая есть кратчайшая линии, соединяющая две точки). Наличие обычных аксиом соединения и порядка (и аксиом непрерывности, присоединение которых оставляет еще достаточный произвол в выборе соответствующих геометрий) позволяет рассматривать точки и прямые нашей геометрии как точки и прямые евклидовой (или еффиккой)плоскости(здесь мы ограничиваемся, для простоты, вопросом о двумерных геометриях, удовлетворяющих поставленным Гильбертом требованиям); соответственно этому задача сводится к тому, чтобы так определить расстояние между двумя точкамиплоскостн (или какой-либо ееобласти), чтобы прямая явилась кратчайшим расстоянием между двумя точками.
Одну возможность такого рода доставляет неевклидова геометрия Ло бач е вского, которуюсогласно идее Ф. Елейнаможноописать так'): рассмотрим внутренность единичного круга (или другого конического сечения) К и примем за расстояние между двумя точками А и В логарифм двойного отношения, в котором точки А и В делят отрезок Р)',), где Р и «',) — точки пересечения прямой АВ с ограничивающей К линией Е: И~~ —— 1оя(А,В;РД)=1оя ~ —: д~ = 10$ — +1оя — д (1) (рнс.
1, а). Д. Гильберт заметил, что эту конструкцию можно еще обобщить, заменив Х произвольной выпуклой областью Ф, ограниченной кривой У (рис. 1, б; см. тесно связанное с четвертой проблемой Гильберта Добавление 1 к книге Щ); полученную на этом пути геометрию часто называют г е о м е т р и е й Г и л ь б е р т а'. Другой пример геометрии, удовлетворяющей поставленным Гиль- бертом условиям, доставляет так называемая г е о и е тр и я М и н к о в с к о г о, в которой концы отложенных иэ одной точки О «единичных отрезков» образуют некоторую центрально-симметричную выпуклую кривую Л и ') Ме»Ь. Ахв. 4 ((871), 573 — 625; 6 (4872), 112 — 445; русскзй перевод: сб.
«Об есвоеекквх геокстрииэ Гост«хи»дат, $958, 253 — 303. длина произвольного отрезка АВ принимается равной отношению АВ:ОЕ, где ОŠ— «единичный» отрезок того же направления (рис. 2, а). Последнюю схему можно еще несколько обобщить, не требуя, чтобы кривая Л имела в точке О центр симметрии (см. рнс. 2, б); при этом мы приходим к обладающей близкими свойствами «геометрии а) Е, Ркс. 2.
Минковского с несимметричным расстоянием», где, о)(како, теперь уже длина отрезка АВ не равна длине отрезка ВА; так на рис. 2, б дл. АВ = АВ:ОЕ„а дл. ВА = =ВА:ОЕ,. Однако здесь по-прежнему для любых трех точек А, В и С имеем: дл. АВ ч дл. АС + дл. СВ (это «неравенство треугольника» оказывается эквивалентным требованию выпуклости кривой Л). Подробнее рассмотрение геометрий, удовлетворяющих поставленным Гиль- бертом условиям (н, в частности, геометрий Минковского с симметрической метрикой и Гильберта), содержится в книге 121. 97 Решение (в определенном смысле) четвертой проблемы Гильберта было, по-видимому, найдено раньше решений всех других проблем, — считается, что оно содержалось в диссертации ученика Гкльберта Г. Гамеля, представленной в Гбттингенскпй университет уже в 1901 г.
Полученные Гамелем результаты были изложены в обширном мемуаре (3), напечатанном в 1903 г. Из этих результатов особого внимания заслуживает эффектная теорема о том, что при любой метривауии всей проект иеной плоскости или какой-либо ее части Ф, при у~ которой прямые яаазютея кратчайиими линиями, либо Ф есть вся проективная плоед кость и все прямые являются замкнутыми линиями, имею- А щими одну и ту оке (конечную) длину (так обстоит дело в случае,когда проективная плоскость рассматривается как эллиптическая плос к о с т ь; зто можно понимать так, что за расстояние между двумя точками А и В плоскости я принимается угол АОВ, где Π— фиксированная точка евклидова пространства, не принадлежащая плоскости я, дополненной «бесконечно удаленными точками» до проективной плоскости, — см.
рис. 3), либо Феста выпуплаяоблаетьаффинной плоскости, (может быть, — вся аффннная плоскость) и прямые «устроены» как евклидова прямые (в частности, имеют бесконечную длину; с зтнм случаем мы встречаемся при рассмотрении геометрий Минковского и Гкльберта). Тем самым Гамель установил, что геометрии Минковского и Гильберта являются, в каком-то смысле, «типичными» примерами геометрий, удовлетворяющих требованиям Гильберта: так, например, «полем действия» такой геометрии может быть лишь вся аффинная (или евклидова) плоскость, как в случае геометрии Минковского, либо выпуклая ее часть, как в случае геометрии Гильберта ').
') Особый класс «метрячеспях геометрий гплъб«ртова типа» составляют мотря»аппп всей проекта»поп плоскостп (плп проев«попого пространства),где приходится впдопамвпять также аксиомы порядка овплпдозой геок«трап (об»том упомзпаат и Гпльборт в тексте четвертой проблемы). Однако число раалнчных метризаций, удовлетворяющих поставленным Гильбертом условиям, оказывается довольно большим; так, например, геометрии Минковского с разными «индикагрисамн длин» Л дают примеры равных метризаций евклидовой плоскости, осуществляемых с условием выполнения довольно жестких ограничений; поставленных в четвертой проблеме Гильберта; при этом множество таких примеров может быть еще значительно увеличено (см., например, $ 11а книги(41). Это обстоятельство заставило американского геометра Г.
Б у з е м а н а (5) считать даже постановку четвертой проблемы Гильберта неоправданно широкой: достаточный простор остается здесь еще и при наложении на рассматркваемую геометрвю тех или иных дополнительных условий (так, например, требование инвариантности расстояний относительно параллельных переносов приводит к геометрии Минковского). Работа Гамеля, разумеется, не исчерпала всего, что можно скавать о четвертой проблеме Гильберта, другие подходы к которой неоднократно предлагались и позже. Упомянем здесь, например, об исследовании немецкого математика П. Ф у н к а (6), в котором, в частности, видимо, впервые были рассмотрены и несимметричные метрики.
П. Функ предложил определить расстояние в ограниченной выпуклой кривой Л области Ф аффинной плоскости (кли пространства) формулами дАВ = 108 дВА = )ов АР ВД ВР ' АД (2) где р и () имеют тот же смысл, что и в формуле (1) (рис. 1, 6). Наиболее серьезным дефектом исследований Гамеля явилось то обстоятельство, что они базировались на мало уместных в исследованиях по основаниям геометрии аналитических методах (методах вариационного исчисления), использование которых потребовало определенных оговорок типа требований дифференцнруемости, не связанных с существом задачи. Широкий анализ всего круга вопросов, связанных с четвертой проблемой Гильберта, был предпринят в последние десятилетия уже упоминавшимся выше американским геометром Г. Буземаном.
Эта проблематика занимает большое место в его монографии (7); укажем еще на несколько более позднюю работу (8), в которой анализи- руются геометрические предпосылки, необходимые для построения соответствующих -. геометрий. В дальнейшем Буземан пришел к мысли о-целесообразности известного ослабления наложенных Гнльбертом требований; широким обобщением геометрий, о которых говорится в четвертой проблеме Гильберта, являются так называемые «геометрии геодезическихэ (6-пространства) Г. Буземана, которым посвящена монография [4]. (По поводу случая несимметричного расстояния см.
книгу Е. Ц а у с т и нского [9]) См. также обзор Г. Б у з е м а н а !5], специально посвященный четвертой проблеме Гильберта. К ПЯТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ь'. Г. Скккрвкко ЛИТЕРАТУРА [1] Г к л ь 6 е р т Д., Освовавпа геометрам, Гостехнздат, 1948. [2] Б у асман Г. к К ел ли П., Нроектввнав геометрка к провктввные метрики, ИЛ, 1957. [3] Н а ш ш е 1 О., ()Ьег Й1е Сеошемйаа «п Йепвп Й«е Сешйеп Й[е Кбгма«еп з«пй, Ма«Ь.
Жш. 57 (1903), 231 — 264. [4] Б у з е м а н Г., Гвомвтрвл гводеавчвсккх, Фкаматгкз, 1962. [5] Б у з е м а н Г., О четвертой проблеме Гвлъберта, УМН 21, гй 1 (127) (1966), 155 — 164. [6] Р а и Ь Р., 1)Ъег й«е СвошвЫвп, Ье[ йепеп Ййе Сегайеп й«е Кйгзез«вв з)пй, Ма«Ь. Апп. 101 (1929), 226 — 237.
[7] В п з е ш а и п Н., Ме«г(Ь Мвйни]з ш Р1пз]ег Брасса апй ш йш Роапдамовз о1 Сеоше«гу, Рг)псе«оп, 1942. [8] В и з е ш а в и. Н., Оп зрасез ш кЫсЬ ««го рош«з Йе«егэппе а беойеас, Тппи. Ашег. Ма«Ь. Бос. 54 (1943), 171 — 184. [9] 2 а и з««в з Ь у Е. М., Брасез ай«Ь поп-зушше«Пс й«з«апсез, ]четч ХогЬ, 1959.
Понятие топологической (или непрерывной) группы возникло в математике в конце прошлого столетия в связи с развитием теоретико-групповых принципов в геометрии, принадлежащих в основном Ф. Клейну и С. Ли. Еще в 1872 г. Ф, Клейн предложил рассматривать различные геометрические теории как теории ннвариантов тех или иных групп преобразований «). В аналогичной роли непрйрывные группы используются и в исследованиях С. Ли, основателя теории групп Ли.
Однако развитие теории топологнческих групп, а также построение основ. атой теории начались гораадо позже — в конце 20-х и начале 80-х годов ХХ в. Большое влияние на развитие теории топологических групп оказала пятая проблема Гильберта. Топологические группы появились первоначально как непрерывные группы преобразований. При этом очень часто непрерывные группы употреблялись совсем не в том смысле, который придается этому понятию сеичас, а лишь как локальные группы преобразований. Так, в работах С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
